sur la face ABFE, la distance la plus courte qui sépare les deux fourmis est égale à AF = 5cm cm

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I144 – Les deux fourmis sur le morceau de sucre [**** à la main]

Solution

Remarque liminaire : on fait l’hypothèse (raisonnable et très souvent vérifiée par les faits…) que le morceau de sucre est un parallélépipède rectangle.

Question n°1

On désigne par A,B,C,D,E,F,G,H les huit sommets du morceau de sucre. On suppose que la première fourmi est au point A et que la deuxième fourmi est en un point M.

Il est facile de vérifier que si le point M est :

- sur la face ABFE, la distance la plus courte qui sépare les deux fourmis est égale à AF = 5cm = 2,236067… cm.

- sur la face BCGF, la distance la plus courte qui les sépare est égale à 2 2 cm.=

2,828427.. cm. C’est la diagonale AG du carré ACGE obtenu quand on déplie la face BCGF pour qu’elle soit dans le même plan que la face ABFE.

- sur la face ADHE, la distance la plus courte qui les sépare est égale à AH = 5cm

=2,236067…cm.

- sur la face CDHG qui est symétrique de la face BCGF par rapport au plan ACGE, la distance la plus courte est celle qui va de A en G et qui est identique à celle observée sur la face BCGF à savoir 2 2 cm.

On serait donc tenté de dire que le point G diagonalement opposé au point A donne la distance la plus longue parmi toutes les distances les plus courtes possibles et que c’est lui qui est le plus éloigné du point A.

(2)

En réalité, il faut pousser l’analyse plus loin en considérant les positions de la deuxième fourmi sur le dessus du morceau de sucre c’est à dire sur la face EFGH.

Quand on déplie les faces du morceau de sucre dans un même plan, il y a trois façons de placer la face EFGH.

1) on peut la mettre dans le prolongement de la face ABEF et la distance AM qui sépare les deux fourmis est représentée par la droite bleue (voir figure ci-après).

2) elle jouxte la face BCGF sous la dénomination FG’H’E’et la distance séparant les deux fourmis est représentée par la droite rouge AM’

3) enfin elle est adjacente à la face ADHE sous la dénomination EF’’G’’H’’ et c’est le segment AM’’ en couleur verte qui donne la distance entre les deux fourmis.

En prenant EF et EH comme axes des abscisses et des ordonnées, le point M de coordonnées (x,y) a pour miroirs sur la face FG’H’E’ le point M’ de coordonnées (1+y,1-x) et sur la face EF’’G’’H’’ le point M’’ de coordonnées

(-y,x). Les distances AM, AM’ et AM’’ sont telles que : 4

4y y x 2) (y x

AM² ²  ² ² ² 

10 2y 6x y x x) (3 y) (1

AM'²  ²  ² ² ²   4

4x y x y x) (2 '

AM'²  ² ² ² ² 

Pour trouver le point M le plus éloigné de A, il faut dans un premier temps choisir le chemin le plus court parmi les trois trajets AM, AM’ et AM’’ puis dans un deuxième temps

déterminer le parcours le plus long parmi tous les trajets qui auront été retenus. Cela revient à trouver x₀ et y₀ donnant le Max_(x,_y__EFGH)(Min_(x,_y__EFGH)(AM,AM',AM"))

(3)

Le calcul du MaxMin des trois quantités x²y²4y4, x²y²6x2y10 et 4

4x y

x² ²  revient au calcul de Max_(x,_y__EFGH)(Min_(x,_y__EFGH)(x,y,3(1-x))).

Le MaxMin recherché est obtenu lorsque les trois termes sont égaux entre eux à savoir :x₀ = y = 3(1- 0 x₀). D’où x₀ = y = 3/4. ₀

Le point M le plus éloigné du sommet A est donc sur la diagonale EG à une distance de E telle que EM=3EG/4. La distance AM vaut alors 130/42,8504...cm qui est légèrement supérieure à 2 2=2,82842…cm

Question n°2

De façon intuitive, on pense que les deux points qui sont les plus éloignés sur la surface du morceau de sucre se trouvent au centre des deux faces ABCD et EFGH avec une distance qui les sépare égale à 3 cm.

Une analyse plus fine va montrer que cette distance est dépassée pour quatre couples de points opposés par rapport au centre du morceau de sucre et situés sur les diagonales AC et EG ( ou BD et FH) des faces ABCD et EFGH.

