AP 7 - Fonction exponentielle

AP 7 - Fonction exponentielle

Exercice 1: ?

Simplifier les expressions suivantes :

a. exp(3) exp(5) b. exp( − 2) exp(4) c. 1

exp(−5) d. ¡

exp(5) ¢

e. e

e f. ¡

e

¢

e

g. ¡

e

+ e

¢ ¡

e

− e

¢

h. p

(e

+ 1)

− (e

− 1)

i. e − p p e

e − 1

Exercice 2: ?

Prouver, que pour tout x ∈ R : 1. 1 − e

1 + e

= e

− 1 e

+ 1 2. e

− e

= e

− 1

e

3. (e

+ e

)

− 2 = e

+ 1

e

Exercice 3: ??

Montrer que la fonction f définie sur R par f (x) = e

− 1

e

+ 1 est impaire.

Exercice 4: ?

Montrer que, pour tout x ∈ R on a : e

− 1

e

+ 1 = e

− e

e

+ e

Exercice 5: ?

Dans chacun des cas, justifier que la fonction f est dérivable sur R et fournir la dérivée de f sur R .

1. f (x) = e

+ 2x − e

2. f (x) = 2xe

3. f (x) = (5x

− 2x)e

4. f (x) = (e

+ 2) (e

− e)

5. f (x) = 2e

− 1 e

+ 3 6. f (x) = e

7. f (x) = e

Exercice 6: ?

Dans chacun des cas, étudier les variations de la fonction f , définie sur R (ou sur R

dans les cas 4. et 5.), dont on a fourni une expression algébrique.

1. f (x) = xe

2. f (x) = (2 − x

)e

3. f (x) = x + e

e

4. f (x) = e

x

5. f (x) = 1 e

− 1

Exercice 7: ??

1. Démontrer que, pour tout x ∈ R, on a 1 + x ≤ e

.

2. a. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, µ

1 + 1 n

¶

≤ e.

b. Démontrer également que, pour tout entier naturel n non nul, µ

1 − 1 n

¶

≤ 1 e . 3. En déduire que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a :

µ 1 + 1

n

¶

≤ e ≤ µ

1 − 1 n

¶

4. En prenant n = 1 000 en déduire un encadrement de e à 10

.

Exercice 8: ? ? ?

On considère la suite (u

) définie par u

= 1

2 et, pour tout entier naturel n, u

= e

n + 2 . 1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a 0 < u

≤ 1.

2. En déduire que, pour tout entier naturel n, u

≤ e n + 2 . 3. Montrer que la suite (u

) converge.

Exercice 9: ? ? ?

Soit f la fonction définie sur [0; +∞ [ par f (x) = 3

4 x + e

. Le plan est muni d’un repère orthonormé ³

O, → − ı , → −

 ´

(unité graphique 4 cm). On note C la courbe représentative de la fonction f dans ce repère.

1. a. Résoudre l’équation 1 − e

= 0 b. Résoudre l’inéquation 1 − e

≥ 0 2. Étudier les variations de la fonction f . 3. Déterminer lim

x→+∞

f (x)

4. On considère la droite ∆ d’équation y = 3 4 x.

Déterminer lim

x→+∞

f (x) − 3

4 x . En fournir une interprétation graphique.

5. Représenter graphiquement C ^et ∆.

6. On considère la droite D d’équation y = 4

5 x. Déterminer graphiquement l’abs- cisse du point d’intersection de cette droite avec C (fournir un encadrement d’amplitude 0, 5).

Exercice 10: ? ? ?

Le but de cet exercice est de montrer que l’équation (E) : e

= 1

x admet une unique solution dans l’ensemble des nombres réels.

On note f la fonction définie sur R par : f (x) = x − e

.

1. Démontrer que x est solution de l’équation (E ) si, et seulement si, f (x) = 0.

2. Étude du signe de la fonction f .

a. Étudier le sens de variation de la fonction f sur R.

b. En déduire que l’équation (E ) possède une unique solution sur R , notée α . c. Démontrer que α appartient à l’intervalle

· 1 2 ; 1

¸ . d. Étudier le signe de f sur l’intervalle [0; α].

Exercice 11: ??

Partie A

Soit g la fonction définie sur [0;+∞[ par g (x) = e

− xe

+ 1 1. Déterminer la limite de g en +∞

2. Étudier les variations de la fonction g . 3. Donner le tableau de variation de g .

