[ DM à rendre pour le 11 mai \
EXERCICE1 4 points
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, trois réponses sont proposées et une seule d’entre elles est exacte.
Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie et justifiera son choix.
li est attribué un point par réponse correcte et convenablement justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.
Pour les questions 1 et 2, l’espace est muni d’un repère orthonormé³ O,−→
ı,−→
,→− k´
. , La droiteDest définie par la représentation paramétrique
x = 5−2t y = 1+3t z = 4
,t∈R.
1. On noteP le plan d’équation cartésienne 3x+2y+z−6=0.
a. La droiteDest perpendiculaire au planP. b. La droiteDest parallèle au planP. c. La droiteDest incluse dans le planP.
2. On noteD′la droite qui passe par le point A de coordonnées (3 ; 1 ; 1) et a pour vecteur directeur−→ u =2→−
i −→− j +2→−
k. a. Les droitesDetD′sont parallèles.
b. Les droitesDetD′sont sécantes.
c. Les droitesDetD′ne sont pas coplanaires.
Pour les questions 3 et 4, le plan est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.
1. SoitEl’ensemble des pointsMd’affixezvérifiant|z+i| = |z−i|.
a. Eest l’axe des abscisses.
b. Eest l’axe des ordonnées.
c. Eest le cercle ayant pour centre O et pour rayon 1.
2. On désigne par B et C deux points du plan dont les affixes respectivesbetcvérifient l’égalité c
b=p 2ei
π 4 .
a. Le triangle OBC est isocèle en O.
b. Les points O, B, C sont alignés.
c. Le triangle OBC est isocèle et rectangle en B.
EXERCICE2 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité On considère la suite (un) définie surNpar :
u0=2 et pour tout entier natureln,un+1= un+2 2un+1. On admet que pour tout entier natureln,un>0.
1. a. Calculeru1,u2,u3,u4. On pourra en donner une valeur approchée à 10−2près.
b. Vérifier que sinest l’un des entiers 0, 1, 2, 3, 4 alorsun−1 a le même signe que (−1)n. c. Établir que pour tout entier natureln,un+1−1=−un+1
2un+1.
d. Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln,un−1 a le même signe que (−1)n 2. Pour tout entier natureln, on posevn=un−1
un+1.
a. Établir que pour tout entier natureln,vn+1=−un+1 3un+3.
b. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison−1 3. En déduire l’expression devnen fonction den.
c. On admet que pour tout entier natureln,un=1+vn
1−vn
.
Exprimerunen fonction denet déterminer la limite de la suite (un).
EXERCICE3
Commun à tous les candidats Partie A
Soitf la fonction dérivable, définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
f(x)=xln(x).
1. Déterminer les limites def en 0 et en+∞.
2. On appellef′la fonction dérivée def sur ]0 ;+∞[. Montrer que f′(x)=ln(x)+1.
3. Déterminer les variations def sur ]0 ;+∞[.
Partie B
SoitC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormal.
SoitAl’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbeCet les droites d’équations respectives x=1 etx=2.
On utilise l’algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l’aireA. (voir la figure ci-après).
1 2 3
1
O
C
Algorithme :
Variables
ketnsont des entiers naturels U,V sont des nombres réels Initialisation
Uprend la valeur 0 Vprend la valeur 0 nprend la valeur 4 Traitement
Pourkallant de 0 àn−1
Affecter àUla valeurU+n1f³ 1+kn
´ Affecter àVla valeurV+1nf³
1+k+n1
´ Fin pour
Affichage AfficherU AfficherV
1. a. Que représententUetV sur le graphique précédent ?
b. Quelles sont les valeursUetV affichées en sortie de l’algorithme (on donnera une valeur approchée deUpar défaut à 10−4près et une valeur approchée par excès deV à 10−4près) ?
c. En déduire un encadrement deA.
2. Soient les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entiernnon nul par :
Un = 1 n
· f(1)+f
µ 1+1
n
¶ +f
µ 1+2
n
¶ + ··· +f
µ
1+n−1 n
¶¸
Vn = 1 n
· f
µ 1+1
n
¶ +f
µ 1+2
n
¶ + ··· +f
µ
1+n−1 n
¶ +f(2)
¸ .
On admettra que, pour toutnentier naturel non nul,Un6A6Vn. a. Trouver le plus petit entierntel queVn−Un<0,1.
b. Comment modifier l’algorithme précédent pour qu’il permette d’obtenir un encadrement deA d’amplitude inférieure à 0,1?
Partie C
SoitFla fonction dérivable, définie sur ]0 ;+∞[ par
F(x)=x2
2 lnx−x2 4. 1. Montrer queFest une primitive def sur ]0 ;+∞[.
2. Calculer la valeur exacte deA.
EXERCICE4
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que AB = 2, AD = 3 et AE = 1.
On appelle respectivement I, J et P les milieux respectifs des segments [CD], [EF] et [AB].
On note Q le point défini par−−→AQ=1 3
−−→AD.
A
B C
D E
F G
H
I J
P
Q
+
+ +
+
On appelleplan médiateur d’un segmentle plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
L’objectif de l’exercice est de déterminer les coordonnées du centre d’une sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ (c’est-à-dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J).
L’espace est rapporté au repère orthonormal³
A ;−→AP,−−→AQ,−→AE´ . 1. Justifier que les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires.
2. Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur (P1) du segment [AB].
3. Soit (P2) le plan d’équation cartésienne 3y−z−4=0.
Montrer que le plan (P2) est le plan médiateur du segment [IJ].
4. a. Démontrer que les plans (P1) et (P2) sont sécants.
b. Montrer que leur intersection est une droite (∆) dont une représentation paramétrique est
x = 1
y = t
z = 3t−4
oùt décrit l’ensemble des nombres réelsR.
c. Déterminer les coordonnées du pointΩde la droite (∆) tel queΩA =ΩI.
d. Montrer que le pointΩest centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ.
