AP 8 - Complexes 2/2 - TS

(1)

AP 8 - Complexes 2/2 - TS

Exercice 1 - Type BAC Pondichery mai 2001 - Durée : ≈ 1h

On considère l’application f qui à tout nombre complexe z différent de 1, associe le nombre complexe f (z) = 2 − iz

1 − z . L’exercice étudie quelques propriétés de f .

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, − → u , − →

v )

d’unité graphique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions 1 et 2.

A est le point d’affixe 1 et B celui d’affixe − 2i.

1. On pose z = x + iy avec x et y réels.

Écrire f (z) sous forme algébrique. En déduire l’ensemble des points M d’affixe z tels que f (z) soit un réel et représenter cet ensemble.

2. On pose z

^′

= f (z).

a. Vérifier que i n’a pas d’antécédent par f et exprimer, pour z

^′

différent de i, z en fonction de z

^′

.

b. M est le point d’affixe z (z différent de 1) et M

^′

celui d’affixe z

^′

(z

^′

différent de i).

Montrer que OM = M

^′

C

M

^′

D où C et D sont les points d’affixes respectives 2 et i.

c. Montrer que, lorsque le point M décrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son image M

^′

appartient à une droite fixe que l’on définira géométriquement.

Exercice 2 - Type BAC Amérique du nord juin 2001 - Durée : ≈ 30 min On considère le polynôme P défini par :

P (z) = z

⁴

− 6z

³

+ 24z

²

− 18z + 63.

1. Calculer P ( i p

3 ) et P (

− i p 3 )

puis montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré à coef- ficients réels, que l’on déterminera, tel que, pour tout z ∈ C , on ait P (z) = (

z

²

+ 3 ) Q (z).

2. Résoudre dans C l’équation P (z) = 0.

3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (

O, − → u , − →

v )

, les points A, B, C, D d’affixes respectives z

_A

= i p

3, z

_B

= − i p

3, z

_C

= 3 + 2i p

3 et z

_D

= z

_C

, puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle.

1

(2)

(3)

(4)

Exercice 3 - Type BAC Asie juin 2001 - Durée : ≈ 1 h Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

( O, → −

u , → − v

) .

On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z (z ̸= − 1) associe le point M

^′

d’affixe z

^′

telle que :

z

^′

= − iz − 2 z + 1 .

Soient A, B et C les points d’affixes respectives a = − 1, b = 2i et c = − i.

1. Soit C

^′

l’image du point C par f . Donner l’affixe c

^′

du point C

^′

sous forme algébrique.

2. Calculer l’affixe d du point D ayant pour image par f le point D

^′

d’affixe d

^′

= 1 2 .

3. Pour tout nombre complexe z différent de - 1, on note p le module de z +1 (c’est-à-dire |z +1| = p) et p

^′

le module de z

^′

+ i (c’est-à-dire | z

^′

+ i | = p

^′

).

a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de - 1, on a : pp

^′

= p 5.

b. Si le point M appartient au cercle ( Γ ) de centre A et de rayon 2, montrer qu’alors M

^′

= f (M ) appartient à un cercle ( Γ

^′

), dont on précisera le centre et le rayon.

4. Pour tout nombre complexe z différent de - 1, on considère le nombre complexe ω = z − 2i z + 1 . a. Montrer que z

^′

= −iω.

b. Déterminer l’ensemble (F) des points M d’affixe z telle que z

^′

soit un réel non nul.

c. Vérifier que le point D appartient aux ensembles ( Γ ) et (F).

5. Représenter les ensembles ( Γ ), (F) et ( Γ

^′

) en prenant 4 cm pour unité graphique.

Exercice 4 - Pour s’entrainer, niveau 2 - Thème : Lieux géométriques - Durée : ≈ 20 min

1. Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe dont l’affixe z

_M

vérifie |z

M

− i + 1 | = 3.

2. Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe dont l’affixe z

_M

vérifie | z

_M

− i + 1 | =

|z

M

− i|

3. Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe dont l’affixe z

_M

vérifie à la fois les deux conditions précédentes.

Exercice 5 - Pour s’entrainer,niveau 2 - Thème : applications de C dans C - Durée : env.20 min 1. Soit M un point du plan complexe d’affixe z

_M

. On définit f de C dans C par f (z

_M

) = iz

_M

.

a. Soit z

A

= i + 1. Placer A dans le plan complexe, calculer A

^′

= f (A), et placer A

^′

. b. Essayer avec d’autres points. Que semble-t-il se passer ?

c. Démontrer que f est une isométrie, c’est à dire que l’image d’un segment par f est un seg- ment de même longueur.

d. [Question bonus] Démontrer que f est une rotation.

