MESURES ET INCERTITUDES
I Variabilité de la mesure d’une grandeur physique : incertitude et incertitude-type 1) Définition
Exemple :
On souhaite mesurer une résistance. Le conducteur ohmique dont on souhaite mesurer la résistance est branché aux bornes d’un ohmmètre. Notre instrument communique avec un ordinateur et l’on utilise un programme d’acquisition de données. Ce programme effectue N = 2000 mesures m de la résistance R, repère les valeurs mmin et mmax, divise l’intervalle [ mmin ; mmax ] en 10 intervalles (classes), calcule le nombre n de résultats dans chaque classe et affiche les résultats sous la forme d’un diagramme appelé histogramme où l’on représente la fréquence en % (pourcentage de résultats dans chaque classe : 100.n/N) en fonction de la résistance de chaque classe.
On obtient le tracé ci-dessous :
On constate donc sur cet exemple la variabilité de la mesure. On considère donc que le résultat de la mesure d’une grandeur physique n’est pas constitué par une unique valeur mais par un ensemble de valeurs numériques raisonnablement attribuables à la grandeur d’intérêt.
Le résultat d’une seule mesure apparaît donc comme une valeur particulière de cet ensemble.
Pour décrire un ensemble d’observations de manière encore plus économe qu’un histogramme, on peut se restreindre à seulement deux paramètres :
* Un premier indique la position de l’histogramme sur l’axe des abscisses. On prend généralement la moyenne arithmétique 𝒙 des N observations xi :
𝒙 =∑𝑵𝒊#𝟏𝒙𝒊
* Un second indique la dispersion des observations, autrement dit son étalement. On prend généralement l’écart-type des 𝑵 observations, encore appelé par définition incertitude-type et notée u pour « uncertainty » :
𝒖(𝒙) = (∑𝑵𝒊#𝟏(𝒙𝒊− 𝒙)𝟐 𝑵 − 𝟏
2) Évaluation
a) Évaluation de type A (approche statistique)
On se place dans le cas où on a effectué plusieurs observations, et qu’elles ne sont pas toutes identiques. Une évaluation de nature statistique peut alors être envisagée.
Quand la valeur mesurée est la moyenne de N observations, alors on peut se demander comment évaluer l’incertitude-type associée à cette moyenne unique (l’intérêt de la moyenne est qu’elle va réduire les variabilités).
Pour estimer l’incertitude-type de cette moyenne, il faut par définition reproduire un grand nombre de fois l’expérience et calculer l’écart-type de la distribution obtenue. Or chaque expérience est déjà la reproduction de la mesure unique un grand nombre de fois, on comprend bien que cette opération peut vite être chronophage.
Heureusement, il existe une formule mathématique permettant d’estimer cet écart-type. Il stipule que le résultat de l’expérience quand on réalise N fois le même protocole est :
𝒙 ± 𝒖(𝒙)
avec 𝒙 =𝑵𝟏∑𝑵𝒊#𝟏𝒙𝒊 : la moyenne de la distribution et 𝒖(𝒙) =𝒖(𝒙)√𝑵 : l’incertitude-type sur la moyenne.
Exemple : des mesures de résistances ont donné R = 534, 529, 535, 527 et 530 W.
𝑅 =+,-.+/0.+,+.+/1.+,2
+ = 531Ω.
𝑢(𝑅) = 2(+,-3+,4)!.(+/03+,4)!.(+,+3+,4)- !.(+/13+,4)!.(+,23+,4)!= 3,39Ω et 𝑢5𝑅6 =,,,0√+ = 1,52Ω .
Réalisation avec Excel : on utilise respectivement les fonctions « MOYENNE » pour 𝑅 et « ECARTYPE » pour u(R).
