Echelle des temps

Vdouine – Terminale S – Logarithme décimal

Maths/Physique Page 1

Echelle des temps

Il y a environ 15 milliards d’années, le «big bang » donnait naissance à l’univers. 10 milliards d’années plus tard naissaient la terre et le système solaire. Il y a environ 6 millions d’années apparaissaient les premiers hominidés. Puis les australopithèques peuplèrent la terre il y a trois millions d’années. Vint ensuite le premier « vrai homme » l’homo habilis qui vivait il y a deux millions d’années, puis l’homo erectus il y a 450 000 ans. L’homme de Neandertal, lui succéda il y a 35 000 ans , puis apparut l’homo sapiens actuel dont nous faisons partie.

 Imaginons qu’il soit nécessaire de représenter cette histoire de la terre sur une droite graduée, en prenant comme échelle 1 mm = 10 000 ans quelles doit être la largeur de la feuille pour tout représenter ?

La question précédente montre qu’il est impossible de représenter ces dates sur une graduation régulière. Nous allons donc construire une graduation sur laquelle nous inscrirons les nombres 10 000, 100 000, 1 000 000, …, 10 000 000 000. Pour cela exprimons ces nombres sous la forme d’une puissance de 10 et utilisons les exposants pour les repérer. Ainsi l’année 10 000 = 10 ⁴ est repérée par la graduation 4, l’année 100 000 = 10 ⁵ est repérée par la graduation 5 et ainsi de suite.

 En choisissant une unité graphique égale à 1,5 cm, construire cette droite graduée en plaçant les points correspondants aux nombres 0, 1, 10, 100, …. , 10 000 000 000, le nombre 0 correspondant à l’époque actuelle.

La graduation ainsi construite est une fonction qui à une puissance de 10 fait correspondre son exposant. Cette fonction est appelée logarithme décimal et elle est notée « log ». On écrit par exemple : log (10 ⁴ ) = 4, log (10 ⁵ ) = 5, etc… L’échelle que nous venons de construire est appelée échelle logarithmique.

 A l’aide de la touche « log » de votre calculatrice, déterminez les graduations correspondant aux différentes dates citées en recopiant et remplissant le tableau suivant, puis placer en rouge chaque événement sur la droite graduée en échelle logarithmique.

Evénement Big bang Terre Hominidé Australo. Abilis Herectus Neandertal Nous Date d

Log(d)

Lien avec les suites numériques

Le logarithme décimal transforme la suite géométrique des puissances de 10 (de raison 10) en la suite arithmétique des nombres relatifs (de raison 1).

3 2 1 0 1 2 3

suite géométrique : 10 10 10 10 10 10 10

suite arithmétique : 3 2 1 0 1 2 3

        

        

log

Vdouine – Terminale S – Logarithme décimal

Maths/Physique Page 2

La fonction logarithme décimal

Définition de la fonction

 La fonction logarithme décimal est définie pour tout x  0 .

 Pour tout x  0 , on a l’équivalence suivante : ^log   ^{x    y x 10 y} .

 La fonction logarithme décimal est la fonction réciproque de la fonction puissance de 10.

Le sens de variation et le comportement asymptotique

 La fonction logarithme décimal est strictement croissante sur  ^{0; }  ^.

 Les limites aux bornes de l’intervalle sont :  

lim log 0

x x

   et ^{lim log}  

x x

   .

Les propriétés algébriques

 ^{log 1}   ^{ 0} , ^{log 10}   ^{ 1} et pour tout p  on a ^{log 10}   ^{p  p}

 Pour tout x  0 et y  0 on a ^log   ^{xy  log}   ^{x  log}   ^y

 Pour tout x  0 et n  on a ^log   ^{x n  n log   x}

 Pour tout x  0 et y  0 on a ^{log x log}   ^{x log}   ^y

y

   

   

 Pour tout p  , et tout x  0 : ^{10 p   x 10 p  1   p log}   ^{x   p 1}

Pour la petite (ou la grande) histoire

Un mathématicien, astronome et physicien écossais, John NAPIER (1550-1617), plus connu en

France sous le nom de NEPER, inventa un procédé de calcul très performant qu’utilisèrent tous

ceux qui avaient des calculs longs et fastidieux à effectuer. Cette méthode de calcul était encore

enseignée en France il y a quelques années, avant la généralisation des calculettes, en classe de

Terminale notamment. On utilisait à ce moment-là, des tables logarithmiques…

Vdouine – Terminale S – Logarithme décimal

Maths/Physique Page 3

Des relations importantes pour calculer A l’aide du petit tableau XIII-B, qui représente un extrait d’une table des logarithme nous pourrons donner quelques exemples de calculs.

