Limites d'une fonction en un point

Limites d'une fonction en un point

Cours de É. Bouchet ECS1 12 novembre 2019

Table des matières

1 Dénition 2

1.1 Voisinage . . . 2

1.2 Limite et continuité de la fonction f en x0 . . . 2

1.3 Limite à droite et à gauche au voisinage dex0 . . . 3

1.4 Extension de la notion de limite . . . 4

2 Propriétés 5 2.1 Opérations sur les limites . . . 5

2.2 Limites et relation d'ordre . . . 6

2.3 Théorème d'encadrement . . . 7

2.4 Prolongement par continuité en x₀ . . . 8

2.5 Limites et suites . . . 8

2.6 Limite d'une fonction composée . . . 9

1 Dénition

Dans tout le chapitre, les fonctionsf considérées sont dénies sur un ensembleDf ⊂R et à valeurs dans R.

1.1 Voisinage

Soit x₀ un réel. Un voisinage de x₀ est un intervalle ouvert contenantx₀.

On dit qu'une fonctionf est dénie au voisinage dex₀ lorsqu'il existe un intervalle ouvert I contenant x0 tel que I\ {x₀} ⊂Df.

Dénition (Voisinage d'un point).

Remarque. f n'a pas besoin d'être dénie au pointx₀ pour être dénie au voisinage de x₀. Exemple 1. La fonctionf telle que∀x∈R^∗,f(x) = ¹_x est dénie au voisinage de tout point de R.

Un voisinage de +∞(resp. −∞) est un intervalle du type]B,+∞[(resp.]− ∞, B[), où B ∈R. Dénition (Voisinage de l'inni).

1.2 Limite et continuité de la fonction f en x₀

Soit f une fonction dénie au voisinage d'un pointx0∈R. Soit `∈R. On dit que f admet pour limite ` enx₀ lorsque pour tout réelε >0, il existe un réelη >0tel que pour tout élémentx∈D_f∩[x₀−η, x₀+η],

|f(x)−`|6ε.

On note alors lim

x→x0

f(x) =`ou lim

x0

f =`.

Dénition (Limite def en x0).

Remarque. Cela s'écrit également :∀ε >0,∃η >0tel que ∀x∈Df,|x−x₀|6η=⇒ |f(x)−`|6ε.

Soit f une fonction dénie au voisinage d'un point x0 ∈R. Sif admet une limite réelle enx0, alors cette limite est unique.

Proposition (Unicité de la limite).

Démonstration. Soit x0 ∈R. On suppose quef admet deux limites réelles distinctes` et`⁰ en x0. Soit ε= ^|`−`₃ ^0| >0, il existe doncη >0 etη⁰ >0 tels que pour tout x∈D_f,

|x−x₀|6η=⇒ |f(x)−`|6εet |x−x₀|6η⁰=⇒

f(x)−`⁰ 6ε.

Soitx∈D_f tel que |x−x₀|6min(η, η⁰). On trouve par inégalité triangulaire : `−`⁰

=

`−f(x) +f(x)−`⁰

6|`−f(x)|+

f(x)−`⁰

62ε= 2 3

`−`⁰ , ce qui est absurde. D'où l'unicité.

Soitf une fonction dénie au voisinage d'un point x0 ∈R. On dit quef est continue en x0 lorsque f est dénie enx₀ et que f admet pour limitef(x₀)en x₀.

Dénition (Continuité).

1.3 Limite à droite et à gauche au voisinage de x0

Soitf une fonction dénie au voisinage d'un pointx₀ ∈R, ou telle quex₀est une borne deD_f. Soit`∈R. La fonction f admet pour limite à gauche `en x0 lorsque pour tout réel ε >0, il existe un réelη > 0 tel que ∀x∈D_f ∩[x₀−η, x₀],

|f(x)−`|6ε.

On note alors lim

x→x⁻₀

f(x) =`. Dénition (Limite à gauche).

Soitf une fonction dénie au voisinage d'un pointx0 ∈R, ou telle quex0est une borne deD_f. Soit`∈R. La fonctionf admet pour limite à droite`en x₀ lorsque pour tout réel ε >0, il existe un réelη >0tel que∀x∈Df ∩[x0, x0+η],

|f(x)−`|6ε.

