TS Évaluation des incertitudes de mesure AP

(1)

13/11/2018 AP_incertitudes.doc 1/4

TS Évaluation des incertitudes de mesure AP

I. Vocabulaire

 Le mesurage est l’ensemble des opérations permettant de déterminer expérimentalement l’intervalle de valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à la grandeur mesurée. Le terme mesurage est préféré à celui de mesure, car le mot « mesure » a de nombreux sens dans la langue française.

 La valeur mesurée, ou résultat d’un mesurage, est la valeur attribuée à la grandeur suite à un mesurage.

 La valeur vraie est la valeur que l’on obtiendrait si le mesurage était parfait. Un mesurage n’étant jamais parfait, cette valeur est toujours inconnue.

 L’erreur de mesure est l’écart entre la valeur mesurée et la valeur vraie. Par définition, cette erreur est inconnue puisque la valeur vraie est inconnue.

II. Erreurs de mesure

 Les erreurs de mesures peuvent être dues à l’instrument de mesure, à l’opérateur ou à la variabilité de la grandeur mesurée. On distingue deux types d’erreurs de mesures.

1. Erreurs aléatoires

 Lorsqu’un même opérateur répète plusieurs fois, dans les mêmes conditions, un même mesurage, les valeurs mesurées peuvent être différentes.

 Cette dispersion des valeurs mesurées peut être due à la qualité de l’opérateur, à la qualité de l’instrument de mesure, à d’éventuelles fluctuations de la grandeur mesurée ou de paramètres de l’environnement (température, pression, etc.…).

2. Erreurs systématiques

 Un appareil défectueux, mal étalonné ou utilisé incorrectement conduit à des valeurs mesurées proches les unes des autres, mais éloignées de la valeur vraie. Les erreurs systématiques peuvent disparaître par réglage.

 Le centre de la cible est la valeur vraie, inconnue. Les flèches sont les résultats de mesurages.

Peu d’erreurs Erreurs aléatoires Erreurs systématiques Erreurs aléatoires ET systématiques III. Incertitude de mesure et intervalle de confiance

 L’intervalle de confiance est un intervalle dans lequel la valeur vraie M a de grandes chances de se trouver (généralement 95% ou 99%).

 Ex : On mesure une grandeur M. L’incertitude associée à cette mesure est notée U(M). La notation U vient de l’anglais « uncertainty ».

 Ex : La valeur vraie M a 95 % de chance de se trouver dans l’intervalle : [mmesuré - U(M) ; mmesuré + U(M)]

 On peut aussi écrire : M = mmesuré ± U(M)

 Le plus délicat est d’estimer U(M).

 Remarque : ΔM est une autre notation utilisée pour U(M).

(2)

IV. Cas d’une série de mesurages : Evaluation de type A 1. Evaluation de l’incertitude

 La valeur retenue comme valeur mesurée est la moyenne m de toutes les mesures (après avoir retiré les valeurs  aberrantes s’il y en a).

 L’incertitude de répétabilité se calcule à l’aide de l’écart type σn-1 de la série de mesures : U(M) = k  σn-1

n où n est le nombre de mesures, et k un coefficient donné qui sera déterminé à partir du tableau suivant :

 Rappel : σn-1 = ( mmesuré - m)²

n-1 . On peut utiliser la calculatrice pour déterminer m et σ n-1. 2. Exemple

 La mesure t de la durée de chute d’un objet depuis une fenêtre a été répétée 16 fois avec un chronomètre de qualité. Les résultats, en secondes, sont les suivants :

1,38 1,45 1,41 1,45 1,43 1,41 1,46 1,39 1,43 1,48 1,38 1,44 1,40 1,42 1,39 1,44 2.1. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, la moyenne m des mesures. 

