Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES de math
Ann´ee 2017-2018
Pr´ ep. ´ ecrit Analyse et proba – Fiche 1
Limites et d´ eveloppements limit´ es
Dans toute cette fiche φ d´esignera une fonction d´efinie sur un intervalle I non vide de R et `a valeurs r´eelles.
1 Limites
D´efinition 1 La fonction f admet une limite finie en un point a de I (ou de I),s’il existe un r´eel ` tel que, pour tout r´eel > 0, il existe un r´eel δ > 0 v´erifiant pour tout x ∈ I∩]a − δ, a + δ[, |f (x) − `| < .
On note alors limx→af (x) = ` et on dit que f converge vers ` en a.
Dans le cas o`u f n’admet pas de limite finie, on dit que f diverge en a.
La fonction f tend vers +∞ en un point a de I si, pour tout r´eel A, il existe un r´eel δ > 0 v´erifiant pour tout x ∈ I∩]a − δ, a + δ[, f (x) > A. On note alors limx→af (x) = +∞ et on dit que f diverge vers +∞ en a.
Remarque : On peut d´efinir ´egalement la limite `a droite ou la limite `a gauche en un point.
Si la fonction f est d´efinie au voisinage de +∞, c’est-a-dire si I est de la forme [α, +∞[, on peut d´efinir la limite de f en +∞ :
D´efinition 2 La fonction f admet une limite finie en +∞ s’il existe un r´eel ` tel que, pour tout > 0, il existe un r´eel β tel que, pour tout x > β, |f (x) − `| < . On ´ecrit alors limx→+∞f (x) = ` et on dit que f converge vers ` en +∞.
Dans le cas o`u f n’admet pas de limite finie en +∞, on dit que f diverge en +∞.
La fonction f tend vers +∞ en un point +∞ si, pour tout r´eel A, il existe un r´eel β v´erifiant pour tout x > β, f (x) > A. On note alors limx→+∞f (x) = +∞ et on dit que f diverge vers +∞ en +∞.
N.B. : On ´evitera d’´ecrire le symbole lim tant que l’on n’a pas d´emontr´e l’existence de la limite !
Exercice 1. Donner des exemples de fonctions qui admettent une limite finie en un point, une limite infinie en un point, qui divergent (sans admettre de limite) en un point. Mˆeme question pour des limites en +∞.
Proposition 3 1. Si une limite existe, elle est unique. Autrement dit, si f tend `a la fois vers ` et ˜`, avec
´eventuellement ` ou ˜` = ±∞, alors ` = ˜`.
2. R`egles de calcul sur les limites : Soient f et g deux fonction d´efinies sur un intervalle I de R et a ∈ I.
Produit par une constante. Si limaf = ` et si λ ∈ R, limaλf = λ`. Si limaf = +∞ et si λ > 0, limaλf = +∞.
Limite d’une somme
limag = `0 limag = +∞ limag = −∞ g minor´ee g major´ee
limaf = ` ` + `0 +∞ −∞ FI FI
limaf = +∞ +∞ +∞ FI +∞ FI
limaf = −∞ −∞ FI −∞ FI −∞
Limite d’un produit
limag = `0 limag = +∞ limag = −∞ g born´ee
limaf = ` > 0 ` × `0 +∞ −∞ FI
limaf = 0 0 FI FI 0
limaf = +∞ sgn`0 ∞ +∞ −∞ FI
Si f admet pour limite ` ∈ R\{0} en a, alors f ne s’annule pas dans un voisinage de a et 1/f tend vers 1/` en a. Si f tend vers 0 en a et est strictement positive dans un voisinage de a, alors 1/f tend vers +∞.
Si g : I → J admet pour limite ` ∈ R en a ∈ I et si f est d´efinie sur J et admet pour limite
`0∈ R en `, alors la fonction f ◦ g admet pour limite `0 en a.
Exercice 2. D´emontrer les propri´et´es ci-dessus.
2 Continuit´ e, d´ erivabilit´ e
2.1 Continuit´e
D´efinition 4 La fonction f est dite continue en a ∈ I si f admet une limite finie en a et on a dans ce cas f (a) = limaf .
La fonction f est dite continue sur I si elle est continue en tout point de I.
