AP 7 - TS
Exercice 1:Propriétés algébriques- Pour s’entrainer
Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de ln 3.
1. ln (1
9 )
2. ln 24−ln 28 3. ln3
4+ln 4
4. 2 ln 3−ln 27 5. ln(
9p 3)
Exercice 2:Propriétés algébriques- Pour s’entrainer
Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de lnx.
1. ln (x
3 ) 2. lnp
x 3. lnx
4+lnx
4. 2 lnx−ln( x45) 5. ln(
9p x)
Exercice 3:Equations et inéquations- Pour s’entrainer Résoudre :
1. ln(2−3x)⩾0 2. ln(2−x)+1=0 3. ln(x+5)=ln 3 4. ln
(3 x )
⩾ln 3
5. ex⩽1 2 6. ln
(3x−1 x+2
)
⩾0
7. 2 (ln(x−1))2+5 ln(x−1)−15=0 Exercice 4:Limites- Pour s’entrainer
Déterminer les limites suivantes 1. lim
x→+∞(lnx)2−lnx 2. lim
x→+∞lnx−2x
3. lim
x→0(lnx)2−3 lnx 4. lim
x→+∞ln(x2+105x+18) Exercice 5:Limites- Pour s’entrainer
1. Démontrer que lim
x→0
ln(1+x)
x =1
2. Calculer lim
x→+∞xln (
1+1 x )
3. Calculer lim
x→+∞exln (1+e−x) 4. Calculer lim
x→0
ln( 1+p
x) px Exercice 6:Inéquations- Pour s’entrainer
Les deux questions sont indépendantes.
1. Déterminer le plus petit entier naturelntel que (0, 8)n<10−3
2. Un enquêteur effectue un sondage par téléphone. La probabilité que le correspondant dé- croche et accepte de répondre à l’enquête est de 1
5. Combien d’appels l’enquêteur doit-il passer au minimum pour que la probabilité qu’au moins un correspondant réponde au sondage soit supérieure à 0, 999 ? ( onjustifierale résultat par un raisonnement et un calcul).
Exercice 7:fonctions- Type Bac
Soit la fonctiong définie sur ]0;+∞[ parg(x)=x−lnx.
Partie I 1. Etudier les variations deg.
2. En déduire que pour toutx∈]0;+∞[, on ag(x)≥1.
Partie II Soit la fonctionf définie surI=]0;+∞[ par f(x)= lnx
x−lnx. 1. Justifier que f est définie surI.
2. Déterminer la limite de f en 0 et+∞.
3. Etudier les variations de f et donner son tableau de variations.
4. Soient A(0;−1) etM(
x;f(x))
pourx>0.
Déterminermle coefficient directeur de la droite (AM) en fonction dexpuis lim
x→0+m.
Interpréter graphiquement.
5. Tracer la courbeCf dans le plan muni d’un repère orthonormal.
Exercice 8:fonctions- Type Bac
Partie A
Soitf la fonction définie sur l’intervalle ]−1;+∞[ par f(x)= x
x+1−2 ln(x+1).
1. Déterminer les variations de la fonction f.
2. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
3. Calculer f(0). Montrer que l’équation f(x)=0 admet exactement deux solutions dont l’une, non nulle, que l’on désignera parα. Fournir une valeur approchée ) 10−2près deα.
4. Etudier le signe de f(x) sur ]−1;+∞[.
Partie B
Soitg la fonction définie sur l’ensemble ]−1; 0[∪]0;+∞[ parg(x)=ln(x+1) x2 1. Déterminer les limites deg aux bornes de son ensemble de définition.
2. Calculerg′(x) et dresser le tableau de variations de la fonctiong. 3. Montrer queg(α)= 1
2α(α+1).
En déduire une valeur approchée deg(α) à 10−2près.
2
Exercice 9:équations- Pour s’entrainer
Résoudre dansRle système
lnx−lny=1
x+y=2e
Exercice 10 Antilles Guyane septembre 2014
équations- Type bac
On considère l’équation (E1) :
ex−xn=0
oùxest un réel strictement positif etnun entier naturel non nul.
1. Montrer que l’équation (E1) est équivalente à l’équation (E2) : ln(x)−x
n =0.
2. Pour quelles valeurs denl’équation (E1) admet-elle deux solutions ?
3
Résultats ou indices
Ex. 1
Dans le désordre :−2a;5
2a;a;−a;a+ln(2)−ln(7).
Ex.2
Dans le désordre :1
2b;b−ln(3) ;ln(9)+1
2b;2b−ln(4) ;−43b; Ex.3
Dans le désordre :
]0; 1[ ;]−∞;−ln(2)] ;]−∞;−2[∪ ]3
2;+∞
[
; ]
∞;1 3 ]
;2−1 e ;−2 ;e
−5−p 145
4 +1 ete
−5+p 145
4 +1.
Ex.4
1.+∞-2.−∞-3.+∞-1.+∞.
Ex.5
1.Dérivée delnen1...2.Chgmt de variable : X = 1
x....1.3.Chgmt de variable : X =e.... 1.4.Chgmt de variable...1.
Ex.6 1.312.31.
Ex.7
Partie I-1. Décroissante sur ]0; 1] et croissante sur ]1;+∞[.g(1)=1.Partie II-1.Le dénominateur est g(x) qui ne s’annule jamais.2.−1 en 0 et 0 en+∞.3.Croissante sur ]0; e] et décroissante sur ]e;+∞[
.4.m= 1
lnx−x et lim
x→0+m=0.
Ex.8
Partie A-1.Croissante sur ]
−1;−1 2 ]
et décroissante sur ]1
2;+∞
[ . lim
x→−1+f(x)= −∞, lim
x→+∞f(x)= −∞
et f (
−1 2 )
= −1+2 ln 2.3.f(0)=0.α≈ −0, 72.4. f(x) est positive sur ]α; 0[, négative sur ]−1;α] et sur ]0;+∞[.Partie B- 1. lim
x→−1+g(x)= −∞ et lim
x→+∞g(x)=0. 2.g′(x)= f(x)
x3 doncg(x) est croissante sur ]−1;α], décroissante sur ]α; 0[ et décroissante sur ]0;+∞]3.g(α)≈ −2, 48
Ex.9( 2e2 1+e; 2e
1+e ) Ex.10
2.n⩾3.(étudier la fonction fn(x)=ln(x)−x n.
4
