LEÇON 6 : CERCLE S ET TRIANGLES

Situation d’apprentissage

Dans le cadre de sa politique d’aide au gouvernement, une ONG décide de

construire un hôpital qui sera situé entre trois villages non alignés. Cette ONG souhaiterait que l’hôpital soit à égal distance des voies reliant ces trois villages afin que l’accès soit plus facile.

Précise alors sur une figure la posi�on exacte de cet hôpital.

I) CERCLES ET DROITES

1 ) Position rela tive d’un cercle et d’un e droite Propriétés

(C) est un cercle de centre O et de rayon r ; (D) est une droite. H est le point de (D) tel que ( ) ( ).

Cas1

Si < alors (C) et (D) ont deux points communs.

Si (C) et (D) ont deux points communs, alors < . Donc (D) et (C) sont sécants.

Cas2

LEÇON 6 : CERCLE S ET TRIANGLES

Si = alors (C) et (D) ont un point commun et un seul.

Si (C) et (D) ont un point commun et un seul, alors = Donc (D) et (C) sont tangents

Cas3

Si > alors (C) et (D) n’ont pas aucun point commun.

Si (C) et (D) n’ont aucun point commun, alors >

Donc (D) et (C) sont disjoints 2 ) T a n gen tes à un cercle.

Définition

(C) est un cercle de centre O ; H un point de (C). on appelle tangente en H au cercle (C) la droite perpendiculaire en H à (OH).

[OH] est un rayon du cercle (C).

(D) est perpendiculaire à (OH) en H.

Donc (D) est tangente à (C) en H.

Et H est le point de contact de (D) et de (C).

3 ) T a n gen te à un cercle pa ssa n t pa r un poin t don n é.

2

Soit un cercle (C) de centre O

Soit un point A placé à l’extérieur de ce cercle Construis un cercle de centre le milieu du segment [OA] ; (C) et (C’) se coupent en deux points.

Alors la droite passant par le point A et le point d’intersection des deux cercles détermine la tangente au cercle (C).

II) TRIANGLE

1 . Droite des milieux Propriété

Dans un triangle ;

- Si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au support du troisième côté.

- La longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

ABC est un triangle

Donc (EF) est appelée la droite des milieux

E milieu de [AC] F milieu de [AB]

(EF) // (BC) et =

ABC est un triangle

III) DROITES PARTICULIERES D’UN TRIANGLE 1 ) B issectrice et cercle in scrit

Propriété

Les trois bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes.

Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Définition

On appelle cercle inscrit dans un triangle le cercle intérieur à ce triangle et tangent aux supports de ses côtés.

2 . H a uteurs et orth ocen tre Propriété

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point.

C’ milieu

de [AB] (D) // (BC)

(D) passe par le milieu de [AC]

( )

4

Le point de concours des hauteurs d’un triangle est appelé orthocentre du triangle.

3 ) M édia trices et cen tre du cercle circon scrits.

Propriété

Dans un triangle ; les trois médiatrices des côtés d’un triangle sont

concourantes en un point O. Ce point de concours O est le centre du cercle circonscrit au triangle.

4) M édia n es et cen tre de gra vité a) Médianes

Définition

On appelle médiane d’un triangle chaque droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

La droite (d) est la médiane passant par le sommet A.

On dit que c’est la médiane relative au côté [BC].

b) Centre de gravité Propriété

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G.

Définition

On appelle le point concourant des médianes, le point de concours G appelé centre de gravité du triangle

Conséquences

Si G est le centre de gravité d’un triangle ABC alors G est situé aux deux - tiers de chaque médiane [AA’] ; [BB’] ; [CC’] à partir du sommet

Si sur une médiane [AA’] d’un triangle ABC, le point G est tel que :

= alors G est le centre de gravité.

= 2

3 ; = 2

3 ; = 2

3

6