Exercice I.
(EDHEC 2020) SoitX ,→ N 0, σ2, avecσ >0. SoitY =|X|. On montre (...) que E(Y) =σq
2 π.
On considère un échantillon(Y1, Y2, . . . , Yn)de v.a. indépendantes, et ayant toutes la même loi queY. On noteSnla v.a. définie par Sn= 1
n
n
X
k=1
Yk.
1. Montrer queSnest un estimateur deσ, donner la valeur de son biais, puis proposer un estimateur sans biais deσ, que l’on noteraTn, construit de façon affine à partir deSn.
2. On rappelle qu’en Scilab, siietjdésignent deux entiers naturels non nuls, la commande grand i, j, ’nor0, m, s
simule dans un tableau ailignes etjcolonnes,i×jvariables aléatoires mutuellement indé- pendantes et suivant toutes la loi normale d’espérancemet de variances2.
Compléter le script Scilab suivant afin qu’il permette de simuler les variables aléatoiresSn etTn pour des valeurs de netσentrées par l’utilisateur.
n=input(’entrez la valeur de n :’)
sigma=input(entrez la valeur de sigma :’) X=... // simulations deX1, ...,Xn
Y=... // simulations deY1, ...,Yn S=...
T=...
disp(T)
Exercice II.
(HEC 2020)Dans toute la suite du sujet, on désigne parpun réel de l’intervalle]0,1[, et on poseq= 1−p. On modélise une compétition entre deux groupes d’individusAetBavec les règles suivantes :
— Le groupe A doit résoudre une suite de problèmes(Pk)k≥1 dans l’ordre des indices. Au temps t = 0, le groupe commence la résolution du problèmeP1,ce qui lui prend un temps représenté par la v.a.X1. Une foisP1résolu, le groupe aborde immédiatement le problèmeP2, et on noteX2le temps consacré à la résolution deP2par le groupe A,et ainsi de suite.
Pour toutk∈N∗, on noteXkla v.a. donnant le temps consacré à la résolution du problèmePkpar le groupeA.
— De même, le groupeBdoit résoudre dans l’ordre une suite de problèmes(Qk)k≥1;la résolution du premier problème Q1commence au tempst= 0et on note, pour toutk∈N∗, Ykla v.a. donnant le temps consacré par le groupeBa la résolution du problèmeQk.
— À ce jeu est associé un espace probabilisé(Ω,A,P)sur lequel sont définies les suites de variables aléatoires(Xk)k≥1 et(Yk)k≥1, et on fait les hypothèses suivantes :
— pour toutk∈N∗, Xksuit la loi exponentielleE(p),etYksuit la loi exponentielleE(q);
— pour toutk∈N∗,les variables aléatoiresX1, . . . , Xk, Y1, . . . , Yksont indépendantes.
— On établit alors la liste de tous les problèmes résolusdans l’ordre où ils le sont par les deux groupes. En cas de simultanéité temporelle de la résolution par les deux groupes d’un de leurs problèmes, on placera d’abord le problème résolu par Adans la liste puis celui résolu parB.
Pour toutn∈N∗, on noteUnla v.a. de Bernoulli associée à l’événement « len-ème problème placé dans la liste est un problème résolu par le groupeA».
Par exemple, si la liste des cinq premiers problèmes résolus est (P1, P2, Q1, P3, Q2)alors U1 = 1, U2 = 1, U3 = 0, U4= 1etU5= 0.
— Pour toutn≥0,on note aussiSnla v.a. donnant le nombre de problèmes qui ont été résolus parAprésents dans la
1. a. Que représente la v.a.
n
X
k=1
Xk?
b. On suppose queX1= 5, X2= 2, X3= 3, X4= 2, Y1= 2, Y2= 2, Y3= 4, Y4= 2. DéterminerU1, . . . , U7. Peut-on aussi en déduire la valeur deU8?
c. Compléter le script Scilab suivant pour qu’il simule le jeu et, pour n, p donnés, affiche la liste des valeurs U1, U2, . . . , Un:
p = input(’p=’) n = input(’n=’) q = 1-p
U=zeros(1, n)
sommeX = grand(1, 1, "exp", 1/p) sommeY = grand(1, 1, "exp", 1/q) mini = min(sommeX, sommeY) for k = 1 :n
if sommeX == ...
U(k) = ...
sommeX = sommeX + grand(1, 1, "exp", 1/p) else
sommeY = ...
end
mini = min(sommeX, sommeY) end
...
d. Quelle(s) instruction(s) faut-il ajouter pour afficher la valeur deSn?
