Jacques COLLOT – reussir@proximus.be – 0479 281 222
Asymptotes horizontale et oblique.
Si ( ) ( )
( ) f x N x
= D x , c’est-à-dire si la fonction est un quotient de deux polynômes en x de la forme
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1 0
1er terme de degré
1
1 1 0
1er terme de degré
... Polynôme de degré :
... Polynôme de degré :
n n
n n
n
m m
m m
n
N x a x a x a x a n d N n
D x b x b x b x b m d D m
−
−
−
−
= + + + + =
= + + + + =
Alors, la détermination des asymptotes devient simple : Exemple
mn Une asymptote horizontale :
0
y = . (Axe des x)
( )
( ) ( )
2
2
3 1
2; 1 0
f x x
x x
d D d N m n AH y
= + −
= = =
m=n Une asymptote horizontale :
n m
y a
= b . (rapport des coefficients des plus hautes puissances)
( )
( ) ( )
2 2
2 1
3 1
2, 2 2
3 f x x
x x
d D d N m n AH y
= +
+ −
= = = =
1
m+ =n Une asymptote oblique
Méthode 1 : Formules de Cauchy.
( )
( ( ) )
lim lim
x
x
f x a x
f x ax b AO y ax b
→
→
=
− =
= +
Méthode 2 : On effectue la division euclidienne. L’AO est le quotient de la division
( ) ( )
( ( ) )
3 2
3 3
3 2 3
3 3
2
2 1
3 1
1er méthode
2 1 2 2
lim lim lim
3 3 3
2 1 2 6
lim lim lim
3 1 3
x x x
x x x
f x x
x x
f x x x
a x x x x x
x x
b f x ax x
x x
→ → →
→ → →
= +
+ −
= = + = =
+ −
+
= − = + − − =
3 6xx + −( )
2 2
2 2
2 2
2 2
3 3 1
2 2 3 2 2 2 2
lim lim
9 3 3 9 9 3 9
x x
x x
x x
x x x
AO y x
x x x
→ →
− + + −
− + + −
= = = − = −
+ −
( )
3 2
3 2
2
2 2
2ème méthode
2 1 3 1
2 2 2 2
2 3 3 3 9
8 7
2 2
2 2
0 9 9
3 3 3 9 3 1
2 2 2
3 9 9
8 7
0 9 9
AO
x x x
x x x x
x x x
f x x
x x
x x
x
+ + −
− −
− + = − + +
+ −
− − +
+
1
m+ n Pas d’asymptote
horizontale ou oblique ( )
( ) ( )
4 2
2 1
3 1
1 3, 4 1
Pas de ou f x x
x x
d D d N m n
AH AO
= +
+ −
+ = = +
