a) Exposant α : On a que:

Statistical Physics 3 14 November 2008

Corrig´e 9

Exercice 1

a) Exposant α : On a que:

C(t, B) = −T ∂

f (T, B)

∂ T

= −T T

∂

f (t, B)

∂ t

En prenant la forme du scaling de l’´energie libre et en d´erivant deux fois, on obtient:

λ

^{1 − t} T

∂

f (t, B)

∂ t

= λ

^{1 − t} T

∂

f ( λ

t, λ

B) ( ∂ λ

t)

A ce stade il est judicieux de prendre λ = |t|

et de poser B = 0:

C(t, 0) = λ

C(±1, 0) ∼ |t|

Le coefficients (1 − t) n’importe pas car il ne diverge pas si t → 0. Donc α =

b) Exposant β : La magn´etisation est donn´ee par:

m(t, B) = − ∂ f (t, B)

∂ B On en tire que:

λ

m(t, B) = λ

m( λ

t, λ

B) On prend `a nouveau λ = |t|

et B = 0

m(t , 0) = λ

m(±1, 0) = |t|

m(±1, 0) Donc β =

.

c) Exposant γ : On sait que:

χ (t, B) = ∂

f (t, B)

∂ B

¯ ¯

¯ ¯

B=0

On en d´eduit que:

χ (t , B) = λ

χ ( λ

t, λ

B) On prend `a nouveau λ = |t|

et B = 0 et on obtient que γ =

. d) Exposant δ : Dans ce cas il est pr´ef´erable de poser λ = |B|

et t = 0

m(0, B) = λ

m(±1, 0) = |t |

m(±1, 0)

Donc δ =

. On en d´eduit imm´ediatement les des relations de Rushbrooke et de Griffin.

1

Exercice 2

On consid`ere un param`etre d’´echelle λ pour les longueurs et µ pour le temps.

r → λ r t → µ t

Le but est de laisser l’´equation de Newton F = ma invariante sous le changement d’´echelle.

On a:

a(r,t) = ∆r

∆t

→ a( λ r , µ t) = λ ∆r µ

∆t

= λ

µ

^{a(r , t)} F(r) = −∇

U (r) → F ( λ r) = −∇

U ( λ r) = 1

λ ^∇

⁽ λ

U(r)) = λ

F(r) Au final on obtient:

λ

F (r) = λ

µ

^{a(r , t) ⇔} λ

= µ

En utilisant la loi de Kepler on voit que λ

= µ

. Donc:

d = −1 Ce qui donne:

U ( λ r) = 1 λ ^{U (r)} En prenant λ =

, on obtient que U(r) ∼

.

De mˆeme pour une force constante, on a que: F(r) = F ( λ r), donc d = 1. On en conclut que λ ∼ µ

, ce qui donne la loi de Gallil´ee.

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