ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 6 22 février 2013
Exercice I.
Inverser, si possible, la matrice M =
−3 −4
−7 5
. Exercice II.
Feuille 13. Matrices, ex XI.
Un feu bicolore, lorsqu'il est rouge, passe au vert l'instant d'après (ou "risque de passer au vert la seconde suivante") avec la probabilité p∈]0; 1[.
Lorsqu'il est vert, il passe au rouge avec la probabilité q∈]0; 1[. On suppose que le feu est initialement (instant n= 0) au rouge.
On considère, pour n∈N, les évènements :
Rn="le feu est rouge à l'instantn", et Vn="le feu est vert à l'instantn".
On pose aussi rn=P(Rn) et vn=P(Vn). On note I =I2 la matrice identité.
1. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :
∀n∈N, rn+1= (1−p)rn+qvn et vn+1 =prn+ (1−q)vn. 2. Donner alors la matrice carréeA telle que ∀n∈N,
rn+1 vn+1
=A rn
vn
. 3. Montrer par récurrence que ∀n∈N,
rn vn
=An r0
v0
. 4. Déterminer deux matrices B etC telles que
B+C=I
B+ (1−p−q)C=A 5. Calculer BC etCB et vérier que B2=B et C2=C.
6. En déduire, en utilisant la formule du binôme, que ∀n∈N, An=B+ (1−p−q)nC.
7. Combien valent r0 etv0? Justier.
8. Pour tout entier natureln, déterminer l'expression de rn etvn. 9. Calculer les limites des suites (rn)n∈Net(vn)n∈N.
10. Que pouvez-vous en conclure ?
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