On en d´eduit que E(Sn2

Universit´e Paris 6 2007-2008

LM 345 1`ere session

Corrig´e de l’ examen du 17 D´ecembre 2007

Pour les Questions de Cours on renvoie aux notes de cours ou au polycopi´e.

Exercice 1. En d´eveloppantS_n² = Σⁿ_k=1k¹2Y_k²+Σk6=l1

klYkYlpuis par lin´earit´e de l’esp´erance on obtient:

E(S_n²) = Σⁿ_k=1 1

k²E(Y_k²) + Σk6=l

1

klE(YkYl)

Les va Yi ´etant ind´ependantes centr´ees, E(YkYl) = 0 pour tout couple (k, l) avec k 6= l.

On en d´eduit que

E(S_n²) = Σⁿ_k=1 1

k²E(Y_k²)

et donc, d’apr`es l’ hypoth`ese, pour tout n ≥ 1, E(S_n²) ≤ Σⁿ_k=1k¹2. Or la s´erie Σ_k¹2 est convergente. Tous ses termes ´etant positifs sa somme majore toutes les sommes partielles.

Posons doncC = Σ^∞_{0 k}¹2. On a alors l’in´egalit´e demand´ee.

Remarque: pour ˆetre complet on rappelle que C = ^Π₆² mais ceci n’´etait pas demand´e.

Exercice 2. 1) Les va X et Y sont ind´ependantes et chacune `ede une densit´e. Le couple (X, Y) poss`ede donc aussi une densit´e h ´egale au produit tensoriel des densit´es ce qui signifie que h(x, y) =1_[0,1](x)ϕ(y). On a donc

P((X, Y)∈/ A) = Z

R²

1_A^c(x, y)h(x, y)dxdy= Z

R²

1_y≤x1_[0,1](x)ϕ(y)dxdy On en d´eduit que P((X, Y) ∈/ A) = R1

0(Rx 0

λe^−λy

(1−e^−λ)dy)dx = _(1−e¹−λ) − ¹_λ. On note a =

1

(1−e^−λ) − _λ¹.

2) a) Soit n ≥ 1. L’ ´ev´enement {T > n} est ´egal `a l’ intersection des ´ev´enements {(Xk, Yk) ∈/ A} pour k ≤ n. D’apr`es l’ind´ependance des va (Xk, Yk) on a P(T > n) = Πⁿ_k=1P((Xk, Yk)∈/ A). De plus l’ind´ependance des suites (Xk) et (Yk) implique que pour toutk, le couple (Xk, Yk) poss`ede la densit´ehde la question 1). On a doncP(T > n) =a<sup>n</sup>. b) L’ ´ev´enement {T = +∞} est ´egal `a l’intersection des ´ev´enements A_n = {T > n}

pour n ≥ 1. La suite (An) est d´ecroissante en n ( ce qui signifie An+1 ⊂ An). On en d´eduit que P(T = +∞) = lim_n→+∞P(A_n). D’ apr`es le r´esultat pr´ec´edent, on obtient P(T = +∞) = 0.

c) La va T ´etant discr`ete sa loi est d´etermin´ee par la connaissance des P(T = n) pour tout n ≥ 1. Or P(T = n) = P(t > n −1)−P(T > n) ce qui donne en utilisant 2) a) P(T =n) =a<sup>n−1</sup>−a<sup>n</sup> =a<sup>n−1</sup>(1−a). La va T suit donc la loi g´eom´etrique de param`etre a sur N^∗.

3) On remarque d’abord que par d´efinition,X ∈[0,1] p. s. Pour d´eterminer la loi de X il faut exprimerP(X ∈[a, b]) pour tout intervalle [a, b]⊂[0,1]. Pour ce faire on d´ecompose suivant les valeurs de T. PuisqueP(T = +∞) = 0 on obtient

P(X ∈[a, b]) = Σ^+∞_n=1P(X ∈[a, b] et T =n) = Σ^+∞_n=1P(X_n ∈[a, b] et T =n) 1

De plus pour n≥2 fix´e, {X_n ∈ [a, b] et T =n}={X_n ∈[a, b],(X_n, Y_n)∈A,∀1≤ k ≤ n−1,(Xk, Yk)∈/ A}. Pour n= 1, {X1 ∈ [a, b] et T = 1}={X1 ∈[a, b],(X1, Y1)∈A}.