Réalisation avec Python : on utilise respectivement les fonctions « mean » pour 𝑅 et « std » pour u(R) de la bibliothèque
« numpy ».
import numpy as np
data=[534,529,535,527,530] #création de la liste des données n=len(data) #calcul du nombre de données
moyenne=np.mean(data) #calcul de la moyenne print('moyenne =',moyenne)
ecartype=np.std(data,ddof=1) #calcul de l'écart-type
#ddof=1 pour bien diviser par n-1 au dénominateur print('ecart-type =',ecartype)
incertitudetype=ecartype/(n**(1/2)) #calcul de l'incertitude-type print('incertitude-type =',incertitudetype)
Réalisation avec une calculatrice : consulter la notice en fonction du modèle utilisé.
b) Évaluation de type B
On se place ici dans le cas où on n’a pu réaliser qu’une observation unique, ou bien d’expériences sans variabilité observée, c’est-à-dire que la répétition des observations conduit exactement à la même valeur.
Cette absence de variabilité observée n’implique pas une absence de variabilité. Cela signifie juste qu’à l’échelle de cette expérience, avec l’appareil de mesure choisi, la variabilité est plus faible que la précision de la mesure.
Il faut donc estimer théoriquement la variabilité de la mesure, qui est masquée par l’appareil employé, sans l’observer.
L'incertitude-type est alors évaluée par un jugement scientifique qui repose sur l'expérience et les connaissances générales de l’expérimentateur ou de l’expérimentatrice : c'est une compétence qui s’apprend par la pratique. Dans ce jugement il demeure une part d’arbitraire, qui doit être assumée et documentée.
On se restreint ici à deux situations simples :
* Si on n’a aucune autre information qu’une limite basse et une limite haute pour la grandeur d’intérêt (le constructeur de l’appareil fournit une “incertitude constructeur”, ou “précision”, sans explicitation), alors on suppose que la répartition est uniforme entre ces deux bornes.
On estime la plus petite plage dans laquelle l’expérimentateur est certain de trouver la valeur recherchée.
On note 𝒙 la valeur centrale de cette plage et D sa demi-largeur.
Autrement dit, l’expérimentateur est certain de trouver la valeur recherchée dans l’intervalle [𝑥 − D, 𝑥 + D].
Dans ce cas, le résultat de la mesure est 𝒙 ± 𝒖(𝒙) avec 𝒖(𝒙) =√𝟑𝚫 (écart type de la distribution).
La justification de ce facteur √3 suppose que l’ensemble des valeurs mesurée peut-être modélisé par une variable aléatoire ayant une densité de probabilité uniforme sur l'intervalle [𝑥 − D, 𝑥 + D], c’est-à-dire que si on représentait un histogramme avec un grand nombre de valeurs dans cet intervalle, celui-ci serait rectangulaire.
Exemple (figure ci-dessous à gauche) :
Histogramme représentant 100 000 valeurs aléatoires choisies de manière équiprobable dans l’intervalle [69 ; 73] kg donné par le constructeur d’un pèse-personne. Il est approximativement rectangulaire (et le serait pour un nombre infini d’observations).
Donc la valeur mesurée est m = 71 kg, valeur centrale de l’intervalle, et l’incertitude-type associée vaut 2/√3 = 1,15 kg.
* Si on connait la valeur mesurée et l’incertitude-type associée (fournie par le constructeur de l’appareil), mais qu’on ne connaît pas la distribution sous-jacente, alors on suppose que la distribution est gaussienne (encore appelée normale) ; figure ci-dessus à droite.
II Composition d’incertitudes : incertitudes-types composées
On cherche souvent l’incertitude-type d’une grandeur calculée à partir d’une ou plusieurs grandeurs mesurées.
On se place dans le cas d’une grandeur y dépendant de n autres grandeurs x1, x2, …, xn indépendantes : y = f(x1, x2, …, xn).
1) Utilisation d’une formule mathématique a) Cas général
L’incertitude-type composée sur y notée uc(y) est telle que :
𝑢8/(𝑦) = ∑ ;9;9:
"</𝑢/(𝑥<)
=<#4 où u(xi) est l’incertitude-type sur xi.
b) Cas particuliers simples
* Somme
z = x + y 9>9;= 1 9?9>= 1
𝑢8/(𝑧) = 𝑢/(𝑥) + 𝑢/(𝑦) 𝑢8(𝑧) = ?𝑢/(𝑥) + 𝑢/(𝑦)
Exemple : pour une double lecture : 𝑢@ABCDE DE8GBHE= ?2(𝑢DE8GBHE)/= √2𝑢DE8GBHE
Avec une règle graduée en millimètres (D = 1 mm), l’incertitude sur une distance d est √2 ∆
√,= 0,8𝑚𝑚.
