Réponses des travaux de vacances sur les équations de droites
1)a) AB ≡ y = x + 5 b) (2,7)
c) (-10,-5) d) non
e) inters avec OX : (-5,0) inters avec OY : (0,5) f) d1 ≡ y = -7/8 x + 6
g) d2 ≡ y = 8/7 x + 16/7 h) OA ≡ y = - 4x i)
k y
k x
5 4
3
1 a = 5/3 et α = 59°
j) d ≡ y = -1/2 x + ½ k) a = -1/2 et α = - 27°
l) d3 ≡ y = 2,7 x – 21,9 m) y = 4
n) x = -3
o) d ≡ y = 3x + 7
p) M (-2,3) m ≡ y = 3/2 x + 6 q) aBC = 4/3 h ≡ y = - ¾ x + 13/4 r)
8 '
cos 5 . 2 2 . 2 25 8 5
5 )² 2 6 ( )² 3 0 (
5 )² 4 6 ( )² 1 0 (
2 2 )² 4 2 ( )² 1 3 (
B où d B BC
AC AB
2) OX ∩ d2 : (4,0) d ≡ y = 5x – 20 3) d2 ∩ d3 : (-11,- 14) d ≡ y = x – 3
Réponses des travaux de vacances sur les angles associés
1) et sonta) complémentaires
b) opposés ou supplémentaires car
opposées tg
des ont et où d
tg tg
tg tg
'
) (
) (
c) supplémentaires car
égaux des
ont et où
d' sin
sin )
sin(
sin )
sin(
d) opposés ou supplémentaires car
opposées tg
co des ont et où d
g gtg
g g
'
cot )
3 ( cot
cot ) 4 ( cot
e) égaux car
égaux des
ont et où
d' cos
cos )
cos(
cos )
cos(
f) opposés ou antisupplémentaires car
opposés des
ont et où
d' sin
sin )
2 / cos(
) 2 / 5 cos(
sin ) sin(
) 5 sin(
2) voir à la fin du document 3)
a) = - car
sin ) 2 / cos(
sin )
sin(
b) = - car tg( 25)tg()tg c) = - car
cos )
cos(
cos ) cos(
) 2 cos(
4)
cos ²
) cos ( cot
cos ) (
cos tg
g
tg
5)
3 30 cot 210 cot
1 ) 4 / ( ) 4 / 5 (
2 ) 3 3 / sin(
) 3 / 4 sin(
) 3 / 2 sin(
2 60 1 cos 300 cos
g g
tg
tg
Réponses des travaux de vacances sur les inéquations
Toutes les inéquations se résolvent avec tableaux de signesS = [0 , 27]
S = ]- , -7/6[U]2/3,+ [ S = [-5,9[
S = ]- ,-4[U]4,+ [ S= ]- ,0]U]2,3[
S = ]- ,-7/2[
S = ]- ,5/6[U]1,+ [ S = ]1/2,15/16[U]3/2,+ [ S = ]-1/2,1/2[
Réponses des travaux de vacances sur les fonctions
(voir les graphiques en fin de document)1)
Pas de C.E. D = R C.E. : x ≠ 4 D = R \ {4}
C.E. : x ≠ ± 4 D = R \ {-4,4}
C.E. : x² + x + 10 ≠ 0 pas de racine D = R C.E. : x² - 5x + 6 = 0 D = R \ {2,3}
C.E. : x³ + 9x ≠ 0 x ( x² + 9) ≠ 0
x ≠ 0 et x² + 9 : pas de racine D = R0
C.E. : 5 – 6x ≥ 0
x ≤ 5/6 D = ]- ,5/6]
C.E. : 0
3 1 2
x x
tableau de signes (racines : 1/2 et 0) D = ]- ,0[U[1/2,+ [ 2 C.E. : 1) 2x – 1 ≥ 0 et 2)3x > 0
x ≥ 1/2 x > 0 D = [1/2,+ [
C.E. : 9x² + 1 ≥ 0
tableau de signes (pas de racine d’où « + » partout) D = R C.E. : 16x² - 1 ≥ 0
tableau de signes (racines : -1/4, 1/4) D = ]- ,-1/4]U[1/4,+ [ C.E. : 4x² - 9 > 0
tableau de signes (racines : -3/2 ; 3/2) D = ]- ,-3/2[U]3/2,+ [ Pas de C.E. car racine d’indice impair D = R
Pas de C.E. car pas de dénom et pas de racine d’indice pair (rem : pas de C.E. sur les valeurs absolues) D = R
2 C.E. : 1) -4x ≥ 0 et 2)3x³ ≠ 0
x ≤ 0 x ≠ 0 D = ]- ,0[
2 C.E. : 1) -8x + 5 ≥ 0 et 2)x + 1 > 0 x ≤ 5/8 x > -1/2
D = ]-1/2,5/8]
3 C.E. : 1) x + 2 ≥ 0 et 2)x ≠ 0 et 3) x – 5 > 0
x ≥ -2 x > 5
D = ]5 , +[ C.E. : sin x ≠ 0
} , /{k k Z R
D k x
C.E. :
} 2,
20 /{7
2 20 7
2 2 5
2 2 5
Z k k R
D
k x
k x
k x
2)
a) I = ]- , 1]
croissant sur ] - ,0[ et décroissant sur ]0,+ [ max (0,1)
concavité vers le bas pas de P.I.