2.2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, l’écart-type n-1

2.3. Calculer l’incertitude de répétabilité U pour un niveau de confiance de 95%

V. Cas d’un seul mesurage : Evaluation de type B

 Il faut déterminer l’incertitude-type : u(M) puis l’incertitude élargie U(M) = k  u(M) 1. Incertitude-type : u(M)

1.1. Incertitude-type liée à un appareil à affichage numérique

 Ex : balance numérique de résolution q ; pour une balance au 1/100e, q = 0,01 g : utolérance = q 12 1.2. Incertitude-type de lecture simple sur une graduation

 Pour un appareil de mesure analogique (appareil gradué),

l’incertitude-type de lecture u est estimée à partir de la valeur de la plus petite graduation.

 Ex : thermomètre à liquide : ulecture = 1 graduation

6

1.3. Incertitude-type pour une double lecture sur une graduation

 Ex : règle graduée, burette graduée, écran d’oscilloscope... : ulecture = 2  1 graduation

6

1.4. Incertitude-type liée à un instrument vérifié et conforme à une classe

 Ex : fiole jaugée de classe ± a : utolérance = a 3

1.5. Appareil dont le constructeur fournit une indication du type Δc sans autre information

 utolérance = Δc 3

2. Incertitude-type sur une mesure dans laquelle interviennent plusieurs sources d’erreurs

 S’il existe à la fois des incertitudes de lecture et de tolérance : u = (ulecture)² + (utolérance)²

lecture simple

lecture double 0

???????

(3)

3. Incertitude élargie U(M) selon le niveau de confiance voulu

 L’incertitude-type élargie, qui constituera l’incertitude de la mesure, notée U(M) s’exprime sous la forme : U(M) = k  u(M) où u(M) est l’incertitude-type et k le facteur d’élargissement.

k = 2 pour un niveau de confiance de 95 % k = 3 pour un niveau de confiance de 99 % VI. Exemples

 Pour chaque exemple,

 Calculer l’incertitude-type de lecture (si besoin) et/ou celle de tolérance (si besoin)

 Calculer, éventuellement, l’incertitude-type si plusieurs sources d’erreurs interviennent.

 Calculer l’incertitude élargie U(M) pour un niveau de confiance de 95 % 1. Mesure d’une température avec un thermomètre à graduation

 Valeur lue : θ = 23,9°C ; plus petite graduation : 0,5°C 2. Mesure d’un volume à l’aide d’une fiole jaugée

 Fiole jaugée de 100 mL ; intervalle de tolérance : ± 0,1 mL 3. Mesure d’une période à l’oscilloscope

4. Mesure d’une masse sur une balance électronique

 Une balance numérique au 1/100 de g affiche une masse m = 38,45 g.

5. Mesure d’un volume à la burette graduée

 Un élève mesure un volume d’eau de 13,6 mL avec une burette graduée de 25 mL de classe A (tolérance ± 0,05 mL) graduée au 1/10^ème de mL

VII. Expression du résultat, chiffres significatifs et arrondis

 Le résultat d’une mesure doit être présenté selon : M = m ± U(M), unité, niveau de confiance 1. Chiffres significatifs et arrondis

 L’incertitude U(M) est généralement arrondie par excès avec un seul chiffre significatif.

 Si U(M) commence par 1, 2 ou 3, on admet deux chiffres significatifs, le second étant arrondi par excès. Ne pas utiliser les puissances de 10 pour U(M).

 La valeur mesurée m : Conserver les chiffres sur lesquels porte l’incertitude U(M).

 Ex : U(M) = 0,02 donc m = 12,26

 Si l’incertitude élargie est U = 0,06 mL pour une burette lors d’une mesure V = 13,6 mL, le résultat sera noté : V(mL) = 13,6 ± 0,06 mais il faut garder le même nombre de chiffres significatifs , V = 13,6 mL ± 0,1 mL 2. Incertitude relative

 C’est le pourcentage de l’incertitude par rapport à la mesure : U(M)

m  100

 Si l’incertitude relative est inférieure à 10 %, la mesure est de bonne qualité.

3. Écart relatif de la mesure par rapport à une valeur théorique

 C’est le pourcentage de l’écart entre la mesure et la valeur théorique par rapport à la valeur théorique :

Écart relatif = m – m théorique

m théorique

(4)

Résumé sous forme de carte mentale (Source : http://a.bougaud.free.fr/TS/AP/Mesurage (Auteur : A. Bougaud))