Limites de fonctions
I- Introduction
Soitf une fonction. Intuitivement, déterminer la limite de cette fonction revient à déterminer si la fonction s’approche d’une « valeur particulière » lorsquexprend des « valeurs extrêmes ».
1) Lectures graphiques
x y
1 1
f(x)
x y
1 1
g(x)
À partir de la courbe représentative def, on observe que plusxest « grand », plusf(x) se rapproche de 0.
On notera lim
x→+∞f(x) = 0.
On dira que la limite def est égale à 0 lorsquextend vers +∞(ou au voisinage de +∞).
BCela ne signifie pas quef(x)s’annule à un certain moment !f(x)peut se rapprocher de0sans jamais l’atteindre.
Exemple
Par lecture graphique des courbes données def et deg, émettre une conjecture sur les limites suivantes : 1. lim
x→−∞f(x) 2. lim
x→0f(x) 3. lim
x→+∞g(x) 4. lim
x→−∞g(x) 5. lim
x→0 x>0
g(x) 6. lim
x→0 x<0
g(x) 7. lim
x→1g(x)
2) Lectures par tableau de valeurs Exemple
La calculatrice affiche les tableaux de valeurs suivants pour une certaine fonctionf. Que peut-on conjecturer à propos de la limite def au voisi-
nage de +∞?
Que peut-on conjecturer à propos de la limite def au voisi- nage de 0 ?
II- Déterminer une limite
Objectifs
t Connaître les limites des fonctions usuelles
t Savoir appliquer les règles d’opérations des limites t savoir lever une indétermination
1) Limite finie ou infinie d’une fonction à l’infini a) Limite infinie en+∞ou−∞
Si tout intervalle du type ]A; +∞[ avec A>0, contient toutes les valeurs def(x) pourxsuffisamment grand, alors on dit que la limite def(x) égale +∞quandxtend vers +∞.
On note lim
x→+∞f(x) = +∞. Définition
Remarque
On peut de même définir les notions lim
x→+∞f(x) =−∞, lim
x→−∞f(x) = +∞ou lim
x→−∞f(x) =−∞. b) Limite finie en+∞ou−∞
On dit quef(x) tend verslquandxtend vers +∞si tout intervalle du type ]l−r;l+r[ (r >0), contient toutes les valeurs def(x) pourxsuffisamment grand.
On note lim
x→+∞f(x) =l.
Définition
Remarque
On peut de même définir lim
x→−∞f(x) =l.
2) Limite infinie d’une fonction en un point
Soitf une fonction etaune borne de l’ensemble de définitionDf aveca<Df.
Si tout intervalle du type ]A; +∞[ avec A>0, contient toutes les valeurs def(x) pourxsuffisamment proche deaalors lim
x→af(x) = +∞ Définition
Remarque
On peut de même définir les notions lim
x→a x>a
f(x) = +∞, lim
x→a x<a
f(x) = +∞, lim
x→a x>a
f(x) =−∞ et lim
x→a x<a
f(x) =−∞
3) Limites de fonctions usuelles a) La fonction carrée
x→lim+∞x2= +∞
x→−∞lim x2= +∞
x
y x2
Remarque
Intuitivement, le carré d’un nombre « très grand » est un nombre « très grand » positif.
b) La fonction cube
x→lim+∞x3= +∞
x→−∞lim x3=−∞ x
y x3
Remarque
Intuitivement, le cube d’un nombre « très grand » est un nombre « très grand » de même signe.
c) La fonction inverse
xlim→+∞
1 x = 0
xlim→−∞
1 x = 0 limx→0
x>0
1
x = +∞ (limite à droite de 0) limx→0
x<0
1
x =−∞ (limite à gauche de 0)
x y
1 x
Remarque Intuitivement,
• l’inverse d’un nombre « très grand » est un nombre « très petit » (de même signe) ;
• l’inverse d’un nombre « très petit » est un nombre « très grand » de même signe.
d) La fonction racine carrée
xlim→+∞
√
x= +∞
xlim→0 x>0
√
x= 0 (limite à droite de 0)
x y
4) Règles opératoires Dans cette section,
• adésigne soit un nombre, soit +∞, soit−∞,
• L et L0 désignent des nombres,
• F.I. signifie « forme indéterminée », on ne peut conclure directement.
a) Somme de limites Exemple
Soitf la fonction définie parf(x) =1x+x2. Étudions sa limite au voisinage de +∞. On a
xlim7→+∞ 1 x= 0
xlim7→+∞x2= +∞ doncpar somme des limites, lim
x→+∞f(x) = +∞.
xlim→af(x) L L L +∞ +∞ −∞
limx→ag(x) L0 +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
limx→a(f(x) +g(x)) L + L0 +∞ −∞ +∞ F.I. −∞
Propriété
Remarque
L’indétermination est dûe au fait que selon les expressions def et deg, la limite de la somme n’est pas la même (il est donc impossible de donner une règle d’opération.