Exemple : deux résistors en série de résistances R1 = R2 = 1,0 kW connues à 5% près, R = R1 + R2 𝑢(𝑅4) = 𝑢(𝑅/) = 50Ω ; 𝑢8(𝑅) = 71Ω avec R = 2,0 kW ; B#J(J)= 3,5%.
* Différence
z = x - y 9>9;= 1 9?9>= −1
𝑢8/(𝑧) = 𝑢/(𝑥) + 𝑢/(𝑦) 𝑢8(𝑧) = ?𝑢/(𝑥) + 𝑢/(𝑦)
* Produit
z = xy 9;9>= 𝑦 9>9?= 𝑥
𝑢8/(𝑧) = 𝑦/𝑢/(𝑥) + 𝑥/𝑢/(𝑦) B#!>(>)! =B!;(;)! +B!?(?)! 𝑢8(𝑧) = 𝑧2B!;(;)! +B!?(?)!
* Quotient
𝑧 =?; 9;9>=4? 9>9?=3;?!
𝑢8/(𝑧) =?4!𝑢/(𝑥) +;?!$𝑢/(𝑦) B#!>(>)! =B!;(;)! +B!?(?)! 𝑢8(𝑧) = 𝑧2B!;(;)! +B!?(?)!
Exemple : 𝑅 =KL avec U = 20 V ; I = 100 mA ; u(U) = 0,4 V ; u(I) = 1 mA. R = 200 W.
Incertitude relative : B#J(J)= 𝑧2B!K(K)! +B!L!(L)= 2,23%,
soit uc(R) = 4,47 W donc R = 200 W ± 4,47 W, soit 196 W < R < 204 W.
En résumé, il faut mémoriser que pour une somme ou une différence on ajoute les u2(y), et que pour un produit ou un quotient, on ajoute les 𝒖𝟐𝒚(𝒚)𝟐 .
* Multiplication par un nombre exact
Une grandeur y peut être obtenue à partir d’une grandeur y0 multipliée par un nombre exact A. On a alors y = A y0. Dans ce cas, l’incertitude u(y) est donnée par : u(y) = A.u(y0).
Ce résultat n’est pas le même que celui obtenu pour une somme, car, dans ce cas, les grandeurs ne sont pas indépendantes.
Exemple : si l’on mesure 10 longueurs d’onde l, on a 𝑢(𝜆) =B(42N)42 .
2) Utilisation d’une simulation informatique : algorithme de type Monte-Carlo
Les choses deviennent plus difficiles lorsque les expressions sont plus compliquées. Par exemple en calorimétrie pour la méthode des mélanges :
𝑇: =𝑚4𝑐4𝑇4+ 𝑚/𝑐/𝑇/ 𝑚4𝑐4+ 𝑚/𝑐/ Les calculs deviennent alors fastidieux et donc sans grand intérêt.
On réalise un algorithme de type Monte-Carlo qui utilise la variabilité d’une mesure pour simuler un calcul d’incertitude.
À l’aide des informations dont on dispose, on synthétise numériquement des observations fictives correspondant aux mesures données. On travaille ensuite sur ces observations, pour estimer la valeur mesurée et l’écart-type. On se ramène effectivement à une situation où on peut faire une évaluation de type A de l’incertitude.
Voir la mise en œuvre dans l’annexe.
III Comparaison de deux valeurs : écart normalisé (z-score)
Il s’agit ici de se doter d’un critère quantitatif permettant de comparer deux mesures pour indiquer si elles peuvent être considérées comme compatibles ou incompatibles. Il permet aussi de comparer l’écart entre une valeur mesurée et une valeur de référence, c’est- à-dire une grandeur telle qu’elle est attendue (valeur tabulée, résultat théorique…).
