AP 6 : Exponentielle - TS

AP 6 : Exponentielle - TS

Exercice 1

Prouver, que pour tout x ∈ R : 1. 1 − e ^{− 2x}

1 + e ^{− 2x} = e ^2x − 1 e ^2x + 1 2. e ^{− x} − e ^{− 2x} = e ^x − 1

e ^2x 3. (e ^x + e ^−x ) ² − 2 = e ^4x + 1

e ^2x Exercice 2

Montrer que la fonction f définie sur R par f (x) = e ^x − 1

e ^x + 1 est impaire.

Exercice 3

Montrer que, pour tout x ∈ R on a : e ^2x − 1

e ^2x + 1 = e ^x − e ^−x e ^x + e ^{− x} Exercice 4

Dans chacun des cas, justifier que la fonction f est dérivable sur R et fournir la dérivée de f sur R .

1. f (x) = e ^x + 2x − e ³ 2. f (x) = 2xe ^x

3. f (x) = (5x ² − 2x)e ^x 4. f (x) = (e ^x + 2) (e ^x − e)

5. f (x) = 2e ^x − 1 e ^x + 3 6. f (x) = e ^x

⁺

^x

⁻¹ 7. f (x) = e

Exercice 5

Dans chacun des cas, étudier les variations de la fonction f , définie sur R (ou sur R ^∗ dans les cas 4. et 5.), dont on a fourni une expression algébrique.

1. f (x) = xe ^x 2. f (x) = (2 − x ² )e ^x 3. f (x) = x + e ^x

e ^x 4. f (x) = e ^x

x 5. f (x) = 1

e ^x − 1

Exercice 6

1. Démontrer que, pour tout x ∈ R, on a 1 + x ≤ e ^x .

2. a. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, (

1 + 1 n

) _n

≤ e.

b. Démontrer également que, pour tout entier naturel n non nul, (

1 − 1 n

) _n

≤ 1 e . 3. En déduire que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a :

( 1 + 1

n ) _n

≤ e ≤ (

1 − 1 n

) _−n

4. En prenant n = 1 000 en déduire un encadrement de e à 10 ⁻⁴ .

Résultats ou indices

Ex. 4 Dans le désordre : f ^′ (x) = 2e ^2x + (2 − e)e ^x , f ^′ (x) =

(

3x ² + 1 5 x

)

e ^x

⁺

^x

⁻¹ f ^′ (x) = (5x ² + 8x − 2)e ^x , f ^′ (x) = e ^x + 2

f ^′ (x) = 7e ^x (e ^x + 3) ² f ^′ (x) = −x ² + 2x + 1

( x ² + 1 ) ₂ e

f ^′ (x) = 2(x + 1)e ^x

Ex. 5

1. décroissante sur ] − ∞ ; − 1] et croissante ailleurs.

2. décroissante sur ] − ∞ ; − 1 − p

3], croissante sur ] − 1 − p

3; − 1 + p

3], décroissante ailleurs.

3. croissante sur ] − ∞ ; 1] et décroissante ailleurs.

4. décroissante sur ] − ∞ ; 0[, décroissante sur ]0; 1] et croissante ailleurs.

5. décroissante sur ] − ∞ ; 0[ et décroissante sur ]0; +∞ [.

Ex. 6

1. Penser à la fonction f (x) = e ^x − (1 + x).

2. poser x = 1 n . 3.

4. entre 2,7169 et 2,7196.

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