Exercice 3. Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I de R.
1. Montrer que si f est continue sur I et si (un) est une suite de I, convergente et de limite ` ∈ I, alors (f (un)) est convergente et d´eterminer sa limite.
2. Montrer ´egalement que, si pour toute suite (un) de points de I, convergeant vers un point de I, la suite (f (un)) converge et admet pour limite f (lim un), alors f est continue sur I.
Th´eor`eme 5 (Th´eor`eme de Weierstrass) Toute fonction continue sur un intervalle compact est born´ee et atteint ses bornes.
Exercice 4. Lemme des pics et th´eor`eme de Weierstrass.
1. Soit (un) une suite `a valeurs r´eelles. On dit que n est « ´eclair´e » si pour tout p > n, un> up, et qu’il est dans l’ombre sinon.
(a) On suppose pour cette question qu’il existe une infinit´e d’indices ´eclair´es not´es (nk)k ≥ 0. Montrer que les (unk)k constituent une sous-suite d´ecroissante de (un).
(b) On suppose pour cette question que l’ensemble des indices ´eclair´es est fini. Construire une sous- suite de (un) croissante.
(c) En d´eduire que si (un) est `a valeurs dans un intervalle compact, elle admet une sous-suite conver- gente.
2. Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a, b]. On note M = sup[a,b]f . (a) Justifier l’existence d’une suite (un) de [a, b] telle que (f (un)) tend vers M .
(b) En d´eduire l’existence d’une suite (vn) de [a, b] convergente, et telle que (f (vn)) tend vers M . (c) Conclure qu’il existe c ∈ [a, b] tel que f (c) = M .
Exercice 5. Montrer que si une fonction est continue sur [0, +∞[ et admet une limite finie en +∞, alors elle est born´ee.
2.2 D´erivabilit´e
D´efinition 6 Soient a un point de I et h un r´eel non nul tel que a + h appartienne `a I. On appelle taux d’accroissement de f entre a et a + h le r´eel τa(h) = (f (a + h) − f (a))/h.
Lorsque les limites de τa`a droite et `a gauche en 0 existent et sont ´egales, on appelle cette limite commune nombre d´eriv´e de f en a et on le note f0(a). On dit alors que f est d´erivable en a.
La fonction f sera dite d´erivable sur l’intervalle I si elle est d´erivable en tout point de I. La fonction a 7→ f0(a) est la fonction d´eriv´ee de f .
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Exercice 6.
1. Soit k un r´eel et n un entier. D´eterminer les ensembles de d´efinition et de d´erivabilit´e, ainsi que les fonctions d´eriv´ees, des fonctions x 7→ k, x 7→ xn, x 7→ |x|, x 7→√
x, x 7→p|x|.
2. D´eriv´ee de la fonction sin. On se place dans un rep`ere orthonorm´e, avec O le centre du rep`ere et I le point (1, 0). Soit x ∈]0, π/2[ et A le point de coordonn´ees (cos(x), sin(x)). On note H le pied de la hauteur issue de A du triangle (OAI) et K le point d’intersection de la tangente en A au cercle trigonom´etrique et de l’axe des abscisses.
(a) D´eterminer les coordonn´ees des points H et K.
(b) Montrer que sin x ≤ x.
(c) Montrer que l’aire du triangle (OAK) est ´egale `a (tan x)/2.
(d) En d´eduire que la fonction sin est d´erivable en 0+ et de d´eriv´ee 1. Et en 0−?
(e) En utilisant une formule trigonom´etrique, montrer maintenant que (cos h − 1)/h tend vers 0. Que vaut la d´eriv´ee de la fonction cos en 0 ?
(f) Conclure que sin0 = cos et cos0= − sin.
Proposition 7 Toute fonction d´erivable sur un intervalle est continue. La r´eciproque est fausse.
Exercice 7. Montrer la proposition ci-dessus !
Proposition 8 Si f et g sont deux fonctions d´efinies sur I et d´erivables en a, on a : 1. La fonction (f + g) est d´erivable en a, de nombre d´eriv´e f0(a) + g0(a).
