D30437. Deux fourmis
Deux fourmis se déplacent à la surface d’un cube unité (on admet que la pesanteur ne les gêne pas).
Montrer que la fourmi rouge peut se placer en un point où la fourmi brune, d’où qu’elle parte, peut la rejoindre par un trajet de longueur 2 au plus.
Trouver où la fourmi brune doit alors se placer pour que son trajet jusqu’à la fourmi rouge soit de longueur 2 au moins.
Solution
Développons la surface du cube en la coupant selon les diagonales d’une face et les quatre arêtes qui la relient à la face opposée F. On obtient un
“patron” cruciforme inscrit dans un cercle de diamètre 4 centré au centre de F. F pouvant être choisie arbitrairement, pour que la fourmi rouge soit à distance 2 au plus de tout point de la surface, il suffit qu’elle se place au centre d’une face. Pour être à distance 2 de la fourmi rouge occupant le centre d’une face, la fourmi brune doit se placer au centre de la face opposée.