Exemple
Dans les cas suivants, vérifier que l’étude directe des limites en +∞def et degne permet pas d’obtenir la limite en +∞de leur somme puis en réduisantf(x) +g(x), déterminer cette limite.
1. f(x) = 2xetg(x) =−x; 2. f(x) =xetg(x) =−3x; 3. f(x) =x+ 4 etg(x) =−x.
b) Produit de limites Exemple
Soitf la fonction définie parf(x) =−5×x2. Étudions sa limite au voisinage de +∞. On a
xlim7→+∞(−5) =−5
xlim7→+∞x2= +∞ doncpar produit des limites, lim
x→+∞f(x) =−∞.
xlim→af(x) L L,0 0 +∞ +∞ −∞
limx→ag(x) L0 ±∞ ±∞ +∞ −∞ −∞
limx→a(f(x)×g(x)) L×L0 ±∞ F.I +∞ −∞ +∞
Propriété
Remarque
L’indétermination est dûe au fait que selon les expressions def et deg, la limite du produit n’est pas la même (il est donc impossible de donner une règle d’opération.
Exemple
Dans les cas suivants, vérifier que l’étude directe des limites en +∞def et degne permet pas d’obtenir la limite en +∞de leur produit puis en réduisantf(x)×g(x), déterminer cette limite.
1. f(x) =1x etg(x) =x2; 2. f(x) =1x etg(x) =−3x; 3. f(x) =x12 etg(x) =x.
c) Quotient de limites Exemple
Soitf la fonction définie parf(x) =x52. Étudions sa limite au voisinage de +∞.
On a
xlim7→+∞5 = 5
xlim7→+∞x2= +∞ doncpar quotient des limites, lim
x→+∞f(x) = 0.
xlim→af(x) L L,0 L ±∞ 0 ±∞
limx→ag(x) L0 ,0 0 ±∞ L0 0 ±∞
limx→a f(x) g(x)
L
L0 ±∞ 0 ±∞ F.I. F.I.
Propriété
Exemple
Dans les cas suivants, vérifier que l’étude directe des limites en +∞def et degne permet pas d’obtenir la limite en +∞de leur quotient puis en réduisantfg(x)(x), déterminer cette limite.
1. f(x) =xetg(x) =x2; 2. f(x) = 6xetg(x) =−3x; 3. f(x) =−x2etg(x) =x.
Remarque
Lorsque le dénominateur a pour limite 0, il sera nécessaire de déterminer son signe.
Il en découle la notion d’étude de la limite à droite et à gauche (voir un exemple de la section suivante).
5) Cas des limites à l’infini des polynômes
À l’infini, la limite d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
x→±∞lim (axn+. . .) = lim
x→±∞axn.
Théorème Admis
♥
Exemple
Déterminer la limite en +∞et en−∞de la fonctionf :x7→ −3x5+ 2x2−x+ 3.
À l’infini, la limite d’un quotient de polynômes est égale au quotient simplifié de ses termes de plus haut degré.
xlim→±∞
axn+. . .
bxm+. . . = lim
x→±∞
axn bxm.
Théorème Admis
♥
Exemple
Déterminer la limite en +∞et en−∞de la fonctionf :x7→−4x5+2x2−x+3
2x2+x−1 .
6) Limite par composée de fonctions a) Limite d’une composée
a, L et L0 désignent des nombres, +∞, ou−∞, les fonctionsf etgsont telles que la composéeg◦f existe sur un intervalle de bornea.
Si lim
x→af(x) = L et si lim
X→Lg(X) = L0 alors lim
x→ag(f(x)) = L0.
Théorème Admis
Exemple
Etudier le limite en−∞de le fonctionf définie parf(x) =x21+1. On a
xlim→−∞
x2+ 1
= +∞
Xlim→+∞ 1
X= 0 d’oùpar composée lim
x→−∞
1 x2+1= 0.
