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On suppose que le feu est initialement (instant n= 0) au rouge

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Academic year: 2022

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ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 6 22 février 2013

Exercice I.

Inverser, si possible, la matrice M =

−3 −4

−7 5

. Exercice II.

Feuille 13. Matrices, ex XI.

Un feu bicolore, lorsqu'il est rouge, passe au vert l'instant d'après (ou "risque de passer au vert la seconde suivante") avec la probabilité p∈]0; 1[.

Lorsqu'il est vert, il passe au rouge avec la probabilité q∈]0; 1[. On suppose que le feu est initialement (instant n= 0) au rouge.

On considère, pour n∈N, les évènements :

Rn="le feu est rouge à l'instantn", et Vn="le feu est vert à l'instantn".

On pose aussi rn=P(Rn) et vn=P(Vn). On note I =I2 la matrice identité.

1. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :

∀n∈N, rn+1= (1−p)rn+qvn et vn+1 =prn+ (1−q)vn. 2. Donner alors la matrice carréeA telle que ∀n∈N,

rn+1 vn+1

=A rn

vn

. 3. Montrer par récurrence que ∀n∈N,

rn vn

=An r0

v0

. 4. Déterminer deux matrices B etC telles que

B+C=I

B+ (1−p−q)C=A 5. Calculer BC etCB et vérier que B2=B et C2=C.

6. En déduire, en utilisant la formule du binôme, que ∀n∈N, An=B+ (1−p−q)nC.

7. Combien valent r0 etv0? Justier.

8. Pour tout entier natureln, déterminer l'expression de rn etvn. 9. Calculer les limites des suites (rn)n∈Net(vn)n∈N.

10. Que pouvez-vous en conclure ?

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