Formulaire de mathématiques

sin α = a

c

= cos β P ( A | B ) =

P ( A ∩ B ) P ( B ) lim

x →∞

a ⁿ x ⁿ + a ^{n − 1} x ⁿ

− 1 + . . . + a ¹ x + a ⁰

b ^m x ^m + b ^{m −}

1 x ^m

− 1 + . . . + b ¹ x + A

3 − B

3 = ( A − B ) ( A

2 + AB + B

2 ) a log ^a

u = u

x ^{1 , 2} =

− b ±

√ b ² − 4 ac 2 a

[ a, b [ = { x ∈ R | a ≤ x <

b }

Formulaire de mathématiques

Ecole de Culture générale Ecole de Maturité

Gymnase de Morges

www. formulairemath .c.la

Ensembles

Ensembles de nombres

N = {0; 1; 2;. . .} entiers naturels

Z = {. . .;−2;−1; 0; 1; 2;. . .} entiers relatifs

Q =

x∈^R

x= ^m_n avec m∈^Z, n ∈^N, n6= 0 nombres rationnels

R =

. . .;−²₃;. . .;√

2;. . .;π;. . .; 8;. . . nombres réels

N

∗ = {n ∈^N| n 6= 0}, de même ^Z∗,^R∗,^Q∗

R+ = {x∈^R | x≥0}, de même ^Z+,^Q+

Q− = {x∈^Q | x≤0}, de même ^Z−,^R−

Intervalles dans l’ensemble des nombres réels pour a < b

]a;b[ = {x∈^R| a < x < b} [a;b] = {x∈^R | a≤x≤b} ]a;b] = {x∈^R| a < x≤b} [a;b[ = {x∈^R | a≤x < b} ]a; +∞[ = {x∈^R| a < x} [a; +∞[ = {x∈^R | a≤x} ]−∞;a[ = {x∈^R| x < a} ]−∞;a] = {x∈^R | x≤a}

Opérations

Intersection Réunion

A∩B ={x | x∈A et x∈B} A∪B ={x | x∈A ou x∈B}

A B A B

Différence Complémentaire

A B ={x | x∈A et x /∈B} ∁_EA=A={x | x∈E etx /∈A}

A B E

A

Combinatoire

⋄ Nombre d’arrangements simples

Aⁿ_k =n·(n−1)·. . .·(n−k+ 1) = n!

(n−k)!

(Nombre de mots deklettres distinctes prises dans un alphabet den lettres,n∈^N∗ etk≤n)

⋄ Nombre d’arrangements avec répétition Aⁿ_k =n·n·. . .·n =n^k

(Nombre de mots deklettres non nécessairement distinctes prises dans un alphabet de nlettres)

⋄ Nombre de permutations simples de n éléments Pn=n·(n−1)·. . .·2·1 =n!

(Nombre d’anagrammes d’un mot den lettres distinctes)

⋄ Nombre de permutations de n éléments avec répétitions Pn(n1, n2, . . . , nk) = n!

n1!·n2!·. . .·nk!

(Nombre d’anagrammes d’un mot den lettres dontn₁, n₂, . . . , nk se répètent)

⋄ Nombre de combinaisons simples C_kⁿ=

n k

= n·(n−1)·. . .·(n−k+ 1)

k! = n!

(n−k)!k!

(Nombre de sous-ensembles àkéléments d’un ensemble à néléments, n∈^N∗ etk≤n)

⋄ Binôme de Newton Soit n∈^N∗

(a+b)ⁿ= n

0

aⁿ+ n

1

aⁿ⁻¹b+ n

2

aⁿ⁻²b²+. . .+ n

k

a^n−kb^k+. . .+ n

n

bⁿ

⋄ Triangle de Pascal

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

. . . .

Probabilités

⋄ Fonction de probabilité

Soient Aet B des événements contenus dans un univers U et P une fonction de probabilité.