     

log xy  log x  log y

Premier exemple : le produit 2*12.

Nous poserons : log (2*12) = log 2 + log 12 et nous tirerons du tableau log 2 = 0,301, log 12 = 1,079. En additionnant les deux logarithmes on trouve 1,380. Cette dernière valeur représente le logarithme du produit recherché. Or, en face 1,380 (situé dans la 2 ^e colonne), nous lirons, dans la 1 ^er colonne : 24, qui est bien le produit recherché.

Deuxième exemple : le produit 2*3*6.

Ici, il faudra additionner 3 logarithmes. Le même tableau donne encore log 2 = 0,301 log 3

= 0,477 et log 6 = 0,778. En additionnant les trois logarithmes, on trouve 1,556 La 4 ^e colonne contient ce logarithme 1,556, à gauche duquel nous lisons 36.

  ^{ }

log x ⁿ  n log x ^log   ^{x  log   x  2}

Troisième exemple : le carré de 7.

Comme dans les deux exemples précédents, nous poserons : log (7*7) = log 7 + log 7. Dans le tableau nous pouvons lire que log 7 = 0,845 résultat que nous allons doubler (multiplier par deux) pour trouver 1,690. La 4 ^e colonne contient ce résultat et nous lisons antilog 1,690 = 49.

Quatrième et cinquième exemple : deux puissance 6 et neuf puissance 3/2

2^6 (deux puissance 6) se calculerait très simplement : log (2^6) = 6 log 2 = 6*0,301 = 1,806 et nous lirons directement le nombre 64 dans notre tableau, en face de 1,806. Les logarithmes rendent donc de très grands services dans les élévations de puissance.

Grâce à ces logarithmes, on déterminera encore, avec la même aisance, des exposants fractionnaires, tels que dans 9^(3/2). En effet nous partirons du fait que log [9^(3/2)] = (3/2) * log 9 = (3/2) * (0,954) = 1,431. La 4 ^e colonne donne encore le nombre 27, qui est le résultat recherché, car il s’agissait bien d’élever au cube la racine carrée de 9.

   

log x log log

x y

y

   

    ^log   ^{n x  1} _n ^{log   x}

Vdouine – Terminale S – Logarithme décimal

Maths/Physique Page 4

Sixième et septième exemple : 63 divisé par 3 puis 25 divisé par 5

Appliquons cette formule, à la division 63/3. Du logarithme de 63, soit 1,799, on retranchera le logarithme de 3, soit 0,477, ce qui donne 1,332, qui est bien le logarithme de 21. De même, 25/5 donnerait : log (25/5) = log 25 – log 5 = 1,398 – 0,699 = 0,699 soit le logarithme de 5 qui est bien le résultat recherché. Ce dernier calcul revient encore à extraire la racine carrée de 25 et il suffit, pour cela, de diviser le logarithme de 25 par 2. Nous rejoignons là, le dernier exemple du paragraphe précédent, et cela confirme aussi notre façon d’écrire une racine carrée, à l’aide de l’exposant fractionnaire ½.

Huitième exemple : une racine cubique puis une racine sixième

De même, la racine cubique de 64 se calculerait comme suit : log (racine cubique de 64) = (1/3) * log 64 = 1,806/3 = 0,602. Cette dernière valeur 0,602 est bien le logarithme de 4, racine cubique de 64. Et la racine sixième de 64, que l’on ne peut pratiquement calculer par aucun moyen arithmétique, s’obtiendrait directement à l’aide des logarithmes log (racine sixième de 64) = (1/6)

* log 64 = 1,806/6 = 0,301 Le tableau indique le chiffre 2 comme antilogarithme de 0,301.

Des tables logarithmiques pour obtenir des résultats

Pour déterminer la valeur du logarithme d’un nombre dans une table des logarithmes, il faut

maîtriser sa notation scientifique et comprendre la notion de caractéristique et de mantisse :

Pour tout x  *  il existe n  et ^{y }   ^{1;10 tel que log}   ^{x  log}  ^{y  10 n}  ^{  n log}   ^{y .}