Exemple Soitf(x) = 1
q 9−1
x
, déterminer la limite def en +∞.
Exemple
Soitf = 1
(x2−6x+ 9)15, déterminer la limite def lorsquextend vers 3.
7) Limite se ramenant au nombre dérivé
Soitf une fonction dérivable ena, on a
limx→a
f(x)−f(a)
x−a =f0(a). Propriété
Exemple 1:
Déterminer la limite de
√ x−1
x−1 au voisinage dex= 1.
III- Les asymptotes
1) Les asymptotes horizontales
Soitlun réel.
• Si lim
x→+∞f(x) =lalors la droite d’équationy=lest une asymptote horizontale à la courbe def en +∞.
• Si lim
x→−∞f(x) =lalors la droite d’équationy=lest une asymptote horizontale à la courbe def en−∞. Propriété
Exemple
La figure ci-contre représente la courbe de la fonctionf définie parf(x) =1x+ 1.
Comme lim
x→+∞f(x) = 1, il en découle que la droite d’équation y= 1 est une asymptote horizontale à la courbe def en +∞.
x y
f(x) y= 1
Remarque(Interprétation graphique)
Dire qu’une droite est une asymptote horizontale à la courbe d’une fonctionf en +∞signifie que plusxdevient grand, plus la courbe se rapproche de la droite.
Exemple
Soitf la fonction définie surRparf(x) = 4x2x2−2x+1+1 . 1) Déterminer la limite def en +∞et en−∞.
2) Donner une interprétation graphique de ces résultats.
3) Vérifier la cohérence de vos réponses à l’aide de la calculatrice.
2) Les asymptotes verticales
Soitaun réel.
Si lim
x→af(x) =±∞alors la droite d’équationx=aest une asymptote verticale à la courbe def. Propriété
Exemple
La figure ci-contre représente la courbe de la fonctionf définie sur ]1; +∞[ parf(x) =x1−1.
Comme lim
x→1,x>1f(x) = +∞, il en découle que la droite d’équa- tionx= 1 est une asymptote verticale à la courbe def.
x y
f(x)
x= 1 Remarque(Interprétation graphique)
Dire qu’une droite d’équationx=aest une asymptote verticale à la courbe d’une fonctionf signifie que plusx se rapproche dea, plus la courbe se rapproche de la droite.
Exemple
Soitf la fonction définie sur ]1 ; 2[ parf(x) =4xx22−−3x+2x+1.
1) Déterminer les limites def aux bornes de son domaine.
2) Donner une interprétation graphique de ces résultats.
3) Vérifier la cohérence de vos réponses à l’aide de la calculatrice.
IV- Théorème de comparaison
1) Théorème des gendarmes
adésigne un réel,−∞ou +∞.
Soientf,g ethtrois fonctions définies sur un même ensembleD. Si pour toutxdeD,g(x)≤f(x)≤h(x) et si lim
x→ag(x) =let lim
x→ah(x) =l(létant un réel) alors lim
x→af(x) =l.
Théorème Admis - Le théorème des gendarmes
Exemple
La figure ci-contre représente la courbe d’une fonctionf et les courbes des fonctionsg:x7→ −1
x + 1 eth:x7→ 1
x+ 1 verifiant g(x)≤f(x)≤h(x).
Comme
xlim→+∞g(x) = 1
xlim→+∞h(x) = 1 on a lim
x→+∞f(x) = 1.
x y
f(x)
g(x) =−x1+ 1 h(x) =1x+ 1
Exemple Calculer lim
x→−∞
cos(x) + 2 x+ 3 .
2) Limites par comparaison de fonctions
adésigne un réel,−∞ou +∞.
Soientf etgdeux fonctions définies sur un même ensembleD. Si∀x∈D ;g(x)≤f(x).
• Si lim
x→ag(x) = +∞alors lim
x→af(x) = +∞.
• Si lim
x→af(x) =−∞alors lim
x→ag(x) =−∞.
Théorème Admis
Exemple
La figure ci-contre représente la courbe d’une fonctionf et la courbe de la fonctiong:x7→1,5xverifiantg(x)≤f(x).
Comme lim
x→+∞g(x) = +∞on a lim
x→+∞f(x) = +∞.
x
y f(x)
g(x) = 1,5x
Exemple Calculer lim
x→+∞
−x2+ sin(x)