0≤P(A)≤1 P(U) = 1 P(∅) = 0 P(A) = 1−P(A) A⊂B ⇒ P(A)≤P(B) P(A B) =P(A)−P(A∩B)

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)

⋄ Equiprobabilité

Si les événements élémentaires sont équiprobables et si Aet U comportent respectivement pet m éléments, alors :

P(A) = p

m = nombre de cas favorables nombre de cas possibles

⋄ Probabilité conditionnelle P(A|B) = P(A∩B)

P(B) P(B)6= 0

⋄ Evénements indépendants

A et B indépendants ⇔ P(A∩B) =P(A)·P(B)

⇔ P(A|B) = P(A)

⋄ Evénements incompatibles

Deux événements A etB sont dits incompatibles si A∩B =∅. A∩B =∅ ⇒ P(A∪B) =P(A) +P(B)

⋄ Processus binomial (épreuve de Bernoulli) A

A

p

1 – p

Probabilité d’obtenir exactementk fois A en n épreuves indépendantes :

C_kⁿ·p^k·(1−p)^n−k= n!

k!(n−k)!·p^k·(1−p)^n−k

Calcul algébrique

Identités remarquables

(A+B)² =A²+ 2AB +B² (A−B)² =A²−2AB+B²

(A+B)³ =A³+ 3A²B + 3AB²+B³ (A−B)³ =A³−3A²B+ 3AB²−B³

A²−B² = (A+B)(A−B)

A³+B³ = (A+B)(A²−AB +B²) A³−B³ = (A−B)(A²+AB+B²)

Exponentielles et logarithmes

Puissances Racines Logarithmes

a, b∈^R∗+ r, s∈^R a, b∈^R∗+ p∈^Z m, n∈^N∗ a, b, u, v∈^R∗+ a, b6= 1 x, r∈^R

a^ra^s = a^r+s (a^r)^s = a^rs

a^rb^r = (ab)^r a^r

b^r = a b

r

a⁰ = 1 a^−r = 1

a^r a^r

a^s = a^r−s

a¹ⁿ = √ⁿ a a^pn = √ⁿ

a^p

√n

ab = √ⁿ a√ⁿ

b

n

ra b =

√n

a

√n

b pn

m√

a = ^nm√

a= ^mp

√n

a (√ⁿ

a)^p = √ⁿ

a^p = ^mn√ a^mp

a^x =u ⇔ x= log_a(u) log_a(a^x) = x

a^loga(u) = u log_a(1) = 0 log_a(a) = 1

log_a(u·v) = log_a(u) + log_a(v) log_a

1 u

= −log_a(u) log_au

v

= log_a(u)−log_a(v) log_a(u^r) = rlog_a(u)

log_a(u) = log_b(u)

log_b(a) = ln(u) ln(a)

Nombre d’Euler e Logarithmes particuliers

e∼= 2,7182818. . . 10^x =u ⇔ x= log₁₀(u) = log(u) e^x =u ⇔ x= log_e(u) = ln(u)

Quelques sommes

n

X

k=1

k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +. . .+n = n(n+ 1) 2

n

X

k=1

k² = 1 + 4 + 9 + 16 +. . .+n² = n(n+ 1)(2n+ 1) 6

n

X

k=1

k³ = 1 + 8 + 27 + 64 +. . .+n³ =

n(n+ 1) 2

2

Equations et polynômes

⋄ Degré 2

Equations du deuxième degré :

Si ∆ =b²−4ac > 0,l’équation ax²+bx+c= 0 admet deux solutions x_1,2 = −b±√

∆ 2a Si ∆ =b²−4ac= 0,l’équation ax²+bx+c= 0 admet une solution x1 = −b

2a Si ∆ =b²−4ac < 0,l’équation ax²+bx+c= 0 n’a aucune solution dans les réels Factorisation du trinôme du deuxième degré :

Si ∆>0 :ax²+bx+c=a(x−x1)(x−x2) Si ∆ = 0 :ax²+bx+c=a(x−x1)²

Si ∆<0 :le trinôme ne se factorise pas

P(x) =ax²+bx+c=a

x+ b 2a

2

− b²−4ac 4a

Signe du trinôme du deuxième degré : P(x) =ax²+bx+c P(x)a le signe de a sauf entre les zéros éventuels

⋄ Degré n

Soit P(x) =anxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+. . .+a₁x+a₀ (ai ∈^Z etan6= 0) Pour résoudre l’équation P(x) = 0, on utilise les propriétés suivantes :

• les zéros entiers de P(x)sont à chercher parmi les diviseurs de a0

• P(x)est divisible par (x−a) ⇔ P(a) = 0 Théorème du reste

Le reste de la division de P(x)par (x−a) est égal à P(a)

Analyse

Parité

⋄ Fonction paire

Une fonction f est dite paire si f(−x) =f(x)pour tout x∈ED(f)

La représentation graphique de f est alors symétrique par rapport à l’axe des y.

⋄ Fonction impaire

Une fonction f est dite impaire si f(−x) =−f(x) pour toutx∈ED(f) La représentation graphique de f est alors symétrique par rapport à l’origine.