L’écart normalisé EN (encore appelé z-score) entre deux processus de mesure donnant les valeurs m1 et m2 et d’incertitudes- types u(m1) et u(m2) est défini par :
𝑬𝑵= |𝒎𝟏− 𝒎𝟐|
?𝒖𝟐(𝒎𝟏) + 𝒖𝟐(𝒎𝟐)
Par convention, on qualifie souvent deux résultats de compatibles si leur écart normalisé vérifie : 𝑬𝑵≾ 𝟐.
Ce seuil à 2 est d’origine historique. On le retrouve dans de nombreux champs scientifiques, comme la médecine, la pharmacie, la biologie, la psychologie, l’économie, l’écologie, ... Ce seuil peut différer selon le domaine : par exemple pour démontrer l’existence d’une nouvelle particule en physique subatomique, il faut atteindre un seuil de 5.
Pour justifier cette convention, on peut revenir à la définition de l’incertitude-type. Celle-ci quantifie les fluctuations potentielles de la valeur mesurée annoncée. Lorsque deux mesures sont cohérentes, on s’attend à ce qu’elles ne coïncident pas exactement, mais qu’elles ne s’écartent pas l’une de l’autre de plus que de quelques incertitudes-type.
Pour respecter cette définition, prenons deux valeurs expérimentales que l’on souhaite comparer m1 et m2, d’incertitudes-type u(m1) et u(m2). Si m1 et m2 peuvent être considérées comme compatibles, cela implique que la valeur 0 n’est éloignée de m1 − m2 que de quelques u(m1 − m2).
On sait par ailleurs (paragraphe précédent) que 𝑢(𝑚4− 𝑚/) = ?𝑢/(𝑚4) + 𝑢/(𝑚/).
Ainsi, EN compare (m1 − m2) − 0 et u(m1 − m2). Autrement dit, ce rapport donne le nombre d’incertitudes-type séparant 0 de m1
−m2. Si ce nombre est trop grand, 0 n’est pas compatible avec m1 −m2 et donc m1 et m2 ne sont pas compatibles.
Dans les trois figures 3a, 3b et 3c ci-dessous, la barre verticale représente la valeur 0. On constate bien que, si EN est trop grand, alors cela implique que la valeur 0 est séparée de tous les points de mesure d’un trop grand nombre de fois l’incertitude-type.
IV Régression linéaire
Comment peut-on tester l’adéquation d’un modèle avec des résultats expérimentaux ?
Une des solutions consiste en la réalisation d’une régression linéaire si l’on pense qu’il existe une fonction affine y = ax + b reliant deux variables x et y du modèle (par exemple pour un modèle de Thévenin en électrocinétique : u = ri – e), c’est-à-dire en la recherche d’une droite passant au plus près des N points expérimentaux (xi, yi). On cherche alors à déterminer le coefficient directeur a (pente) de la droite et son ordonnée à l’origine b.
On utilise pour ce faire par exemple ma méthode « des moindres carrés » en cherchant à minimiser la quantité ∑O<#4[𝑦<− (𝑎𝑥<− 𝑏)]/. On obtient alors 𝑎 =∑&"'(∑(;"3;)(?(; "3?)
"3;)!
&
"'( et 𝑏 = 𝑦 − 𝑎𝑥.
Réalisation avec Excel : on peut utiliser les fonctions « PENTE » et « ORDONNEE.ORIGINE » à partir d’un tableau de valeurs, ou à partir d’une représentation graphique du nuage de points en utilisant l’option « Ajouter une courbe de tendance … ».
Réalisation avec Python : on peut utiliser la fonction « polyfit » de la bibliothèque « numpy ».Elle nécessite trois arguments : la liste des abscisses, la liste des ordonnées et le degré du polynôme choisi pour le modèle (un ici). Les listes U sont déclarées comme des tableaux numpy (« array »).
Pour s’assurer qu’une régression linéaire est correcte, on tracera systématiquement sur un graphique les données mesurées ainsi que la droite de la régression linéaire. Le modèle sera validé si, à l’œil, les points de mesure sont bien alignés et que la droite passe le
plus proche de tous les points possibles, en incluant leurs incertitudes-type.On rappelle que l’incertitude-type est une estimation de la variabilité de la mesure. Ainsi, il est naturel que les points expérimentaux soient éloignés de la valeur de la modélisation de quelques incertitudes-types.
