Juillet 2006. S´erie 1.
1. Pour tout r´eelλ, on d´efinit la fonction fλ sur l’ensemble des nombres r´eels strictement positifs not´eR∗+, par :
fλ(x) = λ+ lnx 1 +x2
a) Soit M(α, β) un point du plan avecα > 0. D´emontrer que parM passe une et une seule courbe (Cλ) repr´esentative defλ.
b) D´emontrer que pour toutx >0,f0(x) est du signe degλ(x) = 1 +x2−2x2(λ+ lnx)
c) Etudier les variations de gλ. On d´emontrera en particulier que l’´equationgλ(x) = 0 admet une et une seule solution surR∗+. Cette solution sera not´eemλ.
d) Dresser le tableau de variation defλ. D´emontrer quefλ(mλ) = 1
2m2λ et repr´esenter graphiquement (C1).
2.
1. Comparer, sans les calculer, les int´egrales suivantes : Z 1
0
√x
x+ 1dx et Z 1
0
x x+ 1dx
2. On posef(x) =√
e−1/x six6= 0 etf(0) = 0. Etudier la d´erivabilit´e def en 0.
3. Donner une primitive def(x) = sinx 1 + cos2x. 4. Calculer la limite suivante :
xlim→0+
sin(xlnx) x
3. Sur une surface horizontale, il y a un plan inclin´e qui fait un angleαavec cette surface. Supposons que 0< α <90 (en degr´es).
α β
On pose une ´echelle contre le plan inclin´e comme indiqu´e dans la figure. Quel est l’angleβ que l’´echelle doit faire avec la surface horizontale pour que la coupe transversale entre l’´echelle, la surface horizontale et le plan inclin´e ait une superficie maximale ? Quelle est cette superficie en fonction de la longueur de l’´echelle ?
Juillet 2006. S´erie 2.
1. On consid`ere la fonctionf d´efinie par :
f(x) =xArcosx a) Donner son domaine de d´efinition.
b) D´eterminerf0 et son domaine de d´efinition.
c) D´eterminerf00 et en d´eduire le tableau de variation def0. d) D´emontrer quef0 s’annule pour une valeur uniqueα∈]0,1[.
e) En d´eduire le tableau de variation def et d´emontrer quef admet un extremum ´egal `a α2
√1−α2. f) Tracer la courbeC repr´esentative def dans un rep`ere orthonorm´e en pr´ecisant les demi-tangentes aux
points d’abscisses−1 et 1.
2.
1. Soientf et gles fonctions telles que :
f(x) = x+ 1
x−1 et g(x) = 1 x D´eterminer le domaine de d´efinition def ◦g puis d´eterminer (f◦g)(x).
2. Donner le signe deI =R0
1(x−x2)exdx, puis calculerI. 3. Calculer la limite de la fonction :f(x) =
√x
x−1ex−11 quandxtend vers 1.
4. On consid`ere la fonctionf d´efinie sur [0,+∞[ par :f(x) =x2−√ x.
Etudier la d´erivabilit´e def en 0.
3. A distancedd’un chemin rectiligne, il se trouve un mur rectiligne de longueurcqui forme un angle droit avec le chemin.
α
x d c
Supposons que nous nous trouvons sur le chemin `a un endroit qui est `a distance x de l’intersection du chemin avec la prolongation du mur. A cet endroit le mur est visible sous l’angleα. Quelle est la valeur dex pour laquelle l’angleαest maximal ? Quel est cet angle ? Vous pouvez supposer que l’´epaisseur du mur est n´egligeable.
Septembre 2006.
1.
1. Calculer
x→+∞lim (x−√ x) 2. Calculer
Z e3
e2
1 x−xlnxdx 3. Soitf la fonction d´efinie surRpar :
f(x) = e−x
+x−1
x six6= 0
a six= 0
1) D´eterminerapour que f soit continue enx= 0.
2) Pour la valeur deatrouv´ee en 1, d´emontrer quef est d´erivable en 0.
2. On consid`ere la fonctiong d´efinie sur [0,+∞[ par :
g(x) = 1−x−e−2x a) Etudier les variations deg.
b) D´emontrer qu’il existe un unique r´eelastrictement positif tel queg(a) = 0, puis prouver quea∈]ln 22 ,1[.
c) Etudier le signe deg.
On consid`ere la fonctionf d´efinie sur ]0,+∞[ par : f(x) =xp
e2/x−1 d) Montrer que pour toutxstrictement positif
f0(x) = e2/x
√e2/x−1 g 1
x
e) En d´eduire les variations def.
(On ne demande pas de calculer la limite def quand xtend vers 0.)
3. Nous allons investiguer l’insolation d’une maison. Dans le cas g´en´eral, c’est un probl`eme en trois dimen- sions. Pour simplifier le probl`eme, nous allons regarder une coupe de la maison en deux dimensions :
s
Maison
Soleil
α a
b
W/m
Supposons que la maison a une hauteur deam`etres et une largeur debm`etres. Les rayons du soleil forment un angleαavec le sol. Le soleil envoie une puissance desWatt/m`etre, m´esur´ee en angle droit avec les rayons.
R´epondez alors aux deux questions suivantes :
1. Quelle est la valeur deαen fonction de a,bet spour laquelle l’insolation est maximale ? 2. Quelle est la valeur de cette insolation maximale en fonction dea,b ets?
