ECS1
Exercices: Limites d'une fonction en un point
Exercice 1. Déterminer, lorsqu'elles existent, les limites suivantes : 1. lim
x→0
√x2+ 1−x−1
x 2. lim
x→0
2x2+|x|
2x2− |x| 3. lim
x→2
4x2−16
x3−8 4. lim
x→2−
x−2
√x−2 5. lim
x→+∞
bxc
πx 6. lim
x→+∞
√x+ 4−2 1−√
1 + 2x 7. lim
x→−∞
√x+ 4−2 1−√
1 + 2x 8. lim
x→0
√x+ 4−2 1−√
1 + 2x
Exercice 2. Soitf la fonction dénie pour tout xdeRpar :f(x) = 2bxc −x.
1. Encadrerf par deux fonctions polynômes et en déduire les limites def en+∞et−∞. 2. On pose pourxnon nul,g(x) =2bxc −x
x . Déterminer les limites deg en+∞et−∞, puis en0. Exercice 3. Soit la fonctionf dénie par f(x) =
√x+ 1−√ 2
x−1 . Déterminer son ensemble de dénition Ef et les limites def aux bornes deEf. Peut-on dénir un prolongement par continuité def?
Exercice 4. Soitf la fonction dénie parf(x) = x2+ 3x
x2+ 1 pour x >−1 et f(x) =ex+1 pourx6−1. Est-elle continue en−1?
Exercice 5. Soit la fonction g:x→ x2+ 2x−3
x(x2−1) . Déterminer son ensemble de dénitionEg et les limites de g aux bornes deEg. Peut-on dénir un prolongement par continuité deg?
Exercice 6. Soit la suitewdénie parw0= 1 et pour tout entier natureln,wn+1=√
12 +wn. 1. Prouver que la suite est bien dénie et que pour toutn∈N,wn64.
2. Déterminer le sens de variations de la suitew.
3. La suitew est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
Exercice 7 (Représentation graphique et étude). Soit la suiteudénie paru0= 1 et pour toutn∈N, un+1=6un+ 5
un+ 2 .
1. Prouver que la suite est bien dénie et que pour toutn∈N,un ∈]0,+∞[.
2. Étudier et tracer la courbe représentative de la fonctionf dénie surR+ parf(x) =6x+ 5
x+ 2 . En déduire la représentation des réelsu0, u1 etu2.
3. Conjecturer et déterminer le sens de variation de la suiteu.
4. La suiteuest-elle majorée ? Est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