2. Soit M un point du plan complexe d’affixe z

_M

. On définit f de C dans C par f (z

_M

) = 2iz

_M

. a. Soit z

_A

= i + 1. Placer A dans le plan complexe, calculer A

^′

= f (A), et placer A

^′

.

b. Essayer avec d’autres points. Que semble-t-il se passer ? c. Démontrer que f n’est pas une isométrie.

d. [Question bonus] Démontrer que f est une rotation suivie d’un agrandissement.

Exercice 6 - Pour s’entrainer - Thème : forme trigonométrique - Durée : ≈ 10 min Quelle est la forme trigonométrique de : z

₁

= − 1 + i p

3 et z

₂

= 3 − 3i ?

Exercice 7 - Pour s’entrainer - Thème : module et argument - Durée : env.10 min Déterminer le module et un argument de :

2

(5)

1. z = 1 + i 1 − i 2. z = 1 + i p

3 1 + i 3. z = − p

2 1 + i

Exercice 8 - Pour s’entrainer, niveau 2 - Thème : forme trigonométrique et puissance de nombre com- plexe - Durée : env.20 min

Mettre chaque nombre complexe sous forme trigonométrique.

1. z = (−1 + i)

⁵

2. z = (p

3 − i )

4

3. z =

(p 2 − 1 ) i 1 − i

Exercice 9 - Pour s’entrainer, niveau 2 - Thème : forme trigonométrique - Durée : ≈ 20 min Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :

1. z = ( sin π

6 + i cos π 6

)

6

2. arg(iz) = 3π

4 (2π) et |z| = 2

Exercice 10 - Pour s’entrainer, niveau 2 - Thème : forme trigonométrique et valeurs exactes de cosinus - Durée : env.20 min

On donne les nombres complexes : z

₁

=

p 6 − i p 2

2 et z

₂

= 1 − i.

1. Donner une forme trigonométrique de z

₁

, z

₂

et z

1

z

₂

. 2. Donner la forme algébrique de z

₁

z

2

. 3. En déduire la forme exacte de cos π

12 et de sin π 12 .

Exercice 11 - Pour s’entrainer, niveau 2 - Thème : forme trigonométrique - Durée : ≈ 20 min On rappelle les formules trigonométriques :

cos 2a = 2 cos

²

a − 1 et sin(2a ) = 2 sin a cos a On note z

₁

= 1 + cos α + i sin α avec α ∈ [0; π [.

1. Démontrer que z

₁

= 2 cos α 2 (

cos α

2 + i sin α 2 )

. 2. En déduire le module et un argument de z

₁

.

3. Reprendre la question précédente lorsque α ∈ ] π ; 2 π ].

Exercice 12 - Type BAC tiré de Centres étrangers juin 2014 - Durée : ≈ 1 h On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes z par :

 



z

0

= 16 z

_n+1

= 1 + i

2 z

_n

, pour tout entier naturel n.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine O, on considère les points A

_n

d’affixes z

_n

.

3

(6)

1. Calculer z

₁

, z

₂

et z

₃

.

2. Placer les points A

₀

, A

₁

et A

₂

. 3. Écrire le nombre complexe 1 + i

2 sous forme trigonométrique.

4. Démontrer que le triangle O A

0

A

1

est isocèle rectangle en A

1

.

−4 −2 2 4 6 8 10 12 14 16

−2 2 4 6 8

0

4

(7)

Résultats ou indices

Ex.1

1. M appartient au cercle de centre E d’affixe 1

2 − i de rayon p 5

2 privé du point A. 2.a. z = 2 − z

^′

i − z

^′

2.c. M appartient à la médiatrice de [C D ].

Ex.2 1. P (i p

3) = P (−i p

3) = 0. On pourra utiliser : si z

₀

est une racine de P , alors z

₀

l’est aussi. et Q (z) = z

²

− 6z + 21. 2. Quatre solutions : − i p

3,i p

3,3 − 2i p

3 et 3 + 2i p

3 3. Le cercle de centre E et de rayon 2 p 3.

Ex.3

1.c

^′

= −3 − 3i

2 . 2.d = −1+ 2i. 3.b. Le cercle de centre C et de rayon p 5

2 . 4.b. Le cerle de centre Ω d’affixe

− 1

2 + i et de rayon p 5

2 privé des points B et A.

5.

−3 −2 −1 1

−2

−1 1 2

0

Ω •

A •

C • B • D •

(F )

(Γ)

(Γ

^′

)

Ex.4

1. Le cercle de centre ( − 1; 1) et de rayon 3. 2. La médiatrice du segment joignant les points de coor- données ( − 1; 1) et (0; 1) 3. Deux points : ( − 1