Exercice III.
(EDHEC 2019) Soit un= 4n(n!)2(2n+ 1)(2n)!.
1. On admet que, sitest un vecteur, la commandeprod(t)renvoie le produit des éléménts det. Compléter le pro- gramme suivant afin qu’il permette de calculer et d’afficher la valeur deunpourn∈Nentré par l’utilisateur.
n=input(’entrez une valeur pour n : ’) x=1 :n
m=2*n+1 y=1 :m v=...
w=...
u=...*v∧2/w disp(u)
Exercice IV.
(Ecricome 2018)SoitA=
2 1 −2
0 3 0
1 −1 5
et B =
1 −1 −1
−3 3 −3
−1 1 1
.
On poseX0=
3 0
−1
,X1=
3 0
−2
, et pour tout entier natureln: Xn+2= 1
6AXn+1+1 6BXn.
Compléter la fonction ci-dessous qui prend en argument un entiernsupérieur ou égal à2et qui renvoie la matriceXn: function res=X(n)
Xold=[3 ;0 ;-1]
Xnew=[3 ;0 ;-2]
A=[2,1,-2 ;0, 3,0 ; 1, -1, 5]
B=[1,-1,-1 ; -3,3,-3 ;-1, 1, 1]
for i=2 :n
Aux= ...
Xold=...
Xnew=...
end res=...
endfunction
Exercice V.
(HEC 2019)1. Expliquer ce que fait la fonctionScilabsuivante : function B=multlig(a,i,A)
[n,p] = size(A) B = A
for j=1 :p
B(i,j)=a*B(i,j) end
endfunction
2. Donner le codeScilabde deux fonctionsaddlig(d’argumentsb, i, j, A) etechlig(d’argumentsi,j,A) per- mettant d’effectuer respectivement les deux autres opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice : Li ← Li+bi(i6=j) et Li ↔Lj(i6=j).
3. Expliquer pourquoi la fonctionmultligmatsuivante retourne le même résultatBque la fonctionmultlig.
function B = multligmat(a,i,A) [n,p] = size(A)
D = eye(n,n) D(i,i) = a B = D*A endfunction
Exercice VI.
(EML 2018)Dans tout cet exercice,fdésigne la fonction définie sur]0,+∞[par :
∀x∈]0,+∞[, f(x) =x−ln(x).
Partie A. Étude de la fonctionf
1. Dresser le tableau de variations def en précisant ses limites en 0 et en+∞.
2. Montrer que l’équationf(x) = 2, d’inconnuex∈]0,+∞[, admet exactement deux solutions, que l’on noteaetb, telles que0< a <1< b.
3. Montrer :b∈[2; 4]. On noteln(2)≈0,7.
Partie B. Étude d’une suite
On pose :u0= 4 et ∀n∈N, un+1= ln(un) + 2.
1. Montrer que la suite(un)n∈Nest bien définie et que l’on a :∀n∈N, un∈[b,+∞[.
2. Déterminer la monotonie de la suite(un)n∈N. En déduire qu’elle converge et préciser sa limite.
3. a. Montrer :∀n∈N, un+1−b≤1
2(un−b).
b. En déduire :∀n∈N, 0≤un−b≤ 1 2n−1.
4. a. Écrire une fonction Scilab d’en-têtefunction u = suite(n) qui, prenant en argument un entier n de N, renvoie la valeur deun.
b. Recopier et compléter la ligne 3 de la fonction Scilab suivante afin que, prenant en argument un réelepsilon strictement positif, elle renvoie une valeur approchée debàepsilonprès.
1. function b = valeur_approchee(epsilon)
2. n = 0
3. while ...
4. n = n+1
5. end
6. b = suite(n) 7. endfunction
Exercice VII.
(Ecricome 2016)Dans tout l’exercice,XetY sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé et à valeurs dansN. On dit que les deux variablesXetY sontéchangeablessi :
∀(i, j)∈N2, P([X=i]∩[Y =j]) =P([X=j]∩[Y =i])
Résultats préliminaires
1. On suppose queXetY sont deux variables indépendantes et de même loi.
Montrer queX etY sont échangeables.
2. On suppose queXetY sont échangeables. Montrer, à l’aide de la formule des probabilités totales, que :
∀i∈N, P(X =i) =P(Y =i)
Étude d’un exemple
Soitn,betctrois entiers strictement positifs.
Une urne contient initialementnboules noires etbboules blanches. On effectue l’expérience suivante, en distinguant trois variantes.