4. a. Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet sur [0; +∞ [ une unique solution.

on note α cette solution.

b. A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10

de α.

c. Démontrer que e

= 1 α− 1 .

5. Déterminer le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

Partie B

Soit A la fonction définie et dérivable sur [0; +∞ [ telle que : A(x) = 4x

.

1. Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, A

(x) a le même signe que g (x), où g est la fonction définie dans la partie A.

2. En déduire les variations de la fonction A sur [0; +∞ [.

Partie C

On considère la fonction f définie sur [0; +∞ [ par f (x) = 4 e

+ 1 . On note C sa courbe représentative dans un repère ³

O, → − ı , → −

 ´ . Pour tout réel x positif ou nul, on note :

• M le point de C de coordonnées ¡

x; f (x) ¢ ,

• P le point de coordonnées (x; 0),

• Q le point de coordonnées (0; f (x)).

1. Démontrer que l’aire du rectangle OP MQ est maximale lorsque M a pour abs- cisse α.

On rappelle que le réel α a été défini dans la partie A.

2. Le point M a pour abscisse α.

La tangente (T ) en M à la courbe C est-elle parallèle à la droite (PQ) ?

Résultats ou indices

Ex.1 Dans le désordre : exp(8) ; p

e ; exp(2) ; 2e ; exp(5) ; e

− e

; exp(15) ; e

; e

Ex.2 Réponses données.

Ex.3 Réponse donnée (Indication : montrer qu’une fonction est impaire, c’est montrer que f ( − x) = − f (x) )

Ex.4 Réponse donnée.

Ex.5 Dans le désordre : f

(x) = 2e

+ (2 − e)e

, f

(x) =

µ

3x

+ 1 5 x

¶

e

, f

(x) = (5x

+ 8x − 2)e

, f

(x) = e

+ 2, f

(x) = 7e

(e

+ 3)

, f

(x) = −x

+ 2x + 1

¡ x

+ 1 ¢

e

, f

(x) = 2(x + 1)e

Ex.6

1. décroissante sur ] − ∞ ; − 1] et croissante ailleurs.

2. décroissante sur ] − ∞ ; − 1 − p

3], croissante sur ] − 1 − p

3; − 1 + p

3], décroissante ailleurs.

3. croissante sur ] − ∞; 1] et décroissante ailleurs.

4. décroissante sur ] − ∞; 0[, décroissante sur ]0; 1] et croissante ailleurs.

5. décroissante sur ] − ∞; 0[ et décroissante sur ]0; +∞[.

Ex.7 1. Réponse donnée. Indication : penser à la fonction f (x) = e

−(1+x). 2.a. Réponse donnée. Indication : poser x = 1

n . 2.b. Réponse donnée. 3. Réponse donnée. 4. Entre 2,7169 et 2,7197.

Ex.8 1. Indication : récurrence 2. Indication : utiliser l’encadrement précédent 3. Indica- tion : théorème des gendarmes

Ex.8 Réponses données.

Ex.9 1.a. x = 2

3 1.b. x ≥ 2 3 2.

x −∞

+∞

e

− 1 − 0 +

f (x)

@

@ R

3

2

3. +∞ 4. 0. La courbe C ^{de f} est de plus en plus proche de la droite ∆ d’équation y = 3

4 x (on parle d’asymptote oblique à la courbe C ^{de f ).5.} voir la calculatrice.6. D et C s’intersectent en un point d’abscisse α avec 3 < α < 3, 5.

Ex.10 1. Réponse donnée.

2.a. f est strictement croissante sur R. 2.b. Réponse donnée. 2.c. Réponse donnée. 2.d.

f (x) ≥ 0 sur [0; α].

Ex.11 P.A 1. lim

x

g (x) = −∞ .

2. et 3.

x 0 +∞

g’(x) −

g 2

@

@

@ R

−∞

4.a. Réponse donnée. 4.b. 1, 27 < α < 1, 28. 5. Sur [0 ; α[ : g (x) > 0 , sur [α ; +∞[ : g (x) < 0 P.B 1. Réponse donnée. 2. A

(x) > 0 sur [0 ; α [ ; A

( α ) = 0 ; A

< 0 sur [ α ; +∞ [. P.C 1.

Réponse donnée. 2. Oui.