Pour n≥ 2 la variable X_n est ind´ependante du vecteur (X₁, Y₁, X₂, Y₂,·,·,·, X_n−1, Y_n−1) d’ apr`es les hypoth`eses. On en d´eduit que

P(X_n ∈[a, b] et T =n) =aⁿ⁻¹P(X_n ∈[a, b],(X_n, Y_n)∈A)

On remarque que cette ´egalit´e est aussi valable pourn= 1 puisquea⁰ = 1. L’ ind´ependance des suites (X_k) et (Y_k) implique que pour tout k, le couple (X_k, Y_k) poss`ede la densit´e h de la question 1) (d´ej`a vu en 2) a)). D’ o`u

P(X ∈[a, b]) = 1

1−aP(X1 ∈[a, b],(X1, Y1)∈A).

(X1, Y1) poss`ede la densit´e h, donc P(X1 ∈ [a, b],(X1, Y1) ∈ A) = Rb a(R1

0 1y>xϕ(y)dy)dx.

Puisque P(X ∈[a, b]) est de la forme Rb

aH(x)dx pour tout intervalle [a, b] ⊂ [0,1], on en d´eduit que la vaX poss`ede la densit´e H donn´ee par

H(x) =C(e^−λx−e^−λ)1_[0,1](x) o`u la constante C est donn´ee par C = _1−a¹ _(1−e¹−λ) = _1−(1+λ)e^λ −λ.

Exercice 3. 1) On peut appliquer le th´eor`eme Central Limite aux va (Xi). La suite (Zn) converge donc en loi vers une vaZ de loi N(0,1). ϕ´etant une fonction continue et born´ee sur R on en d´eduit la convergence demand´ee.

2) a)U ´etant `a valeurs dans [0,1], on a U =R1

0 1{U ≥t}dt. Le th´eor`eme de Fubini-Tonelli s’applique et d´emontre l’ ´egalit´e demand´ee.

2) a) On peut appliquer ce qui pr´ec`ede `aU =ϕ(Z_n). On a doncE(ϕ(Z_n)) =R1

0 P(ϕ(Z_n)≥ t)dt. De plus ϕ(|z|) ≥ t si et seulement si |z| ≥ _1−t^t ; par suite E(ϕ(Z_n)) = R1

0 P(|Z_n| ≥

t

1−t)dt. . Dans l’ int´egrale on applique le changement de variable u= _1−t^t . On obtient la forme demand´ee.

3) On remarque d’ abord que P(|Z_n| ≥s) =P(Z_n ≥s) +P(Z_n ≤ −s) puisque s ≥0. On noteFZn la fonction de r´epartition de Zn. On a donc P(|Zn| ≥s) =FZn(s⁻) +FZn(−s).

La fonction de r´epartition de Z ´etant continue sur R, la suite (F_Zn(−s)) converge vers FZ(−s) quand n tend vers +∞. On ne peut pas conclure aussi rapidement pour la suite (F_Zn(s⁻) = P(Z_n > s)) car il s’agit de la limite `a gauche et non de la valeur en un point des FZn. On proc`ede en deux ´etapes. Par croissance de la fonction FZn on a d’abord:

∀ >0,∀n, F_Zn(s−)≤P(Z_n> s)≤F_Zn(s) On fait d’abord tendre n vers +∞; on obtient

∀ >0, F_Z(s−)≤lim infP(Z_n> s)≤lim supP(Z_n > s)≤F_Z(s) 2

On fait ensuite tendre vers 0 ce qui donne, `a nouveau gr$ ace `a la continuit´e de F_Z F_Z(s)≤lim infP(Z_n > s)≤lim supP(Z_n > s)≤F_Z(s)

On en d´eduit que la suite P(Z_n > s) converge vers F_Z(s) quand n→+∞.Par cons´equent P(|Zn| ≥ s) converge vers P(|Z| ≥ s) quand n → +∞. Ceci est vrai pour tout s. De plus P(|Z_n| ≥ s)_(1+s)¹ 2 ≤ _(1+s)¹ 2. Cette derni`ere fonction est int´egrable sur ]0,+∞[. Le th´eor`eme de Lebesgue (ou de convergence domin´ee) s’applique et on obyient

n→+∞lim E(ϕ(Z_n)) = Z +∞

0

P(|Z| ≥s) 1

(1 +s)²ds.

En reprenant les calculs de la question 2)b pour la va Z au lieu de Zn on conclut que lim_n→+∞E(ϕ(Z_n)) =E(ϕ(Z)).

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