2. La fonction f × g est d´erivable en a, de nombre d´eriv´e f0(a)g(a) + g0(a)f (a).
3. Si g(a) est non nul, alors g ne s’annule pas dans un voisinage de a, 1/g est d´erivable en a, de nombre d´eriv´e −g0(a)/g2(a), et f /g est d´erivable en a, de nombre d´eriv´e (f0(a)g(a) − f (a)g0(a))/g2(a).
4. Si g est d´efinie sur I et d´erivable en a ∈ I et si f est d´efinie sur g(I) et d´erivable en g(a) alors g ◦ f est d´efinie sur J , d´erivable en a et de nombre d´eriv´e f0(g(a))g0(a).
Exercice 8. Montrer ces diff´erentes propri´et´es. Montrer par r´ecurrence une formule donnant la d´eriv´ee n−`eme du produit de deux fonctions.
3 D´ eveloppement limit´ e
3.1 Domination, pr´epond´erance, ´equivalence
D´efinition 9 Soient f et g deux fonctions d´efinies sur un intervalle I.
On dit que f est n´egligeable devant g, et on note f = o(g) s’il existe un voisinage U de a et une fonction d´efinie sur U telle que, pour tout x de U , f (x) = (x)g(x), la fonction v´erifiant lima = 0.
On dit que f est domin´ee par g au voisinage de a ∈ I, et on note f = Oa(g) s’il existe un r´eel λ et un voisinage U de a tels que, pour tout x dans U , |f (x)| ≤ λ|g(x)|.
On dit que f est ´equivalente `a g en a ∈ I, et on note f ∼a g s’il existe un voisinage U de a et une fonction tels que, pour tout x dans U , f (x) = (1 + (x))g(x), la fonction v´erifiant lima = 0.
Exercice 9.
1. Montrer que si f1 ∼ g1 et f2∼ g2, alors f1f2∼ g1g2.
2. Exhiber des fonctions telles que f1∼ g1, f2∼ g2 mais f1+ f2 n’est pas ´equivalente `a g1+ g2. 3. ´Etudier les croissances compar´ees des fonctions x 7→ xn, x 7→ ax, x 7→ ln x, en +∞ et en 0.
3
3.2 D´eveloppement limit´e
D´efinition 10 Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I de R, a un point de I, et n un entier naturel.
On dit que f admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre n en a s’il existe des r´eels λ0, · · · , λn tels que f (x) = Pn
k=0λk(x − a)k+ oa((x − a)n).
Lorsqu’une fonction f est d´efinie sur un intervalle de la forme [α, +∞[, on dit que f admet un d´evelop- pement limit´e `a l’ordre n en +∞ s’il existe des r´eels λ0, · · · , λn tels que f (x) =Pn
k=0λkx−k + o+∞(x−n).
Proposition 11 Le d´eveloppement limit´e `a un ordre donn´e, s’il existe, est unique.
La fonction f est continue (resp. d´erivable) en a si et seulement si elle admet un d´eveloppement limit´e en a `a l’ordre 0 (resp. 1).
Le d´eveloppement limit´e d’une fonction paire (resp. impaire) en 0, s’il existe, ne poss`ede que des termes d’ordre pair (resp. impair).
Formule de Taylor-Young : Si la fonction f est de classe Cn sur I, alors elle admet un d´eveloppement limit´e en tout point a de I et on a
f (x) =
n
X
k=0
f(k)(a)
k! (x − a)k+ o((x − a))n
On peut faire des sommes, produits ou quotients de d´eveloppements limit´es. On peut les int´egrer, les d´eriver, les composer.
Exercice 10.
1. Montrer que la fonction x 7→ t3sin(1/t) admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en 0 mais n’est pas deux fois d´erivable en 0.
2. Donner les d´eveloppements limit´es en 0 `a l’ordre 6 des fonctions usuelles (x 7→ 1/(1 + x), exp, ln, sin, cos, x 7→√
1 + x, x 7→ (1 + x)α...)
3. Donner les d´eveloppements limit´es en 0 `a l’ordre 4 des fonctions suivantes : x 7→ exp(x) cos(x) x 7→ (ln(1 − x))2 x 7→ shx − x
x3 x 7→ ln(cos(x)) 4. Calculer les limites suivantes :
lim0
ex2− cos x
x2 lim
0
ln(1 + x) − sin x x
4
