Classe de première S
1
Exercices Limites et asymptotes
Exercice 1
Etudier les limites aux bornes du domaine de définition Df de chaque fonction.
Préciser dans chacun des cas, lorsqu’elles existent, les asymptotes verticales, horizontales ou obliques à la courbe Cf
a) f(x) = x + 1 x – 1 b) f(x) = x
2 + 1 – 3 2x c) f(x) = 1 – 3x
x2 + 1 + x d) f(x) = (x + 1)2 + 3
x e) f(x) =
2 1
2
− − + x
x
x .
(on peut montrer auparavant que f s’écrit sous la forme : ( )
2 f x ax b c
= + +x
− ) Exercice 2
f est une fonction homographique telle que : f(x) = c x
b x a ++ .
Déterminer a,b et c pour que la courbe C de f passe par le point A(-2 ; 1) et admette les droites d’équations respectives :x= −1 et y=2 pour asymptotes.
Correction Exercice 1
a) f(x) = x + 1
x – 1 Df = −ℝ
{ }
1Pour tout x≠1 , f(x) = x
1 + 1
x x
1 – 1
x
f(x) = 1 + 1
x 1 – 1 x
x → +∞limf(x) = 1 , De même, lim
x → –∞f(x) = 1
La droite d’équation y = 1 est une asymptote horizontale à Cf.
x → 1lim (x + 1) = 2 lim
x → 1+(x – 1) = 0+ donc lim
x → 1+ f(x) = + ∞ De même, lim
x → 1- f(x) = – ∞
La droite d’équation x = 1 est une asymptote verticale à Cf. b) f(x) = x
2 + 1 – 3
2x ; Df =ℝ∗
Classe de première S
2
x → +∞lim
x
2 + 1 = + ∞
x → +∞lim
– 3
2x = 0
donc lim
x → +∞f(x) = + ∞ De même, lim
x → –∞f(x) = – ∞ Pour tout réel x ∈ IR*, f(x) –
x
2 + 1 = – 3 2x
x lim→ +∞
f(x) –
x
2 + 1 = 0 De même, lim
x → –∞
f(x) –
x
2 + 1 = 0 La droite d d’équation y = 1
2x + 1 est une asymptote oblique à la courbe Cf. Pour tout réel x > 0, – 3
2x < 0 f(x) < 1 2x + 1 Sur l'intervalle ]0;+∞[, Cf est en dessous de d.
Sur l'intervalle ]− ∞; 0[, Cf est au-dessus de d.
limx → 0
x
2 + 1 = 1 lim
x → 0+
– 3
2x = – ∞ donc lim
x → 0+ f(x) = – ∞ De même, lim
x → 0– f(x) = + ∞
La droite d’équation x=0 est une asymptote verticale à Cf. c) f(x) = 1 – 3x
x2 + 1 + x ; Df =ℝ Pour tout réel x≠0, f(x) = x + 1 – 3
x
1 + 1
x2
x lim→ +∞
3 1 + 1
x2 = 3
x lim→ +∞x = + ∞
donc lim
x → +∞
3 x
1 + 1
x2 = 0 De plus, lim
x → +∞(x + 1) = + ∞ . Donc, lim
x → +∞f(x) = + ∞ De même, lim
x → –∞f(x) = – ∞
Pour tout réel x ∈ IR*, f(x) – (x + 1) = – 3 x
1 + 1
x2
x lim→ +∞ [f(x) – (x + 1)] = 0 De même, lim
x → –∞[f(x) – (x + 1)] = 0
La droite d d’équation y = x + 1 est une asymptote oblique à la courbe Cf. Pour tout réel x > 0, – 3
x
1 + 1
x2
< 0 donc f(x) < x + 1
Classe de première S
3
Sur l'intervalle ]0;+∞[, Cf est en dessous de d.
