AP - 3 - Limites et T.V.I. - TS

AP - 3 - Limites et T.V.I. - TS

Les étoiles indiquent, approximativement, la difficulté de l’exercice - Les durées, elles aussi approximatives, donnent une idée du temps que devrait prendre la résolution de l’exercice si vous connaissez votre cours.

Vous pouvez choisir vos exercices, en fonction de votre degré de maitrise de la notion.

Les résultats ou indications figurent en dernière page.

Exercice 1 : Limites de fonctions composées - temps indicatif ≈ 15 min.

Dans chacun des cas déterminer les limites indiquées.

1. lim

x →+∞

p x ² − 3x

2. lim

x →−1

√ 1 − x 1 + x 3. lim

x →−∞ x

√ 1 + 1

x ²

Exercice 2* : Limites de fonctions - temps indicatif ≈ 20 min.

Dans chacun des cas déterminer les limites indiquées.

1. lim

x →+∞

p x ² + 1 − p x ² − 1 2. lim

x →+∞

p x ² + 4x − x

3. lim

x →−2

x ³ + 2x ² − x − 2 x ² − 4 4. lim

x →3

p 3x − 3 x − 3

Exercice 3 : T.V.I. - temps indicatif ≈ 5 min.

Soit f une fonction dont le tableau de variations est : x

f (x)

−∞ −2 +∞

−5

−5

−8

−8

5 5

Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 sur R.

Exercice 4 : T.V.I. - temps indicatif ≈ 5 min.

Soit f une fonction dont le tableau de variations est : x

f (x)

−∞ −2 4 +∞

− 1

− 1

2 2

− 3

− 3

− 1

− 1

Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 sur R .

Exercice 5 : Limites et T.V.I. - temps indicatif ≈ 15 min.

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x ³ − x ² + x + 2.

1. Déterminer le tableau de variations complet de la fonction f .

2. Montrer que l’équation f (x) = 0 ne possède qu’une unique solution notée α . 3. Fournir un encadrement au centième de α .

Exercice 6 : Limites et T.V.I. - temps indicatif ≈ 30 min.

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 2x ³ 3 − x ²

2 − x + 3.

1. Étudier les limites de f en −∞ et en +∞ .

2. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f .

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 n’admet aucune solution sur l’intervalle [

− 1 2 ; +∞

[ . 4. En déduire que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur R.

5. Fournir un encadrement au centième de α.

Exercice 7** : Limites et T.V.I. - temps indicatif ≈ 30 min.

On considère la fonction f définie sur [0;+∞[ par f (x) = 9x + (15 − 2x) p

x et la fonction g définie également sur [0; +∞ [ par g (x) = 18 p

x − 6x + 15.

1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction g .

2. Démontrer, sans la résoudre, que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution sur [0; +∞ [ que l’on notera α .

3. Fournir un encadrement au centième de α . 4. En déduire le signe de g (x) pour tout x ∈ [0; +∞ [.

5. Démontrer que, pour tout x ∈]0;+∞[ on a f ^′ (x) = g (x) 2 p

x . 6. En déduire le tableau de variations complet de f .

2

Résultats ou indices

Ex. 1 1. lim

x →+∞

p x ² − 3x = +∞ 2. lim

x→−1

√ 1 − x

1+ x = +∞ 3. lim

x →−∞ x

√ 1 + 1

x ² = −∞

Ex. 2 1. lim

x →+∞

p x ² + 1 − p

x ² − 1 = 0 2. lim

x →+∞

p x ² + 4x − x = 2 3. lim

x →− 2

x ³ + 2x ² − x − 2 x ² − 4 = − 3

4 4. lim

x → 3

p 3x − 3 x − 3 = 1

2 . Ex. 3 Une seule solution

(Exemple de justification : sur ] − 2; −∞ [, f est continue, strictement croissante, f ( − 2) = − 8 < 0, et

x→+∞ lim f (x) = 5 > 0) Ex. 4 Deux solutions.

Ex. 5 1.

x f ^′ (x)

f (x)

−∞ +∞

+

−∞

−∞

+∞

+∞

2. Une solution. 3. − 0, 82 < α < − 0, 81.

Ex. 6 1. lim

x →−∞ f (x) = −∞ et lim

x →+∞ f (x) = +∞

2.

x f ^′ (x)

f (x)

−∞ − 1

2 1 +∞

+ 0 − 0 +

−∞

−∞

79 24 79

24 13

6 13

6

+∞

+∞

3. Pas de solution. 4. Une solution. 5. − 1, 70 < α < − 1, 69.

Ex. 7 1.

x g ^′ (x)

g (x)

0 9

4 +∞

+ 0 −

15 15

57 2 57

2

−∞

−∞

2. Une solution. 3. 13, 53 < α < 13, 54.

4.

x g (x)

0 α +∞

+ 0 −

6.

x g (x) f ^′ (x)

f (x)

0 α +∞

+ 0 −

+ 0 −

0 0

f ( α ) f ( α )

−∞

−∞

3