On évitera en général l’utilisation du coefficient de corrélation r2 dont l’interprétation est notoirement délicate.
On peut par contre tracer les résidus (écart entre l’ordonnée du point expérimental et la droite de régression) pour confronter visuellement les données aux hypothèses de l’algorithme ; on le fera notamment si on ne voit pas de manière évidente que la droite tracée “passe” par les barres d’incertitudes, parce que celles-ci sont trop petites. On pourra enfin rapporter les résidus à l’incertitude- type qui leur est associée, pour tracer les écarts normalisés EN.
Graphique cartésien
Résidus (écarts verticaux à la droite)
Écarts normalisés EN
La régression linéaire est validée dans le graphe des résidus si, pour la quasi-totalité des points, l’ordonnée zéro passe dans ou près des barres d’incertitudes, ou si les écarts normalisés EN (résidu/incertitude-type) restent modérés (|𝐸O| < quelques unités.
Comment déterminer l’incertitude sur les paramètres a et b du modèle ?
Principe :
On réalise une simulation Monte-Carlo en réalisant un très grand nombre de régressions linéaires sur une série de points sans incertitudes. Pour obtenir ces points, on génère aléatoirement pour chaque point mesuré une valeur à l’aide des incertitudes-types expérimentales. Conformément aux préconisations citées précédemment, si on n’a pas d’information pour savoir de quelle façon générer les valeurs, on choisit une distribution de probabilité uniforme. On a alors ∆= √𝟑𝒖(𝒙).
Les valeurs finales de la pente et de l’ordonnée à l’origine sont alors les moyennes de toutes leurs valeurs, et leurs incertitudes-types sont les écarts-types de ces deux ensembles de valeurs.
Réalisation :
* On réalise une régression linéaire unique pour estimer la pente et l’ordonnée à l’origine.
* On crée deux listes vides pour stocker les pentes et les ordonnées à l’origine des régressions.
* Pour chaque i compris entre 1 et n (très grand), on réalise :
- Pour chaque j compris entre 1 et n, on réalise un tirage aléatoire d’une valeur de Yj donnée par une loi de probabilité uniforme
entre yj − √3 u(yj) et yj + √3 u(yj).
- Pour chaque j compris entre 1 et n, on réalise un tirage aléatoire d’une valeur de Xj donnée par une loi de probabilité uniforme entre xj − √3 u(xj) et xj + √3 u(xj).
* On réalise une régression linéaire sur cet ensemble (Xj , Yj) puis on ajoute dans les listes la pente et l’ordonnée à l’origine de cette régression.
* On calcule pour les écarts-types des deux listes des pentes et des ordonnées à l’origine pour obtenir les incertitudes-types.
* On trace sur un graphique la droite obtenue avec la pente moyenne et l’ordonnée à l’origine moyenne.
* On superpose sur le même graphique les points de mesures en indiquant leurs incertitudes-types sous la forme de barres d’erreur.
Exemple : obtention des paramètres A et B ainsi que de leurs incertitudes respectives u(A) et u(B) de la loi de Cauchy en optique donnant l’indice d’un milieu dispersif en fonction de la longueur d’onde : 𝑛 = 𝐴 +NQ!.
