Équations différentielles

(1)

T^aleST I Équations différentielles Fiche n˚12

Exercices d’approche

EXERCICE n^o 1

On considère la fonction définie surRparf(x) = cos(2x) + sin(2x).

1. Combien de fois peut-on dériver cette fonction ? 2. Déterminerf^′(x) puis f^′′(x).

3. Calculerf^′′(x) + 4f(x). On dit que f vérifie l’équation différentielle y^′′+ 4y = 0.

EXERCICE n^o 2

On cherche des fonctions solutions de l’équation (E) : y^′ = 2y, c’est à dire telles que, pour tout réel x, f^′(x) = 2f(x).

1. L’équation (E) a-telle pour solution une fonction constante ?

2. L’équation (E) a-telle pour solution une fonction polynôme de degrén non nul ?

3. Démontrer que (E) a une solution de la formef(x) =e^ax où aest une constante réelle à déterminer.

4. L’équation (E) a-t-elle de nouvelles solutions de la formef(x) =e^ax+C oùCest une constante réelle ? 5. L’équation (E) a-t-elle de nouvelles solutions de la formef(x) =k e^ax où kest une constante réelle ?

EXERCICE n^o 3

Résoudre les équations différentielles suivantes, où y désigne une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable deux fois de dérivées succesivesy^′ ety^′′ sur R:

a) y^′ =x−2 b)y^′= sin(3x) c)y^′′ =x²+x+ 1 d)y^′′ = 2e³^x.

Équations différentielles du premier ordre

EXERCICE n^o 4

Résoudre les équations différentielles suivantes, où y désigne une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable de dérivée y^′ surR :

a) y^′−2y= 0 b)y^′+y= 0 c)y^′ =−y

4 d)y+ 3y^′ = 0.

EXERCICE n^o 5

Résoudre l’équation différentielle (E) puis déterminer la solution particulière vérifiant la condition initiale.

a) 2y^′+y= 0 etf(ln 4) = 1 b)y^′−1

3y= 0 etf^′(0) = 1

3 c)y^′ =−5yetf(1) =e¹⁰.

EXERCICE n^o 6 (Bac)

On considère l’équation différentielle E :y^′+y=−x−1 où y désigne une fonction de la variable x définie et dérivable sur l’ensemble des réelsR.

1. (a) Résoudre l’équation différentielle y^′+y = 0.

(b) Déterminer la solutionh de cette équation différentielle y^′+y= 0 prenant la valeur 1

e enx= 1.

2. Déterminer le nombre réel atel que la fonction u définie sur R par u(x) = e^−x+ax soit solution de l’équation différentielle (E).

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(2)

1. Résoudre l’équation différentielle (E⁰) : y^′= 2yoù l’inconnue yest une fonction de la variable réeelle x, définie et dérivable surRety^′ sa fonction dérivée.

2. Soit l’équation différentielle (E) :y^′−2y= e^x où l’inconnuey est une fonction de la variable réellex, définie et dérivable sur Rety^′ sa fonction dérivée.

(a) Soitaun nombre réel et u la fonction définie pour tout réelx paru(x) =ae^x. Déterminerapour que la fonctionu soit une solution de l’équation différentielle (E).

(b) Soitbun nombre réel. On admet que la fonctionwdéfinie pour tout réelxparw(x) =be²^x−e^xest une solution de l’équation différentielle (E). Déterminerbpour que la fonctionwvérifiew(0) = 0.

On note (E) l’équation différentielle :y^′+y = 3e⁻^x+x+ 1 où y est une fonction inconnue de la variable réelle x, dérivable sur l’ensemble Rdes nombres réels.

1. Résoudre l’équation différentielle :y^′+y = 0.

2. Vérifier que la fonctionu définie surR par :u(x) = 3xe⁻^x+x, est une solution de (E).

3. On admet que toute solution f de l’équation (E) est de la forme f(x) =u(x) +Ce^−x où C est une constante réelle etula fonction définie à la question 2. Déterminer la solutionf de l’équation (E) telle que :f(0) = 2.