On note alors lim

x→x⁺₀

f(x) =`. Dénition (Limite à droite).

Soit f une fonction dénie au voisinage d'un point x₀ ∈R. Soit`∈R. La fonction f admet pour limite ` en x0 si et seulement si

lim

x→x⁻₀

f(x) = lim

x→x⁺₀

f(x) =`.

Six0∈Df, il faut de plus ajouter la condition `=f(x0). Proposition.

Exemple 2. Soitf la fonction dénie par f(x) = 0 si x 60 etf(x) = 1si x >0. La fonction admet une limite à droite en0, qui vaut 1, et une limite à gauche en 0, qui vaut0. Elle n'admet par contre pas de limite en 0.

1.4 Extension de la notion de limite

Soit f une fonction dénie au voisinage d'un point x₀ ∈ R, ou telle que x₀ est une borne de D_f. La fonction f admet pour limite +∞ en x0 lorsque pour tout A > 0, il existe η > 0 tel que pour tout x∈D_f ∩[x0−η, x0+η],

f(x)>A.

On note alors lim

x→x₀f(x) = +∞.

Dénition (Limite innie au voisinage dex₀).

Remarque. De même, la fonctionf admet pour limite −∞en x₀ lorsque pour toutA > 0, il existe η >0 tel que pour toutx∈Df ∩[x0−η, x0+η],

f(x)6−A.

On note alors lim

x→x₀f(x) =−∞.

Soit f une fonction dénie au voisinage de+∞. Soit`un réel. La fonction f admet` pour limite en+∞

lorsque pour tout ε >0, il existeB >0 tel que pour toutx∈D_f ∩[B,+∞[,

|f(x)−`|6ε.

On note alors lim

x→+∞f(x) =`ou lim

+∞f =`.

Dénition (Limite nie au voisinage de l'inni).

Soitf une fonction dénie au voisinage de +∞. La fonctionf admet+∞pour limite en+∞lorsque pour toutA >0, il existeB >0 tel que pour toutx∈D_f ∩[B,+∞[,

f(x)>A.

On note alors lim

x→+∞f(x) = +∞ oulim

+∞f = +∞. Dénition (Limite innie au voisinage de l'inni).

Remarque. On peut également rencontrer les cas suivants :

La fonction f admet ` pour limite en −∞ lorsque pour tout ε > 0, il existe B > 0 tel que pour tout x∈D_f∩]− ∞,−B],

|f(x)−`|6ε.

La fonction f admet +∞ pour limite en −∞ lorsque pour tout A > 0, il existe B > 0 tel que pour tout x∈D_f∩]− ∞,−B],

f(x)>A.

Soit f une fonction dénie au voisinage de +∞ (resp. de −∞). Si lim

x→+∞f(x) (resp. lim

x→−∞f(x)) existe, alors cette limite est unique.

Proposition (Unicité de la limite).

2 Propriétés

2.1 Opérations sur les limites

Soitf etgdeux fonctions. Soit αun réel, ou+∞, ou−∞. Soit`1 et`2 deux réels. On suppose dans cette section que

x→αlimf(x) existe et que lim

x→αg(x) existe.

Remarque. Attention : avant toute opération, il est indispensable d'établir l'existence de chacune des limites inter- venant dans le calcul.

lim(f+g) :

limf `₁ +∞ −∞

limg

`<sub>2</sub> `₁+`₂ +∞ −∞

+∞ +∞ +∞ F.I.

−∞ −∞ F.I. −∞

lim(|f.g|)

limf `1 >0 0 +∞

limg

`2 >0 `1`2 0 +∞

0 0 0 F.I.

+∞ +∞ F.I. +∞

On applique ensuite les règles de signes pour trouver des limites avec`_i<0ou −∞.

Silim

α f =`6= 0, alors lim

α

1 f = 1

`. Silim

α f =±∞, alors lim

α

1 f =0.

Silim

α f = 0 etf >0 au voisinage deα, alors lim

α

1

f =+∞. Silim

α f = 0 etf <0 au voisinage deα, alors lim

α

1

f =−∞. Proposition (Limite de l'inverse).