Dans un premier temps, on est amené à faire la conjecture qui fait appel au bon sens mais reste à être démontrée selon laquelle les deux points recherchés M et N sont sur deux faces opposées et sur une même ligne passant par le centre O du morceau de sucre. A noter que cette conjecture n’a jamais été démentie par les calculs réalisés sur les plus puissants ordinateurs.

(4)

C’est ainsi qu’on place la première fourmi en un point M de la face ABCD , d’abscisse x et d’ordonnée y par rapport à un repère AXY (vois ci-dessus). Le point N où se trouve la deuxième fourmi est sur la face opposée EFGH et sur la ligne MON qui passe par le centre O du morceau de sucre.

Quand on déploie toutes les faces du morceau de sucre dans un même plan, on s’aperçoit qu’il y a douze façons d’aller de M en N ou en l’un quelconque des points miroirs du point N en suivant les segments de couleur rouge ou bleue ou mauve ou verte.

On peut donc calculer douze distances en fonction des coordonnées (x,y) du point M : 10

4x 4x 9 1) (2x

MN²  ²  ² 

8 4xy 2y 2x 2) y (x 2) y (x

MN'²   ²   ² ² ² 

10 4y 4x 4xy 2y 2x 3) y (x 1) y (x '

MN'²   ²   ²  ² ²    10

4y 4y 1) (2y 9

MN₁²   ² ² 

2 2

1 (x y 3) (x y 1) MN''

MN'       

16 8y - 8x 4xy 2y 2x y) (x 4) y (x '

MN'₁²   ²  ²  ² ²  

2 2

2

2 9 (2x 1) MN

MN    

2 1 2

2 2

2 (x y) (x y 4) MN''

MN'      

(5)

10 4y 4x 4xy 2y 2x 3) y (x y) x (1 '

MN'²₂   ²   ² ² ²   

2 1 2

2

3 9 (1 2y) MN

MN    

2 2

3 (x y 3) (x y 1) MN''

MN'       

2 2

3 (x y 2) (x y 2) MN'

'

MN'       

En raison des symétries, six distances sont redondantes et les douze distances sont ramenées au nombre de six a priori distinctes :

d1=4x²4x10, d = 2 4y² 4y10, d = 3 2x²2y²4xy8,

d =₄ 2x²2y²4xy4x4y10, d = 5 2x²2y²4xy4x4y10, d =6 2x²2y²4xy8x-8y16.

Il s’agit donc de calculer Max₍₀__x,_y_₁₎[Min₍₀__x,_y_₁₎(d₁,d₂,d₃,d₄,d₅,d₆)]

Les deux premières des six distances d₁et d₂sont deux polynômes du second degré en x et en y qui ont les mêmes coefficients. De la même manière dans les expressions de d₄ et d₅, les variables x et y jouent un rôle symétrique. Lors de la recherche du MaxMin des six distances, les distances d₁et d₂ ainsi que d₄et d₅ vont logiquement s’égaliser. On peut d’ores et déjà en conclure que x = y et que la première fourmi se trouve sur la diagonale AC et la deuxième fourmi sur la diagonale EG (ou bien respectivement sur BD et FH ). Dès lors les cinq distances ne sont plus que quatre : d₁=4x²4x10 , d =₃ 8x²8, d =10 et ₄

16 16x 8x

d₆  ² 

Il apparaît que d =10 ne peut pas être la plus courte des distances car pour x₄ 1, 10

4x

4x²  10. Les trois distances restantes à prendre en considération sont alors d₁= 10

4x

4x²  , d = ₃ 8x²8 et d₆ 8x²16x16. Le MaxMin de ces trois longueurs est alors obtenu :

- si x 1/2 quand d₁et d₃ sont égales entre elles. Il en résulte l’équation 4x²4x10= 8

8x²  2x²2x10  x₁ ( 31)/2et la distance qui sépare les deux fourmis est égale à 2 4 3 = 3,011942.. cm > 3cm.

- si x >1/2 quand d₁et d₆ sont égales entre elles. D’où l’équation

1 2

2 2

2 4x 10 8x 16x 16 2x 6x 3 0 x (3 3)/2 1 x

4x               et la distance qui

sépare les deux fourmis est encore égale à 2 4 3 cm.

En conclusion les quatre couples constitués par les points situés sur les diagonales AC et BD à une distance de ( 31)/ 2 des sommets A,B,C,D et leurs homologues sur les diagonales EG et FH situés à une distance de (3- 3)/ 2 des sommets E,F,G et H sont les plus éloignés les uns des autres à une distance égale à 2 4 3 = 3,011942.. cm.