On considère la fonction m définie sur [ 0 ; +∞ [, qui à t associe m(t), où m(t) est la masse de sel, en grammes, que contient une solution salée à l’instant t,t en minutes.

On admet que la fonction m est une solution de l’équation différentielle (E) : 5y^′+y = 0 et que l’on a en plus la condition initialem(0) = 300.

1. (a) Résoudre l’équation différentielle (E).

(b) Montrer que, pour tout t≥0 on am(t) = 300 e⁻⁵^t 2. Déterminer le réelt0 tel quem(t⁰) = 150.

3. On admet qu’il est impossible de détecter la présence du sel à l’instanttsi et seulement sim(t)≤10⁻². A partir de quel instant est-il impossible de détecter la présence de sel ?

On considère les équations différentielles (E¹) :y^′−2y= 0 et (E²) :y^′ =y.

1. (a) Résoudre les équations différentielles (E¹) et (E²).

(b) Déterminer la solution particulièref1 de (E¹) telle que f1^′(0) = 4.

(c) Déterminer la solution particulièref2 de (E2) telle que f2(0) = 1.

2. Soitg la fonction définie sur Rpar :g(x) = 2e²^x−e^x.

(a) Étudier les limites de la fonction g en −∞ et en +∞. Pour étudier la limite de g en +∞, on pourra écrire, pour tout nombre réelx,g(x) =e^x(2e^x−1).

(b) Déduire de la question précédente l’existence d’une asymptote dont on précisera une équation.

(c) Déterminer la dérivée g^′ deg.

(d) Étudier le signe deg^′. En déduire le tableau de variation deg.

3. Préciser les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les axes du repère.

4. Construire la courbe représentative de la fonctiong dans un repère orthogonal.

5. Déterminer, en unités d’aire, l’aire comprise entre la courbe de g, l’axe Ox et les droites d’équations respectivesx= 0 etx= 1.

(3)

Équations différentielles du second ordre

EXERCICE n^o 11

Résoudre les équations différentielles suivantes dans laquelle l’inconnue y est une fonction de la variable réelle xdéfinie et deux fois dérivable surR ety^′′ la dérivée seconde dey.

a) y^′′+ 16y = 0 b) 9y^′′+y= 0 c) 4y^′′=−25y d) 169y+ 4y^′′= 0.

On considère l’équation différentielle (E) suivante :π²y+ 9y^′′= 0 où yest une fonction de la variable réelle x ety^′′ sa dérivée seconde.

1. Soitg la fonction nuérique définie pour tout nombre réel xparg(x) = 2 cosπ 3x

+ 4 sinπ 3x

. Vérifier que la fonctiong est une solution de l’équation différentielle (E).

2. (a) Donner la forme générale des solutions de l’équation différentielle (E).

(b) Déterminer la solution particulièref qui vérifie :f(0) = 1 etf^′(0) = π 3.

(c) Montrer que, pour tout nombre réel x,f(x) peut s’écrire sous la formef(x) =√

2 cosπ 3x−π

4

. (d) Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 3 ] l’équationf(x) = 1.

1. Résoudre l’équation différentielle :y^′′+ 16y = 0, y désignant une fonction numérique d’une variable réelle définie et deux fois dérivable sur l’ensembleR des nombres réels.

2. Déterminer la solutionf de cette équation différentielle vérifiant : f(0) = 1

10 etf^′(0) =−2√ 3 5 . 3. Démontrer que, pour tout nombre réel x, on a :f(x) = 1

5cos4x+π 3

. 4. (a) Résoudre, dans l’ensemble Rdes nombres réels, l’équation f(x) = 1

5. (b) Déterminer les solutions de l’équation f(x) = 1

5 qui appartiennent à l’intervalle [ 0 ; 2π [.

Représenter ces solutions sur un cercle trigonométrique.

1. On considère l’équation différentielle (E⁰) :y^′′+ 4y = 0 oùy désigne une fonction de la variable réelle t, définie et deux fois dérivable sur l’ensembleR des nombres réels, ety^′′ sa dérivée seconde.

