AP 16 - Lundi 23 mars 2015 - TS
Exercice 1 d’après Antilles-Guyane juin 2014
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse L’espace est muni d’un repère orthonormé
( O,→−
ı ,→− ȷ ,→−
k )
.
On considère les pointsA(1; 2; 5),B(−1; 6; 4),C(7;−10; 8) etD(−1; 3; 4).
1. Proposition 1 :Les pointsA,B etCdéfinissent un plan.
2. On admet que les points A,B etDdéfinissent un plan.
Proposition 2 :Une représentation paramétrique du plan (AB D) est
x= −1−2t
y=4t−3t′ t∈R,t′∈R z=4−t
3. Proposition 3 :Une représentation paramétrique de la droite (AC) est
x=3
2t−5
y= −3t+14 t∈R z= −3
2t+2
Exercice 2 d’après Métropole juin 2014
Dans l’espace, on considère un tétraèdreABC D dont les faces ABC, AC D et AB D sont des triangles rectangles et isocèles enA. On désigne parE,F etGles milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [C A].
On choisit AB pour unité de longueur et on se place sans le repère orthonormé (
A;−−→
AB;−−→
AC;−−→
AD )
de l’espace.
On désigne parP le plan qui passe parAet qui est orthogonal à la droite (DF).
On noteH le point d’intersection du planP et de la droite (DF).
1. Donner les coordonnées des pointsDetF.
2. Donner une représentation paramétrique de la droite (DF).
3. Une représentation paramétrique du planPest
x=t+t′
y=t+t′ t∈R,t′∈R z=t+3t′
Calculer les coordonnées du pointH.
4. Démontrer que l’angleE HGest un angle droit.
Exercice 3 divers 2014/2013
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est correcte.
1. Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les pointsA(2; 5;−1),B(3; 2; 1) etC(1; 3;−2).
Le triangleABC est : a. rectangle et non isocèle b. isocèle et non rectangle
c. rectangle et isocèle d. équilatéral
2. SoitDla droite de vecteur directeur⃗u(2;−1; 1) passant parA(1;−1;−1).
Une représentation paramétrique de la droiteD est :
a.
x=2+t
y= −1−t t∈R z=1−t
b.
x= −1+2t y=1−t t∈R z=1+t
c.
x=5+4t
y= −3−2t t∈R z=1+2t
d.
x=4−2t
y= −2+t t∈R z=3−4t
3. L’espace est rapporté à un repère orthonormé (
O,→− ı ,→−
ȷ ,→− k
) .
On noteD la droite ayant pour représentation paramétrique
x=t+1
y=2t−1 t∈R z=3t+2
etD′la droite ayant pour représentation paramétrique
x=k+1
y=k+3 k∈R z= −k+4
a. Les droitesDetD′sont parallèles.
b. Les droitesDetD′sont coplanaires.
c. Le pointA(−3; 5; 4) appartient à la droiteD. d. Les droitesDetD′sont orthogonales.
Exercice 4 d’après Amérique du Nord 2013
On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère les pointsA(0; 4; 1),B(1; 3; 0),C(2;−1;−2) etD(7;−1; 4).
1. Démontrer que les pointsA,BetCne sont pas alignés.
2. Déterminer une représentation paramétrique du plan (ABC).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite∆passant parDet de vecteur direc- teur⃗u(2;−1; 3).
4. Déterminer les coordonnées du pointH, intersection de la droite∆et du plan (ABC).
5. On considère la droiteddont une représentation paramétrique est
x= −4t−2
y=t t∈R z=3t+2
. La droited et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?
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