axe ≡ x = 0 b) I = ]- , +[
croissant sur ]- , +[ pas d’extremum
concavité vers le bas sur ] - ,-1[ et vers le haut sur ]-1,+ [ P.I. (-1,-2)
pas d’axe de symétrie c) I = ]- , 0]
croissant sur ] - ,0[ et décroissant sur ]0,+ [ max (0,0)
concavité vers le bas pas de P.I.
axe ≡ x = 0 d) D = [-3,+ [
I = [-1,+[
croissant sur ] - ,-3[
pas d’extremum (rem : « point de départ » (-3,-1) concavité vers le bas
pas de P.I.
pas d’axe de symétrie e) D = ]- ,2]
I = [0,+[
décroissant sur ] - ,2[
pas d’extremum (rem : « point d’arrivée » (-2,0) concavité vers le bas
pas de P.I.
pas d’axe de symétrie f) I = [0,+ [
décroissant sur ] - ,-2U]0,2[ et croissant sur ]-2,0[U]2,+ [ concavité vers le bas sur ]-2,2[ et vers le haut sur ]- ,-2[U]2,+ [ axe ≡ x = 0
g) D = R \ {-3} rem : discontinue en x = -3 et A.V. ≡ x = -3 I = R0
décroissant sur R0
pas d’extremum
concavité vers le bas sur ]- ,-3[ et vers le haut sur ]-3,+ [ pas de P.I.
pas d’axe de symétrie
h) C.E. : (x + 4)² ≥0 (condition toujours vraie) D = R rem : (x4)² x4
I = [0,+ [
décroissant sur ] - ,-4[ et croissant sur ]-4,+ [ min (-4,0)
pas de concavité (car union de 2 demi-droites) pas de P.I.
axe ≡ x = -4 3) axe ≡ x = -5/4
sommet (-5/4,-49/8)
intersection avec OX : (1/2,0) et (-3,0) intersection avec OY : (0,-3)
Pour trouver l’intersection éventuelle entre P et d, il faut résoudre le système :
3
3 5
² 2 x y
x x y
2x² + 5x – 3 = x – 3 2x² + 4x = 0
2x (x + 2) = 0 x = 0 ou x = -2
(0,3),(2,5)
d P
4) f(8) = 3 et f(-1) = 2 d’où
9 / 19 ) 9 / 1 ( 8 3
9 / 1 9 1
) 1 ( 2
8 3
b a
a
b a
b a
f(x) = 1/9 x + 19/9
5) rappel : paire ssi f(-x) = f(x) impaire ssi f(-x) = - f(x) ni paire, ni impaire ssi
( )
) ) (
( f x
x x f
f
a) paire (le polynôme n’a que des termes de puissances paires) b) impaire (le polynôme n’a que des termes de puissances impaires) c) impaire car sin(-x) = - sinx (angles associés)
d) paire car cos (- x) = cos x (angles associés e) ni paire, ni impaire
f) impaire car impaire impaire
paire
g) ni paire, ni impaire (rem : D = [1/4,+ [ d’où f(-x) n’a pas de sens) h) paire car f(-x) = (sin(-x))² = (-sin x)² = (sin x)² = f(x)
i) paire car cos (-x) = cos x
j) paire (le polynôme n’a que des termes de puissances paires ) k) ni paire, ni impaire car sin x est impair et cos x est pair
l) impaire car impaire impaire
paire
m) ni paire, ni impaire car le dénom. n’est déjà ni pair ni impair n) paire car paire
impaire impaire
(en effet : sin( ) sin sin ( )
)
( f x
x x x
x x
x x
f
)
o) ni pair, ni impair (D = [0, +[ d’où f(-x) n’a pas de sens) p) paire (rem : D = R)
6) concavité vers le haut sur ]1, +[
concavité vers le bas sur ]3,+ [ (rem : (3 – x)³ - 1 s’écrit « - (x – 3)³ - 1 » 7)
3 5
2 5
² x y
x x y
x² + 5x + 2 = 5x + 3 x² - 1 = 0
x = -1 ou x = 1
(1,2),(1,8)
d P
--- Exercice 2 sur les angles associés
jaune : angle donné du 3ème Q et son antisupplém dans le 1er Q
bleu : son opposé da,s le 2ème Q et son supplémentaire dans le 4ème Q
vert : son complémentaire dans le 3ème Q (rem:ne pas considérerl’angle vert du 1er Q)
Graphiques de l’énoncé N°2 sur les fonctions
Graphique de l’énoncé N°3 sur les fonctions
