AP nˇr9 - Intégration et primitives - TS

AP nˇr9 - Intégration et primitives - TS

Exercice 1 Type : Exercice de base - Durée indicative : 5 min

Vérifier que F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle donné.

1. sur R : f (x) = (3x + 1)

et F (x) = 3x

+ 3x

+ x 2. sur ]0; +∞ [ : f (x) = 2(x

− 1)

x

et F (x) = (

x + 1 x

)

Exercice 2 Type : Exercice de base - Durée indicative : 10 min

Trouver des primitives des fonctions suivantes sur l’intervalle I considéré.

1. f (x) = x

− 3x + 1 sur I = R 2. f (x) = − 2

p x sur I =]0; +∞[

3. f (x) = 2

x

sur I = ]0; +∞ [

Exercice 3 Type : Exercice de base - Durée indicative : 15 min Trouver la primitive F de f sur I telle que F (x

) = y

.

1. f (x) = x + 1

x

I = ]0; +∞ [ et x

= 1 , y

= 5.

2. f (x) = x

− 2x − 1

2 I = R et x

= 1 , y

= 0.

3. f (x) = 3x − 1

x

I = ]0; +∞ [ et x

= 3 , y

= 2.

Exercice 4Type : Exercice de base - Durée indicative : 20 min

1. La courbe C ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [ − 5 ; 5].

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1.

1.

0

On pose A =

∫

−2

f (x) dx . Un encadrement de A est :

a. 0 < A < 1 b. 1 < A < 2 c. 3 < A < 4 d. 4 < A < 5

2. La courbe ( C ) tracée ci-dessous représente une fonction f dans le plan muni d’un repère or- thonormé.

−2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1 1 2 3

0

C

Cette affirmation est-elle vraie ? Proposition : 2 ⩽ ^∫

1

f (x) dx ⩽ ³

3. On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction f dans un repère du plan.

La valeur de

∫

0

f (x) dx est :

a. e − 2 b. 2 c. 1/4 d. ln(1/2)

−0.5 0.5 1 1.5 0.5

1 1.5 2

0

4. On considère la fonction f définie sur R dont la courbe représentative C

est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé.

−5. −4. −3. −2. −1. 1. 2. 3.

−5.

−4.

−3.

−2.

−1.

1.

2.

0

C

À l’aide de la figure, justifier que la valeur de l’intégrale

∫

0

f (x)dx est comprise entre 2 et 4.

5. On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthonormal, la courbe représenta- tive C d’une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 20].

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

Par lecture graphique : Déterminer un encadrement, d’amplitude 4, par deux nombres entiers de I =

∫

4

f (x) dx.

6. La courbe C

ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f .

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

Par lecture graphique

a. Préciser un domaine du plan dont l’aire est égale à I =

∫

0

f (x) dx unités d’aires.

b. Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi :

0 ⩽ ^I ⩽ ^{9 10} ⩽ ^I ⩽ ^{12 20} ⩽ ^I ⩽ ²⁴

Exercice 5 Type : Exercice de perfectionnement - Durée indicative : 30 min

Soit f la fonction définie par f (x) = xl nx. Soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal.

Soit A l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations respectives x = 1 et x = 2.

On utilise l’algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l’aire A . (voir la figure ci-après).

1 2

1

0

C

Algorithme : Variables

k et n sont des entiers naturels U , V sont des nombres réels Initialisation

U prend la valeur 0 V prend la valeur 0 n prend la valeur 4 Traitement

Pour k allant de 0 à n − 1

Affecter à U la valeur U +

f (

1 +

) Affecter à V la valeur V +

f

(

1 +

) Fin pour

Affichage Afficher U Afficher V 1. a. Que représentent U et V sur le graphique précédent ?

b. Quelles sont les valeurs U et V affichées en sortie de l’algorithme (on donnera une valeur approchée de U par défaut à 10

près et une valeur approchée par excès de V à 10

près) ? c. En déduire un encadrement de A .

2. Soient les suites (U

) et (V

) définies pour tout entier n non nul par : U

= 1

n [

f (1) + f (

1 + 1 n )

+ f (

1 + 2 n )

+ ··· + f (

1 + n − 1 n

)]

V

= 1 n

[ f

( 1 + 1

n )

+ f (

1 + 2 n )

+ ··· + f (

1 + n − 1 n

) + f (2)

] .

On admettra que, pour tout n entier naturel non nul, U

⩽ A ⩽ ^V

. a. Trouver le plus petit entier n tel que V

− U

< 0, 1.

b. Comment modifier l’algorithme précédent pour qu’il permette d’obtenir un encadrement

de A d’amplitude inférieure à 0, 1 ?

Exercice 6 Nouvelle-Calédonie - mars 2016 - Type : Bac - Durée indicative : 30 min On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0 ; 16] par

f (x) = ln(x + 1) et g (x) = ln(x + 1) + 1 − cos(x).

Dans un repère du plan (

O, → − ı , − →

ȷ )

, on note C

et C

les courbes représentatives des fonctions f et g . Comparer les aires des deux surfaces hachurées sur ce graphique.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1 2 3 4 5 6

0

C

C

A

B

Exercice 7 Amérique du Sud - novembre 2015 - Type : Bac - Durée indicative : 20 min Dans le plan muni d’un repère orthonormé

( O, − →

ı , − → ȷ )

, on désigne par C

la courbe représentative de la fonction u définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par :

u(x) = x

− 5x + 4 x

C

⃗ j

⃗ i O

1. Déterminer l’aire A , exprimée en unité d’aire, du domaine hachuré sur le graphique .

2. Pour tout réel λ supérieur ou égal à 4, on note A

l’aire, exprimée en unité d’aire, du domaine formé par les points M de coordonnées (x ; y) telles que

4 ⩽ ^x ⩽ λ et 0 ⩽ ^y ⩽ ^u(x).

Existe-t-il une valeur de λ pour laquelle A

= A ^?

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non

fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Résultats ou indices

Ex. 1 Dériver F.

Ex.2

Dans le désordre : F (x) = − 1

x

+ const ant e ;F (x) = 1 3 x

− 3

2 x

+ x + const ant e ;F (x) = −4 p

x + const ant e Ex.3

Dans le désordre : F (x) = x

3 − x

− x 2 + 7

6 ;F (x) = x

2 − 1

x + 11

2 ;F (x) = − 3 x + 1

2x

+ 53 Ex.4 18

3 < A < 4 ;Vraie ;a ;plus grande qu’un triangle isocèle bien choisie, et plus petite qu’un carré bien choisi aussi. ;28 < I < 32 ;20 < I < 24

Ex.5

1.b. U ≈ 0, 4666 et V ≈ 0, 8132 ; 2.a.14 Ex.6

Les deux aires sont égales.

Ex.7

1. 5 ln 4 − 6 2. théorème des valeurs intermédiaires... Pour indication : 7, 7 < λ < 7, 8