Sur l'intervalle ]− ∞; 0[, Cf est au-dessus de d.
d) f(x) = (x + 1)2 + 3
x ; Df =ℝ*. (Pour tout réel , on a x x2 = x ) Donc s'écrit sous la forme:f ∀ x ≠ 0, f(x) = x + 1 + 3
x
f(x) = – x – 1+ 3xsi x < – 1 f(x) = x + 1+ 3
xsi x ∈ ]– 1,0[ ∪ ]0,+ ∞[
x → +∞lim(x + 1) = + ∞
x lim→ +∞
3
x = 0 donc lim
x → +∞f(x) = + ∞ Pour tout réel x≠0, f(x) – (x + 1) = 3
x
x lim→ +∞
[
f(x) – (x + 1) = 0]
La droite d1 d’équation y = x + 1 est une asymptote oblique à la courbe Cf en + ∞.
Pour tout réel x > 0, 3
x > 0 , f(x) > x + 1 Sur l'intervalle ]0;+∞[, Cf est au-dessus de d1. On montrerait de même que lim
x → –∞f(x) = + ∞
La droite d2 d’équation y = – x – 1 est une asymptote oblique à la courbe Cf en – ∞.
Pour tout réel x < 0, 3
x < 0 , f(x) < x + 1 Sur l'intervalle ]− ∞; 0[, Cf est en dessous de d2.
x → 0lim x + 1 = 1 lim
x → 0+
3
x = + ∞ donc lim
x → 0+ f(x) = + ∞ De même, lim
x → 0– f(x) = – ∞
La droite d’équation x=0 est une asymptote verticale à Cf. e) f(x) =
2 1
2
− − + x
x
x , Df = −ℝ
{ }
2Classe de première S
4
Pour tout réel x≠2,
2
2 2
( )( 2) ( 2 ) ( 2 )
( ) ( ) ( )
2 2 2
( 2 ) ( 2 ) 1
2 2
1 1
Par identification on obtient : 2 1 3
2 1 5
( ) 3 5
2
c ax b x c ax b a x c b
f x ax b f x f x
x x x
ax b a x c b x x
x x
a a
b a b
c b c
f x x
x
+ − + + − + −
= + + ⇔ = ⇔ =
− − −
+ − + − + −
⇔ =
− −
= =
− = ⇔ =
− = − =
⇔ = + +
−
lim 5 0
2 lim ( )
lim ( 3)
x
x x
x donc f x
x
→−∞
→−∞
→−∞
=
− = −∞
+ = −∞
de même lim ( )
x f x
→+∞ = +∞.
2
2 2
2
lim ( 2) 0
lim 5 lim ( )
2 lim ( 3) 5
x
x x
x
x
donc f x x
x
−
− −
−
−
→
→ →
→
− =
= −∞ = − ∞
−
+ =
, de même
2
2 2
2
lim ( 2) 0
lim 5 lim ( )
2 lim ( 3) 5
x
x x
x
x
donc f x x
x
+
+ +
+
+
→
→ →
→
− =
= +∞ = + ∞
−
+ =
.
La droite d’équation x=2 est une asymptote verticale à Cf.
5 5
( ) 3 ( ) ( 3)
2 2
lim ( ) ( 3) lim 5 0
2
Donc la droite d'équation 3 est une asymptote oblique à .
x x
f
f x x f x x
x x
f x x
x
d y x C
→±∞ →±∞
= + + ⇔ − + =
− −
− + = =
−
= + Pour tout réel x>2, 5
0 ( ) 3
2 donc f x x
x > > +
− , Sur l'intervalle ]2;+∞[, Cf est en dessus de d.
Pour tout réel x<2, 5
0 ( ) 3
2 donc f x x
x < < +
− , Sur l'intervalle ]− ∞; 2[, Cf est au-dessous de d.
Exercice 2
( ) ; ( 2 ; 1) ( 2) 1 2 1 2 2 .
2
La droite d'équation 1 est une asymptote verticale à 0 pour 1 soit 1 . La droite d'équation 2 est une asymptote horizontal à
f
f
ax b a b
f x A C f b a c
x c c
x C x c x c
y
+ − +
= − ∈ ⇔ − = ⇔ = ⇔ − − = −
+ −
= − ⇔ + = = − =
= signifie que lim ( ) 2
soit donc, lim lim . ainsi on a : 2 .( de même en )
2 3
Finalement on a : 2 2 4 1 2 3 . et ( )
1
f x
x x
C f x
ax b ax
a a
x c x
b a c b b f x x
x
→±∞
→−∞ →−∞
=
+ = = = + ∞
+
− − = − ⇔ − − = − ⇔ = = + +