Script python :
# Loi de Cauchy : n = A + B/(lamba)2 import numpy as np
import numpy.random as rd
# Saisie des valeurs expérimentales
# longueurs d'onde (en nm)
lamb = np.array([404.7, 435.8, 480.0, 546.1, 578.1, 615])
# indices optiques
n = np.array([1.77610, 1.76325, 1.74957, 1.73481, 1.72942, 1.72397])
# incertitudes-types sur les indices
u_n = np.array([1.4, 1.4, 1.4, 1.3, 1.3, 1.3])*1e-4
# Simulation Monte-Carlo
# nombre d'expériences simulées N = 50000
# initialisation des listes dans lesquelles on va stocker
# les valeurs de A et B correspondant à chaque expérience simulée AMC, BMC = [], []
# pour chaque expérience for i in range(N):
# on simule la mesure des n pour les 6 longueurs d'onde nMC = n + rd.normal(0, u_n, size = 6)
# on reprend l'ajustement affine avec cette série de valeurs de n p = np.polyfit(1/lamb**2, nMC, 1)
# on stocke les valeurs des paramètres d'ajustement dans les listes AMC et BMC AMC.append(p[1])
BMC.append(p[0])
# Analyse statistique de l'ensemble des valeurs de A et de B obtenues Amoy = np.mean(AMC)
u_A = np.std(AMC, ddof = 1)
print("Estimation du paramètre A de la loi de Cauchy :") print("* Valeur mesurée : A = {}".format(Amoy)) print("* Incertitude-type : u(A) = {}\n".format(u_A)) Bmoy = np.mean(BMC)
u_B = np.std(BMC, ddof = 1)
print("Estimation du paramètre B de la loi de Cauchy :") print("* Valeur mesurée : B = {}".format(Bmoy)) print("* Incertitude-type : u(B) = {}".format(u_B)) Résultat du script :
Estimation du paramètre A de la loi de Cauchy :
* Valeur mesurée : A = 1.6844426956807537
* Incertitude-type : u(A) = 0.00018631557158738332 Estimation du paramètre B de la loi de Cauchy :
* Valeur mesurée : B = 14998.18123765697
* Incertitude-type : u(B) = 44.1630754349699
Si le modèle recherché implique b = 0 (loi d’Ohm pour un résistor, loi de Hooke pour un ressort, …), dans ce cas, on cherche uniquement à estimer a. Il est en général difficile avec la plupart des logiciels d’imposer une ordonnée à l’origine nulle. La méthode alors la plus simple consiste à calculer un grand nombre de valeur de a par la relation yi/xi puis réaliser un traitement statistique sur ces valeurs en calculant la moyenne et l’écart-type des yi/xi.
Exemple : On réalise un montage courte dérivation, alimenté par une alimentation stabilisée, afin de tracer la caractéristique d’un dipôle supposé purement résistif. En faisant varier la tension U aux bornes du dipôle, on obtient un ensemble de points expérimentaux U, I ; comment exploiter ces points pour déterminer la résistance électrique R modélisant le dipôle ?
On calcule la moyenne arithmétique et l’écart-type expérimental des 10 valeurs de U/I.
On obtient alors R = 1025 W et u(R) = 1,3 W.
Script Python :
import numpy as np from math import *
import matplotlib.pyplot as plt
# Saisie des tensions (en V)
U = np.array([0.937,1.875,2.809,3.745,4.682,5.618,6.679,7.633,8.582,9.536])
# Saisie des intensités (en mA)
I = np.array([0.9098,1.8251,2.7346,3.6503,4.5544,5.4868,6.503,7.448,8.430,9.384])/1000
# Tracé de la courbe U(I) plt.plot(I,U, 'bo')
plt.xlabel("I (en A)") plt.ylabel("U (en V)") plt.show()
# Calcul des résistances (en Ohm) R0 = []
for i in range(0,len(U)):
res=U[i]/I[i]
R0.append(res)
# Calcul de la résistance (moyenne des valeurs) R = np.mean(R0)
print ('Résistance : R = ',R,'Ohm')
# Calcul de l'incertitude sur la résistance (écart type des valeurs/racine(10)) uR = np.std(R0)*10**(-1/2)
print('Incertitude sur la résistance : u(R) =',uR,'Ohm') Résultat du script :
Résistance : R = 1024.8448362821023 Ohm
Incertitude sur la résistance : u(R) = 1.3251340581958255 Ohm
Annexe : Algorithme de type Monte-Carlo
Le terme méthode de Monte-Carlo désigne une famille de méthodes algorithmiques visant à calculer une valeur numérique approchée en utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes. Le nom de ces méthodes, qui fait allusion aux jeux de hasard pratiqués au casino de Monte-Carlo, a été inventé en 1947 par Nicholas Metropolis, et publié pour la première fois en 1949 dans un article coécrit avec Stanislaw Ulam.
