AP 9 - Nombres complexes - TS
Exercice 1
Déterminer le conjugué de chaque nombre complexe et donner sa forme algébrique.
1. z=(3+i)(−13−2i) 2. z=i(1−i)3
3. z=2−3i 8+5i 4. z= 2
i+1− 3 1−i Exercice 2
Mettre chaque nombre complexe sous sa forme algébrique.
1. z=2+i 3+i
2. z=(2+i)(1−4i) i+1 Exercice 3
Résoudre dansCchacune des équations suivantes : 1. 2z2−6z+5=0
2. z2+z+1=0 3. z2+2z+1=0 Exercice 4
Soitz=x+iyun nombre complexe,xetyétant deux réels tels que (x;y)̸=(1; 0).
On poseZ=z+2i z−1.
Déterminer l’ensemble des points d’affixeZ tel que : 1. Z soit un nombre réel.
2. Z soit un imaginaire pur.
Exercice 5
A,B etCsont les points d’affixes respectives : zA= −1+i,zB=2+i,zC = −1
2−1 2i 1. Placer les points A,B, etC.
2. Calculer les affixes des vecteurs−−→
AB ,−−→
AC,−−→
BC .
3. En déduire les longueurs AB,AC etBC. Le triangleABC est-il rectangle enC? Exercice 6
Dans chaque cas, trouver l’ensemble des points dont l’affixezsatisfait la condition indiquée :
1. |z−3| = |z−1+i|.
2. |z+2−i| =p 5.
3. |z+3−i| ≤2.
Exercice 7
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (
O,−→ ı , −→
ȷ )
. On note Ale point d’affixe ic. À tout pointMdu plan, distinct deA, d’affixez, on associe le pointM′d’affixez′= ic z
z−ic. 1. a. Déterminer les pointsM tels queM=M′.
b. Déterminer l’affixe du pointB′associé au pointB d’affixe 1.
c. Déterminer l’affixe du pointCtel que l’affixe de son imageC′soit 2.
2. Étant donné un nombre complexez, distinct de ic, on posez=x+ic yetz′=x′+ic y′le nombre nombre complexe associé, avecx,x′,y,y′réels.
a. Déterminerx′ety′en fonction dexety.
b. Déterminer l’ensembleΓdes pointsM, distincts deA, pour lesquelsz′est réel.
c. PlacerA,B,B′,C,C′et représenterΓsur une figure (unité graphique 4 cm).
3. Soitzun nombre complexe différent de ic.
a. Montrer que l’on az′−ic= −1 z−ic.
b. On suppose queM, d’affixez, appartient au cercleγde centreAet de rayon 1. Montrer que M′appartient àγ.
Résultats ou indices
Ex. 1Dans le désordre : 1+34i
89 ; 2+2i ;−37+19i ;−1+5i 2 Ex. 2
7+i
10 et −1−13i 2 Ex. 3
z1=3−i
2 etz2=3+i
2 ;z1=−1−ip 3
2 etz2=−1+ip 3
2 ;−1, 1+2i et 1−2i.
Ex. 4
La droite d’équation 2x−y−2=0 privée de (1; 0).
Le cercle de centre (1
2;−1 )
et de rayon p5
2 privé de (1; 0).
Ex. 5 2.z−−→
AB =3,z−−→
AC =1 2−3
2i,z−−→
BC = −5 2−3
2i 3.AB=3,AC=
√5 2,BC =
√17 2 . Non.
Ex. 6
Médiatrice de AB, cercle de centreC et de rayonp
5, disque de centreDet de rayon 2, le cercle étant inclus.
Ex. 7
1.a.Les points d’affixe 0 et 2i.1.b. −1+i
2 .1.c. −2+4i
5 .2.a.x′= −x
x2+(y−1)2 et y′= y2−y+x2 x2+(y−1)2 .2.b.
Le cercle de centreDd’affixe1
2i et de rayon 1
2privé deA.
2
