AP - Nombres complexes - TS

AP - Nombres complexes - TS

Exercice 1: ?

Déterminer le conjugué de chaque nombre complexe et donner sa forme algébrique.

1. z=(3+i)(−13−2i) 2. z=i(1−i)³

3. z=2−3i 8+5i 4. z= 2

i+1− 3 1−i

Exercice 2: ?

Mettre chaque nombre complexe sous sa forme algébrique.

1. z=2+i 3+i

2. z=(2+i)(1−4i) i+1

Exercice 3: ?

Résoudre dansCchacune des équations suivantes.

1. 2z²−6z+5=0 2. z²+z+1=0 3. z²+2z+1=0

Exercice 4: ? ? ?

Soitz=x+iy,xetyétant deux réels tels que (x;y)6=(1; 0).

On poseZ=z+2i z−1.

Déterminer l’ensemble des points d’affixeztel que : 1. Z soit un nombre réel.

2. Z soit un imaginaire pur.

Exercice 5: ??

1. On considère un réelb. Développer¡

z²+bz+4¢ ¡

z²−bz+4¢ . 2. En déduire les solutions complexes de l’équationz⁴+16=0.

Exercice 6: ??

Pour tout nombre complexez, on poseP(z)=z⁴−1.

1. FactoriserP(z).

2. En déduire les solutions dansCde l’équationP(z)=0.

3. En déduire les solutions dansCde l’équation

µ2z+1 z−1

¶4

=1.

Exercice 7: ? ? ?

On considère dansCl’équation (E) : z³−(1−i)z²+(1−i)z+i=0.

1. Montrer que (E) possède une unique solution imaginaire pure.

2. Résoudre dansCl’équation (E).

Exercice 8: ? ? ?

Résoudre dansCl’équation 25+10z+z²=16i.

Résultats ou indices

Ex. 1

Dans le désordre :−2i+2 ;−37−19i;−1 2−5

2i; 1 89−34

89i Ex.2

Dans le désordre :−1 2−13

2 i; 7 10+ 1

10i Ex.3

1.3 2−1

2i et son conjugué.2.−1 2+

p3

2 i et son conjugué.3.−1,1+2i,1−2i. Ex.4

1.Une droite d”équationy=2x−2.2.Un cercle de centre (1

2;−1) et de rayon p5

2 . Ex.5

1.z⁴+8z²−b²z²+162.z₁=p 2−ip

2,z₂= −p 2+ip

2,z₃=p 2−ip

2 etz₄=p 2+ip

2 Ex.6

1.z⁴−1=(z−1)(z+1)(z−i)(z+i)2.1,−1,i,−i.3.z= −2,z=0,z= −1 5+3

5ietz= −1 5−3

5i Ex.7

1.−i.2.z= −i,z=1 2−

p3

2 i etz=1 2+

p3

2 i Ex.8p

8−5+ip

8 et−p

8−5−ip 8