(a) Résoudre l’équation (E⁰).

(b) Déterminer la solution particulière f de (E⁰) vérifiant : f(0) =√

3 etf^′(0) = 2 où f^′ désigne la fonction dérivée de la fonction f.

(c) Montrer que pour tout réel t,f(t) peut s’écrire sous la forme : f(t) = 2 cos2t− π 6

. (d) Calculer la valeur moyenne def sur l’intervalle0 ; π

2

.

2. On considère maintenant l’équation différentielle (E¹) :y^′′+ 4y= 3 sintoù y désigne une fonction de la variable réellet, définie et deux fois dérivable sur l’ensemble R, ety^′′ sa dérivée seconde.

(a) Montrer que si une fonction g est solution de l’équation (E0), alors la fonction h définie sur R par :h(t) =g(t) + sintest solution de l’équation (E1).

(b) Donner une solution particulière, ne s’annulant pas pourt= 0, de l’équation (E¹).

(4)

On considère l’équation différentielle (E) : y^′′+ 25y = 0 où y désigne une fonction de la variable réelle x définie et deux fois dérivable sur l’ensemble Rdes nombres réels, ety^′′ sa fonction dérivée seconde.

1. Résoudre l’équation (E).

2. Soit f la fonction définie et dérivable sur R, dont on note f^′ la fonction dérivée, vérifiant les trois conditions suivantes :

– f est solution de l’équation différentielle (E) ;

– la courbe représentative def dans un repère du plan passe par le point de coordonnéesπ

6 ; −2; – La tangente à la courbe au point d’abscisse 0 a pour coefficient directeur −5.

Montrer que, pour tout réel x,f(x) =√

3 cos 5x−sin 5x.

3. Vérifier que, pour tout réel x,f(x) = 2 cos5x+ π 6

. 4. Calculer la valeur moyenne def sur l’intervalle sur0 ; π

6

.

Un circuit électrique comprend en série un générateur, un conducteur ohmique de résistance R (exprimée en ohms), un condensateur de capacitéC (exprimée en farads) et un interrupteur. On ferme l’interrupteur à l’instantt= 0 et le générateur délivre alors une tension constanteE (exprimée en volts). On procède ainsi à la charge du condensateur.

La charge q en coulombs du condensateur est une fonction dérivable du temps t (exprimé en secondes) ; l’intensité idu courant (exprimée en ampères) est alors telle quei(t) =q^′(t).

On considère l’équation différentielle : y^′+ 1

RCy= E

R dans laquelle y est une fonction de la variable réelle t, définie et dérivable surR.

Dans tout ce qui suit, on prendR= 1000, C = 10⁻⁴ etE= 10.

1. Écrire l’équation différentielle ci-dessus en remplaçantR, C etE par leurs valeurs respectives.

2. On admet que la fonction q est définie sur [ 0 ; +∞ [ parq(t) =−10⁻³e⁻¹⁰^t+ 10⁻³.

(a) Déterminer la fonction dérivéeq^′ de la fonction q, puis vérifier queq est solution sur [ 0 ; +∞ [ de l’équation différentielle établie à la question 1.

(b) Déterminerq(0), la limite deq en +∞ et le sens de variations deq sur [ 0 ; +∞[.

3. On admet que l’intensité du courantiqui parcourt le circuit à l’instanttest donnée par i(t) = 10⁻²e⁻¹⁰^t.

Déterminer la valeur exacte de l’instantt0à partir duquel l’intensité i(t) est inférieure ou égale à 10⁻³ ampère. Préciser sa valeur arrondie au centième de seconde.

4. On sait enfin que l’énergie W dissipée dans le conducteur ohmique, exprimée en joules, entre les instantst= 0 et t= 0,23, est donnée par :W = 100^Z

0,23 0

i²(t) dt.

(a) Préciser une primitive de la fonctionh définie sur [ 0 ; +∞ [ parh(t) = e⁻²⁰^t. (b) Calculer alorsW et en donner la valeur arrondie à 10⁻³ près.