Les méthodes de Monte-Carlo sont particulièrement utilisées pour calculer des intégrales en dimensions plus grandes que 1 (en particulier, pour calculer des surfaces et des volumes). Elles sont également couramment utilisées en physique des particules, où des simulations probabilistes permettent d'estimer la forme d'un signal ou la sensibilité d'un détecteur. La comparaison des données mesurées à ces simulations peut permettre de mettre en évidence des caractéristiques inattendues, par exemple de nouvelles particules.
La méthode de simulation de Monte-Carlo permet aussi d'introduire une approche statistique du risque dans une décision financière.
Exemple : calcul de l’aire d’une ellipse d’équation cartésienne ;R;</+ ;?C</= 1 (demi-grand axe a et demi-petit axe b) avec la fonction aire_ellipse(n, a, b) en tirant n points aléatoirement dans un rectangle de longueur a et de largeur b.
Script python : import random import numpy as np def aire_ellipse(n,a,b):
pt=0
for i in range(n):
# On prend aléatoirement uniformément un point (x,y) du rectangle [-a,a]*[-b,b]
x=random.uniform(-a,a) y=random.uniform(-b,b)
# On teste si le point (x,y) est dans l'ellipse if (x/a)**2+(y/b)**2<=1:
pt+=1
# La probabilité approximée par pt/n qu'un point appartienne à l'ellipse # est donc , si l'on note A l'aire de l'ellipse A/(2*a*2*b) :
return(pt/n*(2*a)*(2*b))
#Exemple 1 : aire d'un cercle de rayon unité print('aire approchée =',aire_ellipse(10**5,1,1)) print('aire exacte =',np.pi) # valeur exacte
#Exemple 2 : aire d'une ellipse de demi-grand axe 3 et de demi-petit axe 2 print('aire approchée =',aire_ellipse(10**5,3,2))
print('aire exacte =',np.pi*2*3) # valeur exacte Résultats du script:
aire approchée = 3.14212
aire exacte = 3.141592653589793 aire approchée = 18.81552 aire exacte = 18.84955592153876
L’algorithme de Monte-Carlo sera utilisé ici pour la composition des incertitudes en visant à évaluer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire en générant un grand nombre d’échantillons qui suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire.
Exemple : incertitude sur la différence x1 – x2 de deux grandeurs (par exemple sur une longueur obtenue en mesurant deux positions sur une règle)
Script python :
# Entrez les deux valeurs x1 =5
x2 =3
# Entrez les incertitudes absolues des deux valeurs Deltax1=0.1
Deltax2=0.5
# Entrez le nombre de simulation que vous voulez effectuer N = 6000
# Calculs avec une distribution de probabilité gaussienne ou uniforme
# Pour changer la distribution de probabilité, il faut juste changer la ligne commentée dans la boucle for
resx=[]
resy=[]
resd=[]
for i in range(0,N):
x=np.random.normal(x1,Deltax1)
#x=np.random.uniform(low=x1-Deltax1,high=x1+Deltax1) resx.append(x)
y=np.random.normal(x2,Deltax2)
#y=np.random.uniform(low=x2-Deltax2,high=x2+Deltax2) resy.append(y)
resd.append(abs(x-y)) plt.figure(1)
plt.hist(resx,bins = 100) plt.hist(resy,bins = 100) plt.figure(2)
plt.hist(resd,bins = 100)
# Calcul et affichage moyenne et écart type moy = np.mean(resd)
std = np.std(resd) print('Moyenne =', moy) print('Ecart type =', std) Résultats du script :
Moyenne = 1.9976485783581366 Ecart type = 0.5055799197455497
Distribution pour x1 et x2 Distribution pour x = x1 - x2 Résultats par le calcul :
x = x1 – x2 = 5 – 3 = 2
𝑢(𝑥) = ?𝑢/(𝑥4) + 𝑢/(𝑥/) = ?0,1/+ 0,5/= 0,51 Avec Excel :
On utilise la fonction : LOI.NORMALE.INVERSE(ALEA() ;espérance, écart-type) pour générer la série de valeurs aléatoires avec une loi normale pour les variables x1 et x2.
On prend ensuite la moyenne et l’écart-type de la variable x1 – x2.