Les limites pour le quotient s'obtiennent ensuite à partir de celles du produit et de l'inverse.

2.2 Limites et relation d'ordre

Soit α un réel, ou +∞, ou −∞, et f une fonction dénie au voisinage de α. Si la fonction f admet une limite nie enα, alors f est bornée au voisinage deα.

Proposition.

Démonstration. On eectue la preuve dans le cas α∈R. Soit`∈R la limite nie def en α.

Soitε= 1>0. Alors∃η >0 tel que ∀x∈D_f∩[α−η, α+η],|f(x)−`|61, c'est-à-dire `−16f(x)6`+ 1. Doncf est bornée au voisinage deα (par`−1 et`+ 1).

Soitα un réel, ou +∞, ou−∞. Soitf etgdeux fonctions dénies au voisinage deα, et soit`1 et`2 deux réels. On suppose que pour x au voisinage deα,

f(x)6g(x).

Sif admet pour limite `<sub>1</sub> en α etgadmet pour limite `₂ en α alors`<sub>1</sub> 6`₂. Proposition (Passage à la limite dans une inégalité).

Démonstration. On eectue la preuve dans le cas α∈R.

SoitD=D_f ∩D_g. On raisonne par l'absurde en supposant `<sub>1</sub> > `₂. La fonctionf−g a pour limite`1−`2 en α. On pose ε= ^`1−`₂ ².

Notre supposition donneε >0, il existe doncη₁ >0 tel que ∀x∈D∩[α−η₁, α+η₁],

|(f−g)(x)−(`<sub>1</sub>−`₂)|6ε, c'est-à-dire en particulier0< ε6f(x)−g(x). Donc

∀x∈D∩[α−η1, α+η1], f(x)> g(x).

Par ailleurs, on a supposéf(x)6g(x) au voisinage deα. Il existe donc η2>0tel que :

∀x∈D∩[α−η₂, α+η₂], f(x)6g(x).

Soitη = min(η₁, η₂). Alors∀x∈D∩[α−η, α+η], on a à la foisf(x) > g(x) etf(x)6g(x), ce qui est impossible.

D'où le résultat.

Remarque. En particulier, sif(x)>0au voisinage deα et sif admet une limite`en α alors`>0. Mais attention, ce résultat devient faux si on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes.

Remarque. Ce résultat s'étend aussi au cas des limites innies : Si pour toutx voisin de α,f(x)6g(x) et si lim

x→αf(x) = +∞, alors lim

x→αg(x) = +∞. Si pour toutx voisin de α,f(x)6g(x) et si lim

x→αg(x) =−∞, alors lim

x→αf(x) =−∞. 2.3 Théorème d'encadrement

Soitα un réel, ou+∞, ou−∞. Soitf,g,htrois fonctions dénies au voisinage deα, et soit`un réel. On suppose que pour toutx voisin de α,

f(x)6g(x)6h(x),

et quef ethadmettent la même limite `en α. Alorsg admet également pour limite `en α. Théorème (Théorème d'encadrement).

Démonstration. On fait la démonstration pour le casα= +∞. SoitD=D_f∩D_g∩D_h. Par hypothèse, il existe un réelA >0tel que, pour toutx∈D,

x>A=⇒f(x)6g(x)6h(x).

Les fonctionsf ethont pour limite `enα. Soitε >0, il existe donc des réelsB etB<sup>0</sup> >0 tels que, pour tout x∈D, x>B=⇒ |f(x)−`|6εetx>B⁰ =⇒ |h(x)−`|6ε.

Pourx>max(A, B, B⁰), on a donc`−ε6f(x)6g(x)6h(x)6`+ε. Ce qui s'écrit également : pour toutx∈D, x>max(A, B, B⁰) =⇒ |g(x)−`|6ε.

Doncg admet pour limite`en α.

Remarque. Ce théorème fournit l'existence et la valeur de la limite.

Exemple 3. En particulier, lim

x→α|f|= 0⇐⇒ lim

x→αf = 0.

Soitα un réel, ou+∞, ou−∞. Soitf etgdeux fonctions dénies au voisinage deα. Sif est une fonction bornée au voisinage de α et si lim

x→αg(x) = 0, alors lim

x→α(f g)(x) = 0. Corollaire.