Limites

⋄ Limites de fonctions rationnelles Il y a trois cas :

1. Si g(a)6= 0, alors lim

x→a

f(x)

g(x) = f(a) g(a) 2. Si g(a) = 0 etf(a)6= 0, alors lim

x→a

f(x)

g(x) = “∞”

3. Si g(a) = f(a) = 0, on se ramène à l’un des deux cas précédents en simplifiant par x−a

⋄ Limites à l’infini de fonctions rationnelles

x→±∞lim

anxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+. . .+a1x+a0

bmx^m+bm−1x^m−1+. . .+b1x+b0

= lim

x→±∞

anxⁿ bmx^m =











0 si n < m an

bm

si n=m

“∞” si n > m

⋄ Limites de fonctions exponentielles et logarithmiques

x→−∞lim e^x = 0 lim

x→+∞e^x = +∞ lim

x→0

>

ln(x) =−∞ lim

x→+∞ln(x) = +∞ sik > 0 :

x→+∞lim e^x

x^k = +∞ lim

x→−∞|x|^ke^x = 0 lim

x→+∞

ln(x)

x^k = 0 lim

x→0

>

x^kln(x) = 0

x→0lim

e^x−1

x = 1 lim

x→0

ln(1 +x)

x = 1

Asymptotes

⋄ Asymptote verticale

La droite d’équationx=aest asymptote verticale

⇔ lim_x→a

>

f(x) = “∞” ou lim_x→a

<

f(x) = “∞”

⋄ Asymptote horizontale

La droite d’équationy=b est asymptote horizontale à droite

⇔ lim

x→+∞f(x) =b

De même à gauche (x→ −∞)

⋄ Asymptote oblique

La droite d’équation y=mx+h est asymptote oblique à droite si f(x) =mx+h+δ(x) où lim

x→+∞δ(x) = 0.

x→+∞lim f(x)

x =m et lim

x→+∞(f(x)−mx) =h De même à gauche (x→ −∞)

⋄ Asymptote dans le cas des fonctions rationnelles

Soit n le degré du numérateur, m le degré du dénominateur.

On distingue les cas :

sin 6m asymptote horizontale sin =m+ 1 asymptote oblique

Remarque : le quotient de la division euclidienne du numérateur par son dénominateur permet de déterminer l’éventuelle asymptote oblique.

Plan d’étude d’une fonction

1. ED(f)

2. Parité éventuelle 3. Zéros et signe de f 4. Asymptotes

5. Dérivée

6. Zéros et signe de f^′, croissance et extremums 7. Graphe de f

Dérivées

⋄ Dérivée d’une fonction en un point a de ED(f) Si lim

x→a

f(x)−f(a)

x−a = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h existe, on la note f^′(a)

⋄ Equation de la tangente au graphe de f en (a;f(a))

y−f(a) =f^′(a)(x−a) f^′(a)est la pente de cette tangente

⋄ Propriétés

f etg sont des fonctions dérivables, n∈^Q, k ∈^R

(f +g)^′ =f^′ +g^′ (k·f)^′ =k·f^′ (f ·g)^′ =f^′·g+f ·g^′

f g

′

= f^′·g−f·g^′ g² (f ◦g)^′ = (f^′◦g)·g^′ (gⁿ)^′ =n·gⁿ⁻¹·g^′

1 g

′

= −g^′

g² (√g)^′ = g^′ 2√g

⋄ Croissance d’une fonction dérivable

f^′(x)>0pour tout x∈]a;b[ ⇒ f est strictement croissante sur ]a;b[

f^′(x) = 0 pour tout x∈]a;b[ ⇒ f est constante sur ]a;b[

f^′(x)<0pour tout x∈]a;b[ ⇒ f est strictement décroissante sur ]a;b[

⋄ Quelques dérivées k∈^R, a >0

f(x) f^′(x) f(x) f^′(x)

k 0 a^x ln(a)·a^x

x 1 log_a(x) 1

ln(a) · 1 x

x^k kx^k−1 sin(x) cos(x)

1 x

−1

x² cos(x) −sin(x)

√x 1

2√

x tan(x) 1 + tan²(x) = 1

cos²(x)

e^x e^x e^g(x) e^g(x)·g^′(x)

ln(x) 1

x ln(g(x)) g^′(x)

g(x)

Intégrales

⋄ Primitive d’une fonction f sur un intervalle I

F est une primitivede f sur I ⇔ F^′(x) = f(x) pour tout x∈I. Les autres primitives def sur I sont F +coù cest constante.

