AP 7 - Lundi 25 novembre 2014 - TS

AP 7 - Lundi 25 novembre 2014 - TS

Exercice 1

Soit f la fonction définie sur [0; +∞ [ par f (x) = 3

4 x + e

. Le plan est muni d’un repère orthonormé

( O, → −

ı , → − ȷ )

(unité graphique 4 cm). On note C ^{la courbe} représentative de la fonction f dans ce repère.

1. a. Résoudre l’équation 1 − e

= 0 b. Résoudre l’inéquation 1− e

≥ 0 2. Étudier les variations de la fonction f . 3. Déterminer lim

x→+∞

f (x)

4. On considère la droite ∆ d’équation y = 3 4 x.

Déterminer lim

x→+∞

f (x) − 3

4 x . En fournir une interprétation graphique.

5. Représenter graphiquement C ^et ∆ .

6. On considère la droite D d’équation y = 4

5 x. Déterminer graphiquement l’abscisse du point d’intersection de cette droite avec C (fournir un encadrement d’amplitude 0, 5).

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e

e

+ 1 et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.

1. Démontrer que f (x) = 1

1 + e

pour tout x ∈ R.

2. Démontrer que, pour tout réel x, on a 0 < f (x) < 1.

3. Démontrer que C est symétrique par rapport au point I de coordonnées (

0; 1 2 )

. Remarque : Cela revient à démontrer que f (x) − 1

2 = − [

f ( − x) − 1 2 ]

. 4. Étudier les limites de f en −∞ et +∞.

5. Dresser le tableau de variation de f . Exercice 3

Le but de cet exercice est de montrer que l’équation (E) : e

= 1

x admet une unique solution dans l’ensemble des nombres réels.

I Existence et unicité des solutions

On note f la fonction définie sur R par : f (x) = x − e

.

1. Démontrer que x est solution de l’équation (E) si, et seulement si, f (x) = 0.

2. Étude du signe de la fonction f .

a. Étudier le sens de variation de la fonction f sur R .

b. En déduire que l’équation (E ) possède une unique solution sur R, notée α.

c. Démontrer que α appartient à l’intervalle [ 1

2 ; 1 ]

.

d. Étudier le signe de f sur l’intervalle [0; α ].

II Deuxième approche

On note g la fonction définie sur l’intervalle [0; 1] par : g (x) = 1 + x 1 + e

.

1. Démontrer que l’équation f (x) = 0 est équivalente à l’équation g (x) = x.

2. En déduire que α est l’unique réel vérifiant g (α) = α.

3. Calculer g

(x) et en déduire que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0; α].

Exercice 4 Polynésie - septembre 2010

Partie A

Soit g la fonction définie sur [0; +∞ [ par g (x) = e

− xe

+ 1 1. Déterminer la limite de g en +∞

2. Étudier les variations de la fonction g . 3. Donner le tableau de variation de g .

4. a. Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet sur [0; +∞ [ une unique solution.

on note α cette solution.

b. A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10

de α.

c. Démontrer que e

= 1 α − 1 .

5. Déterminer le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

Partie B

Soit A la fonction définie et dérivable sur [0; +∞[ telle que : A(x) = 4x e

+ 1 .

1. Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, A

(x) a le même signe que g (x), où g est la fonction définie dans la partie A.

2. En déduire les variations de la fonction A sur [0; +∞ [.

Partie C

On considère la fonction f définie sur [0; +∞ [ par f (x) = 4 e

+ 1 . On note C sa courbe représentative dans un repère

( O, → −

ı , → − ȷ ) . Pour tout réel x positif ou nul, on note :

• M le point de C de coordonnées (

x; f (x) ) ,

• P le point de coordonnées (x; 0),

• Q le point de coordonnées (0; f (x)).

1. Démontrer que l’aire du rectangle OP MQ est maximale lorsque M a pour abscisse α.

On rappelle que le réel α a été défini dans la partie A.

2. Le point M a pour abscisse α.

La tangente (T ) en M à la courbe C est-elle parallèle à la droite (PQ) ?

2

Résultats ou indices

Ex. 4 Dans le désordre : f

(x) = 2e

+ (2 − e)e

, f

(x) =

(

3x

+ 1 5 x

)

e

f

(x) = (5x

+ 8x − 2)e

, f

(x) = e

+ 2

f

(x) = 7e

(e

+ 3)

f

(x) = −x

+ 2x + 1

( x

+ 1 )

e

f

(x) = 2(x + 1)e

Ex. 5

1. décroissante sur ] − ∞ ; − 1] et croissante ailleurs.

2. décroissante sur ] − ∞ ; − 1 − p

3], croissante sur ] − 1 − p

3; − 1 + p

3], décroissante ailleurs.

3. croissante sur ] − ∞ ; 1] et décroissante ailleurs.

4. décroissante sur ] − ∞ ; 0[, décroissante sur ]0; 1] et croissante ailleurs.

5. décroissante sur ] − ∞ ; 0[ et décroissante sur ]0; +∞ [.

Ex. 6

1. Penser à la fonction f (x) = e

− (1 + x).

2. poser x = 1 n . 3.

4. entre 2,7169 et 2,7196.

3