Démonstration. La fonctionf est bornée au voisinage deα, il existe donc des réelsmetM tels que pourxau voisinage deα,

m6f(x)6M.

Par produit avec g(x) (dont on ne connaît pas le signe), (f g)(x) est compris entre mg(x) et M g(x), qui convergent tous les deux vers0 en α. Le théorème d'encadrement donne alors lim

x→α(f g)(x) = 0.

Exemple 4. Déterminer la limite en+∞ de la fonction f dénie sur R^∗ parx→ cos(x) x . On sait quex→ cos(x) est bornée sur R (par−1 et1), et que lim

x→+∞

1

x = 0. Donc lim

x→+∞f(x) = 0 d'après le résultat précédent.

2.4 Prolongement par continuité en x₀

Soitx0 un réel et f une fonction dénie au voisinage dex0, mais pas enx0. Si f admet une limite réelle` en x₀, alors on dit quef est prolongeable par continuité enx₀. La fonctiong, dénie par :

g(x) =f(x) six∈D_f

g(x0) =` ,

est appelée prolongement par continuité def enx₀. Dénition (Prolongement par continuité).

Exemple 5. La fonctionf :x→ ^sin(x)_x est dénie surR^∗ mais pas en0. Comme lim

x→0

sin(x)

x = 1∈R,f est prolongeable par continuité en0. Son prolongement par continuité est la fonction g dénie par :

g(x) = ^sin(x)_x six∈R^∗

g(0) = 1 .

2.5 Limites et suites

Soit α et`des réel, ou+∞, ou−∞. Soitf une fonction dénie au voisinage deα. Si : 1. f admet pour limite` enα,

2. (u_n)n∈N est une suite de réels de D_f qui converge versα, alors la suite(f(un))_n∈N converge vers`.

Proposition (Application des limites aux suites).

Démonstration. On fait la démonstration pour le casα=−∞et`∈R.

Soitε >0. Puisquelim−∞f =`, il existe un réelB <0tel que pour tout x∈D<sub>f</sub>, x6B =⇒ |f(x)−`|6ε.

Puisque(u_n)n∈N tend vers−∞, il existe un entier n₀ tel que, pour toutn>n₀,u_n 6B. Comme∀n∈N,u_n∈D_f, on a pour toutn>n0 que |f(un)−`|6ε. Cela signie que la suite (f(un))<sub>n</sub> converge vers`.

Exemple 6. lim

n→+∞

1

n = 0 et la fonction sinus est continue en0, donc lim

n→+∞sin 1

n

= sin(0) = 0.

Soit f une fonction dénie sur un intervalle I et continue en tout point de I. Soit (u_n)n∈N une suite d'éléments de I dénie par la relation de récurrence :∀n∈N,

u_n+1=f(u_n).

Si la suiteu converge vers un réel`∈I, alors`=f(`) (on dit alors que` est un point xe def).

Corollaire (Théorème du point xe).

Démonstration. Par le résultat précédent, comme u converge vers ` et f est continue en ` ∈I, f(u_n) converge vers f(`). Il sut alors de passer à la limite dans la relation ∀n∈N,u<sub>n+1</sub> =f(u<sub>n</sub>) pour obtenir`=f(`).

Exemple 7. On considère la suite dénie paru₀∈R et∀n∈N,u_n+1 =p

1 +u²_n. Peut-elle converger ? On suppose que la suiteuconverge vers un réel `. La fonctionf :x→√

1 +x² est continue en tout point deR, donc en particulier en`, et on a :

`=p

1 +`<sup>2</sup>⇒`² = 1 +`² ⇒0 = 1.

C'est absurde, donc la suite diverge nécessairement.

2.6 Limite d'une fonction composée

Soit α ,`1 et`2 des réel, ou +∞, ou −∞. Soit f et g deux fonctions telles quef est dénie au voisinage de α etg est dénie au voisinage de`1. Alors :

x→αlimf(x) =`1 et lim

x→`1

g(x) =`2=⇒ lim

x→αg◦f(x) =`2. Proposition (Limite d'une fonction composée).