⋄ Quelques primitives F est une primitive de f.

f onction primitive f onction primitive

k kx f(g(x))·g^′(x) F(g(x))

x^k 1

k+ 1 ·x^k+1 k6=−1 f(ax+b) 1

aF(ax+b) 1

x ln|x| g^′(x)

g(x) ln|g(x)|

e^x e^x e^g(x)·g^′(x) e^g(x)

ln(x) x·ln(x)−x gⁿ(x)·g^′(x) gⁿ⁺¹(x)

n+ 1 n6=−1

⋄ Intégrale de f entre a et b Z b

a

f(x)dx=F(b)−F(a) oùF est l’une des primitives de f sur [a;b]

⋄ Propriétés Z b

a

f(x)dx+ Z c

b

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx Z b

a

f(x)dx=− Z a

b

f(x)dx Z b

a

[f(x) +g(x)]dx= Z b

a

f(x)dx+ Z b

a

g(x)dx Z b

a

kf(x)dx=k Z b

a

f(x)dx

Sif(x)≤g(x) pour toutx∈[a;b], alors Z b

a

f(x)dx≤ Z b

a

g(x)dx

⋄ Applications

Aire algébrique du domaine borné limité par le graphe de f et les droites d’équation y= 0,x=a et x=b :

Z b a

f(x)dx

Volume du solide engendré par la révolution (autour de la droite d’équation y = 0) du domaine limité par le graphe de f et les droites d’équation y = 0, x=a et x=b : π

Z b a

f²(x)dx

Pour vos annotations

Pour vos annotations

Trigonométrie

Conversion des mesures d’angle

Soit r la mesure d’un angle en radianset d la mesure de cet angle en degrés.

⋄ Conversion de degrés en radians Conversion de radians en degrés r= π

180d d= 180

π r

Triangle rectangle

⋄ Sinus, cosinus, tangente sin(α) = a

c = cos(β) cos(α) = b

c = sin(β) tan(α) = a

b b

a

c

α β

Triangle quelconque

α, β, γ sont les angles d’un triangle ABC, a, b, c les côtés opposés aux sommets A, B etC, r le rayon du cercle circonscrit, hA la hauteur issue de A.

⋄ Théorèmes

a² =b²+c²−2bccos(α) théorème du cosinus b² =a²+c²−2accos(β)

c² =a²+b²−2abcos(γ) a

sin(α) = b

sin(β) = c

sin(γ) = 2r théorème du sinus 1

2ahA= 1

2absin(γ) = 1

2acsin(β) = 1

2bcsin(α) aire du triangle

Valeurs exactes des fonctions trigonométriques de quelques arcs

x radians 0 π

6

π 4

π 3

π 2

x degrés 0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚

sin(x) 0 1

2

√2 2

√3

2 1

cos(x) 1

√3 2

√2 2

1

2 0

tan(x) 0

√3

1 √

3 —

Relations trigonométriques

⋄ Relations entre les fonctions trigonométriques d’un même arc cos²(α) + sin²(α) = 1 tan(α) = sin(α)

cos(α) 1 + tan²(α) = 1 cos²(α)

⋄ Relations entre les fonctions trigonométriques de certains arcs

sin(−α) =−sin(α) cos(−α) = cos(α) tan(−α) =−tan(α) sin(π−α) = sin(α) cos(π−α) =−cos(α) tan(π−α) =−tan(α) sin(π+α) =−sin(α) cos(π+α) =−cos(α) tan(π+α) = tan(α) sinπ

2 −α

= cos(α) cosπ 2 −α

= sin(α) tanπ 2 −α

= 1

tan(α) sinπ

2 +α

= cos(α) cosπ 2 +α

=−sin(α) tanπ 2 +α

=− 1 tan(α) sin(α+ 2π) = sin(α) cos(α+ 2π) = cos(α) tan(α+π) = tan(α)

⋄ Somme de deux arcs, différence de deux arcs

sin(α+β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β) sin(α−β) = sin(α)·cos(β)−cos(α)·sin(β) cos(α+β) = cos(α)·cos(β)−sin(α)·sin(β) cos(α−β) = cos(α)·cos(β) + sin(α)·sin(β) tan(α+β) = tan(α) + tan(β)

1−tan(α)·tan(β) tan(α−β) = tan(α)−tan(β) 1 + tan(α)·tan(β)

⋄ Arc double et demi-arc

sin(2α) = 2 sin(α)·cos(α) sin²α 2

= 1−cos(α) 2 cos(2α) = cos²(α)−sin²(α) cos²α

2

= 1 + cos(α) 2 tan(2α) = 2 tan(α)

