La fourmi se trouve initialement au point A

Texte intégral

(1)b-mehdi.jimdo.com. DEVOIR DE CONTROLE N° 03. Exercice N° 01: ( 8 pts ) Une fourmi se déplace de façon aléatoire sur les arêtes de la pyramide SABCD de sommet S . Depuis un sommet quelconque elle se dirige au hasard ( on suppose qu'il y a équiprobabilité ) vers un sommet voisin. On dit qu'elle " fait un pas ". La fourmi se trouve initialement au point A . 1/ Après avoir fait deux pas , qu'elle est la probabilité qu'elle soit : a) En A ? S b) En B ? c) En C ? d) En D ?. D. A. C. B. *. 2/ Pour tout n  , on note S n l'évènement : " La fourmi se trouve au sommet S après. n pas " , et p n  P S n  . a) Que vaut p1 ?. b) En remarquant que S n 1  S n 1  S n , montrer que p n 1 . 1 1  p n  . 3. 1  p   1 3 3/ On considère la suite  p n n* définie par :   p  1 1  p  ; n  * n  n 1 3 * a) Montrer par récurrence que pour tout n  , on a : n 1   1  p n  1      4   3   b) En déduire lim p n n . Année Scolaire. 2007 / 2008. 1. Prof : Faleh Abdessattar.

(2) b-mehdi.jimdo.com. Exercice N°02 : ( 3 pts ) 1/ On choisit au hasard un nombre x   0,4 .. . . Calculer P x 2  8x  12  0 . 2/ On choisit au hasard cinq nombres dans l'intervalle  0,4 . a) Quelle est la probabilité que trois de ces nombres vérifient : x 2  8x  12  0 ? b) On note X la variable aléatoire égale au nombre de ces nombres réels vérifiant : x 2  8x  12  0 . Déterminer E  X  . Exercice N° 03: ( 9 points ) Soit I n . . 2. 2  x . 0. 1/ Calculer I 1 .. n!. n. e x dx ; n * .. 2n 2 2/ Montrer que pour tout n  , on a : 0  I n  e  1 . n! 3/ A l'aide d'une intégration par parties , montrer que pour tout n * , on a : 2n 1 I n 1  I n   n  1! * 4/ Montrer par récurrence que pour tout n  , on a : 2 22 2n 2 e  1     In . 1! 2! n! 2n 5/ Soit la suite U n n* définie par : U n  . n! U 1 a) Calculer n 1 et prouver que pour tout n  * \ 1, 2 , on a : U n 1  U n 2 Un *. 1 b) En déduire que pour tout n   \ 1, 2 , on a : 0  U n    2 6/ En déduire lim U n puis lim I n . *. n . n 3. U 3.. n .  2 22 2n     e 2 7/ Justifier que : lim 1   n  n!  1! 2!. Bon Travail ….. Année Scolaire. 2007 / 2008. 2. Prof : Faleh Abdessattar.

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