D320 Deux fourmis sur un patère [**** à la main]

D320 Deux fourmis sur un patère [**** à la main]

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Soi O le centre du cube ABCDEDFGH qui s’appuie sur le support ABCD et passe par le point J. La fourmi de l’anneau bleu circule sur un cercle de la sphère S de centre O et de rayon ₁

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7,5 cm tandis que la fourmi des deux anneaux rouges circule sur deux cercles de la sphère

S de même centre O et de rayon 2 7,5 2cm. La distance minimale qui sépare deux points quelconques situés respectivement sur S₁et S₂ ne peut pas être inférieure à la différence des rayons soit d = 7,5( 3 2) cm et leur distance maximale ne peut pas dépasser la somme des rayons soit D = 7,5( 3 2) cm. Ces valeurs extrêmes sont obtenues par les deux fourmis. En effet le cône de centre O qui s’appuie sur le cercle bleu, rencontre le plan horizontal CDJ selon deux arcs d’hyperbole qui eux-mêmes coupent le cercle rouge

horizontal en quatre points (voir figure ci-après). Les deux points qui sont les plus proches du plan ABCD et sont symétriques l’un de l’autre par rapport à IJ, donnent la position de la fourmi sur le cercle rouge correspondant à d et les deux autres points eux aussi symétriques l’un de l’autre par rapport à IJ donnent la position correspondant à D.

La distance maximale est représentée dans la figure par le segment vert et la distance minimale par le petit segment jaune (en bas à gauche).