1−tan²(α) tanα

2

= 1−cos(α) sin(α)

Aire A de certains polygones

Rectangle A =ab a

b

Parallélogramme A =aha=bhb =absinθ a b θ h_b h_a

Trapèze A = 1

2(a+b)h

a

b h

Losange A = 1

2d1d2 =a²sinα a α

d₂ d₁

Polygone régulier àn côtés A = 1

2ncρ= 1

2nr²sinα

r α c ρ

Cercle et disque

Cercle

Disque

Périmètre = 2πr

Aire=πr² r

Arc de cercle Secteur circulaire

l =rα Aire= 1

2rl= 1 2r²α

r l

Aire A et Volume V de certains solides

B désigne l’aire de la base.

Cube

A = 6a²

V =a³ a

Parallélipipède rectangle

A = 2(ab+ac+bc)

V =abc a

b c

Prisme V =Bh

B

h

Pyramide V = 1

3Bh ^h

B

Cylindre droit

A = 2πr²+ 2πrh

V =πr²h h

r

Cône droit

A =πr²+πrg V = 1

3πr²h ^h

r g

Sphère

A = 4πr² V = 4

3πr³

r

Géométrie

Les lignes principales du triangle

⋄ Médiatrices

Une médiatrice est la perpendiculaire à un côté passant par son milieu.

Les médiatrices se coupent en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.

⋄ Médianes

Une médiane est la droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé.

Les médianes se coupent au centre de gravité (ou bary- centre) du triangle.

Le centre de gravité est situé aux deux tiers de chaque médiane, à partir du sommet.

⋄ Bissectrices

Une bissectrice divise un angle en deux parties égales.

Les bissectrices intérieures se coupent en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

⋄ Hauteurs

Une hauteur est la perpendiculaire à un côté passant par le sommet opposé.

Les hauteurs se coupent en un point appelé orthocentre du triangle.

Géométrie analytique

On note (O;~e1;~e2) un repère du plan. Le point O est l’origine du repère, le couple (~e1;~e2) est la base associéeau repère.

Le signe ^⊥ indique qu’une relation n’est valable que lorsque les vecteurs sont exprimés dans un repère orthonormé (c’est-à-dire lorsque les vecteurs de base sont perpendiculaires entre eux et de longueur 1).

Les formules ci-dessous sont facilement adaptables dans V₃.

⋄ Composantes d’un vecteur et opérations

~a=a1~e1+a2~e2 = a₁

a2

k~a= ka₁

ka2

~a+~b=

a₁ +b₁ a2 +b2

⊥

Produit scalaire de deux vecteurs

Leproduit scalaire de~a et~b est~a•~b =a₁b₁+a₂b₂

⊥

Propriétés du produit scalaire

~a•~b=~b•~a (k~a)•~b =~a•(k~b) =k(~a•~b) ~a•(~b+~c) =~a•~b+~a•~c

~a•~b= 0 ⇔~a⊥~bou~a =~0 ou~b=~0

⊥

Norme d’un vecteur

Lanorme (ou longueur) de~a est k~ak=p

(a1)²+ (a2)²

⊥

Propriété de la norme k~ak=√

~a•~a kk~ak=|k| k~ak k~a+~bk ≤ k~ak+k~bk

⊥

Projection orthogonale a~^′ de ~a sur~b a~^′ =~a•~b

k~bk² ·~b ka~^′k= |~a•~b| k~bk

a~^′•~b=~a•~b

⊥

Angle γ entre deux vecteurs~a et~b cosγ = ~a•~b

k~ak k~bk

⋄ Vecteurs colinéaires (~a6=~0)

~a et~b sontcolinéaires ⇔ l’un est un multiple de l’autre

⇔ il existe k ∈^Ravec~b=k~a

⇔ a1b2−a2b1 = 0

⊥

Aireσ du parallélogramme construit sur ~a et~b σ=|a1b2−a2b1|

⊥

Aireσ du triangle construit sur ~a et~b σ= 1

2|a₁b₂−a₂b₁|

⋄ Coordonnées d’un point A(a1;a2) ⇔ −→OA=

a1

a2

⋄ Vecteur défini par 2 points

−→AB =−−→

OB−−→

OA=

b1−a1

b2−a2

⋄ Milieu d’un segment

M est le milieu de AB ⇔−−→OM = 1

2(−→OA+−−→OB)⇔ M

a1+b1

2 ;a2+b2

2

⋄ Barycentre ou centre de gravité du triangle

Gest le barycentre (ou centre de gravité) du triangle ABC :

