TS Devoir Maison 2 2012-2013
A faire à deux
Exercice 1
Soit f une fonction dérivable surR dont le tableau de variations est donné ci-dessous où a et b désignent deux réels.
x −∞ a +∞
−∞
f(x)
b
−∞
1. Déterminer le signe def′(x) selon les valeurs de x.
2. Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;−→i;−→j), on a tracé deux courbesC1et C2. Elles coupent l’axe des ordonnées aux pointsAet B d’ordonnées−2 et 1
2 respectivement.
L’une de ces courbes est la courbe représentative de la fonction dérivéef′def et l’autre la courbe représentative d’une primitiveF de la fonction f surR(F′=f).
A B O C2
C1
~i
~j
(a) Indiquer laquelle de ces deux courbes est la courbe représentative de la fonction f′. Justifier la réponse.
(b) À l’aide des courbesC1 etC2, prouver que 1< a <2 etb >0.
Exercice 2
Les questions1 et2 sont indépendantes
1. Une urne contient quatre boules rouges et deux boules noires indiscernables au toucher.
On prélève au hasard une boule de l’urne.
Si elle est rouge, on la remet dans l’urne et on prélève au hasard une seconde boule.
Si la première boule est noire, on prélève au hasard une seconde boule dans l’urne sans remettre la boule tirée.
(a) Quelle est la probabilité que les boules tirées soient rouges ? (b) Calculer la probabilité que la seconde boule tirée soit noire.
Calculer la probabilité que la première boule soit rouge sachant que la seconde est noire.
2. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 1.
Une urne contient quatre boules rouges etnboules noires indiscernables au toucher.
On prélève successivement et au hasard quatre boules de l’urne en remettant dans l’urne la boule tirée après chaque tirage.
La variable aléatoire X donnant le nombre de boules rouges tirées au cours de ces quatre tirages suit la loi binomiale de paramètres 4 etp.
(a) Donner l’expression depen fonction den.
(b) Démontrer que la probabilitéqn que l’une au moins des quatre boules tirées soit noire est telle queqn = 1−
4
n+ 4 4
.
(c) Quel est le plus petit entier naturelnpour lequel la probabilitéqn est supérieure ou égale à 0,9999 ?
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Exercice 3
L’objet de cet exercice est d’étudier la suite (un) définie surNpar u0= 3 et pour tout entier natureln, un+1= 1
2
un+ 7 un
(⋆) On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier natureln, un >0.
1. On désigne parf la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f(x) = 1
2
x+ 7 x
. Démontrer que la fonctionf admet un minimum.
En déduire que pour tout entier natureln, un >√7.
2. (a) Soitnun entier naturel quelconque.
Étudier le signe deun+1−un.
(b) Pourquoi peut-on en déduire que la suite (un) est convergente ?
(c) On déduit de la relation (⋆) que la limiteℓ de cette suite est telle queℓ=1 2
ℓ+7
ℓ
. Déterminerℓ.
3. Démontrer que pour tout entier natureln,un+1−√7 = 1 2
un−√72 un
. 4. On définit la suite (dn) par :
d0= 1 et pour tout entier natureln, dn+1=1 2d2n. (a) Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln,un−√76dn. (b) Voici un algorithme :
Variables : netpsont des entiers naturels dest un réel.
Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur dep.
Initialisations : Affecter àdla valeur 1.
Affecter ànla valeur 0 Traitement : Tant qued >10−p.
Affecter àdla valeur 0,5d2 Affecter ànla valeurn+ 1.
Sortie : Affichern.
En entrant la valeur 9, l’algorithme affiche le nombre 5.
Quelle inégalité peut-on en déduire pourd5?
Justifier queu5 est une valeur approchée de√7 à 10−9près.
Exercice 4
On noteRl’ensemble des nombres réels et on considère la fonctionf définie surRpar f(x) =xex−1+ 1
On noteC sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;−→i;−→j).
Partie A : étude de la fonction
1. Déterminer la limite def en−∞. Que peut-on en déduire pour la courbeC? 2. Déterminer la limite def en +∞.
3. On admet quef est dérivable surR, et on notef′ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel x, f′(x) = (x+ 1)ex−1.
4. Étudier les variations def surRet dresser son tableau de variation surR.
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Partie B : recherche d’une tangente particulière
Soitaun réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s’il existe une tangente à la courbeCau point d’abscissea, qui passe par l’origine du repère.
1. On appelle Ta la tangente àC au point d’abscissea. Donner une équation de Ta.
2. Démontrer qu’une tangente àC en un point d’abscisseastrictement positive passe par l’origine du repère si et seulement si avérifie l’égalité
1−a2ea−1= 0.
3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.
Démontrer que 1 est l’unique solution sur l’intervalle ]0 ; +∞[ de l’équation 1−x2ex−1= 0
4. Donner alors une équation de la tangente recherchée.
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