−→OG= 1

3(−→OA+−−→OB+−→OC) ⇔ G

a1+b1+c1

3 ;a2+b2+c2

3

⊥

Longueur du segment AB où A(a1;a2) et B(b1;b2) k−→

ABk=p

(b1−a1)²+ (b2−a2)²

⋄ Equations vectorielles et paramétriques de la droite

P(x;y)est sur la droite passant parA(a1;a2)et de vecteur directeur d~= d1

d2

⇔ −→

AP et d~sont colinéaires

⇔ il existe k ∈^Rtel que −→OP =−→OA+k ~d

⇔ il existe k ∈^Rtel que

( x=a₁+kd₁ y=a2 +kd2

⊥

Equations cartésiennes de la droite

d est une droite donnée par sapente m et son ordonnée à l’origine h : P(x;y)∈d ⇔ y=mx+h

d est une droite donnée par un point A et sa pente m : P(x;y)∈d ⇔ y−a2 =m(x−a1)

Si la droited est donnée par ax+by+c= 0, alors : - sa pente vautm =−a

b (b6= 0) - un vecteur directeur est d~=

b

−a

- un vecteur normal est ~n= a

b

⊥

Angle aigu γ entre deux droites d et g de vecteurs directeurs d~et~g cosγ =

d~•~g

kd~k k~gk

γ = 90^◦ ⇔ d~•~g = 0

⊥

Angle aigu γ entre deux droites de pente m₁ et m₂ tanγ =

m2−m1

1 +m1·m2

γ = 90^◦ ⇔ m1 ·m2 =-1

⊥

Distance δ du point P(p1;p2) à la droited d’équation ax+by+c= 0 δ(P;d) = |ap√1+bp2+c|

a²+b²

⊥

Bissectrices

Les droites d et d^′ sont données par leurs équations cartésiennes d : ax+by +c = 0 et d^′ :a^′x+b^′y+c^′ = 0.

P(x;y)appartient à l’une des deux bissectrices des droites det d^′

⇔ δ(P;d) =δ(P;d^′)

⇔ ax+by+c

√a²+b² =±a^′x+b^′y+c^′

√a^′2+b^′2

⊥

Cercle

On noteγle cercle de centre C(c1;c2) et de rayon r.

P(x;y)∈ γ ⇔ (x−c1)²+ (y−c2)² =r²

⊥

Tangente à un cercle

La droite t est tangente au cercle γ ⇔ δ(C;t) = r Equations des tangentes de pentem au cercle γ y−c2 =m(x−c1)±r√

m²+ 1

P(x;y)est sur la tangente au cercle γ en T(t1;t2)∈ γ

⇔ (t1−c1)(x−c1) + (t2−c2)(y−c2) =r²

Quelques représentations graphiques

f(x) =mx+h f(x) =x² f(x) = x³

1 1

h 1

m

1

1 1

1

f(x) =|x| f(x) =√

x f(x) = √³

x

1 1

1

1

1 1

1

f(x) = 1

x f(x) =e^x f(x) = ln(x)

1 1

1 1

e

1 e

1

f(x) = sin(x) f(x) = tan(x)

π 1

1

π 1

f(x) = cos(x)

π 1

1

Table des matières

Ensembles 3

Ensembles de nombres . . . 3

Intervalles dans l’ensemble des nombres réels poura < b . . . 3

Opérations . . . 3

Combinatoire 4 Probabilités 5 Calcul algébrique 6 Identités remarquables . . . 6

Exponentielles et logarithmes . . . 6

Quelques sommes . . . 6

Equations et polynômes . . . 7

Analyse 8 Parité . . . 8

Limites . . . 8

Asymptotes . . . 9

Plan d’étude d’une fonction . . . 9

Dérivées . . . 10

Intégrales . . . 11

Trigonométrie 14 Conversion des mesures d’angle . . . 14

Triangle rectangle . . . 14

Triangle quelconque . . . 14

Valeurs exactes des fonctions trigonométriques de quelques arcs . . . 14

Relations trigonométriques . . . 15

AireA de certains polygones . . . 16

Cercle et disque . . . 16

AireA et Volume V de certains solides . . . 17

Géométrie 18 Les lignes principales du triangle . . . 18

Géométrie analytique 19

Quelques représentations graphiques 22

Imprimé le 25 août 2008. Réalisation : J. Delaporte

Modifications : J-Ph. Javet