• On pioche une boule dans l’urne.
On définitXla variable aléatoire qui vaut1si cette boule est noire et2si elle est blanche.
• On replace la boule dans l’urne et :
? Variante 1 : on ajoute dans l’urnecboules de la même couleur que la boule qui vient d’être piochée.
? Variante 2 : on ajoute dans l’urnecboules de la couleur opposée à celle de la boule qui vient d’être piochée.
? Variante 3 : on n’ajoute pas de boule supplémentaire dans l’urne.
• On pioche à nouveau une boule dans l’urne.
On définitY la variable aléatoire qui vaut1si cette seconde boule piochée est noire et2si elle est blanche.
3. a. Compléter la fonction Scilab suivante, qui simule le tirage d’une boule dans une urne contenantbboules blanches etnboules noires et qui retourne1si la boule tirée est noire, et2si la boule tirée est blanche.
function res = tirage( b , n ) r = rand()
if ... then res = 2 else
res = ...
end endfunction
b. Compléter la fonction suivante, qui effectue l’expérience étudiée avec une urne contenant initialementbboules blanches, n boules noires et qui ajoute éventuellement c boules après le premier tirage, selon le choix de la variante dont le numéro estvariante.
Les paramètres de sortie sont :
— x: une simulation de la variable aléatoireX
— y: une simulation de la variable aléatoireY
function [ x , y ] = experience ( b , n , c , variante ) x = tirage ( b , n )
if variante == 1 then if x == 1 then
...
else
...
end
else if variante == 2 then ...
...
...
...
...
end
y = tirage ( b , n ) endfunction
c. Compléter la fonction suivante, qui simule l’expérienceN fois (avecN ∈N∗), et qui estime la loi deX, la loi de Y et la loi du couple(X, Y).
Les paramètres de sortie sont :
— loiX: un tableau unidimensionnel à deux éléments qui estime ( P(X=1), P(X=2) )
— loiY: un tableau unidimensionnel à deux éléments qui estime ( P(Y=1), P(Y=2) )
— loiXY: un tableau bidimensionnel à deux lignes et deux colonnes qui estime :
P([X= 1]∩[Y = 1]) P([X = 1]∩[Y = 2]) P([X= 2]∩[Y = 2]) P([X = 1]∩[Y = 2])
!
function [ loiX, loiY , loiXY ] = estimation(b,n,c,variante,N) loiX = [ 0 , 0 ]
loiY = [ 0 , 0 ] loiXY = [ 0 , 0 ; 0 , 0 ] for k = 1 : N
[x , y] = experience( b , n , c , variante ) loiX(x) = loiX(x) + 1
...
...
end
loiX = loiX / N loiY = loiY / N loiXY = loiXY / N endfunction
d. On exécute notre fonction précédente avecb = 1,n = 2,c = 1,N = 10000et dans chacune des variantes. On obtient :
–>[loiX,loiY,loiXY] = estimation(1,2,1,1,10000) LoiXY =
0.49837 0.16785 0.16697 0.16681 LoiY =
0.66534 0.33466 LoiX =
0.66622 0.33378
–>[loiX,loiY,loiXY] = estimation(1,2,1,2,10000) LoiXY =
0.33258 0.33286 0.25031 0.08425 LoiY =
0.58289 0.41711 LoiX =
0.66544 0.33456
–>[loiX,loiY,loiXY] = estimation(1,2,1,3,10000) LoiXY =
0.44466 0.22098 0.22312 0.11124 LoiY =
0.66778 0.33222 LoiX =
0.66564 0.33436
En étudiant ces résultats, émettre des conjectures quant à l’indépendance et l’échangeabilité deX et Y dans chacune des variantes.
On donne les valeurs numériques approchées suivantes :
0.33×0.33'0.11 0.33×0.41'0.14 0.33×0.58'0.19 0.33×0.66'0.22 0.41×0.66'0.27 0.58×0.66'0.38 0.66×0.66'0.44
4. On se place dans cette question dans le cadre de la variante1.
a. Donner la loi deX.
b. Déterminer la loi du couple(X, Y).
c. Déterminer la loi deY.
d. Montrer queX etY sont échangeables mais ne sont pas indépendantes.
Exercice VIII.
(Ecricome 2015)1. SoitXune variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètre1.
a. Donner une densité deXet rappeler les valeurs de l’espérance et de la variance de la variable aléatoireX. b. Redémontrer que la fonction de répartition de la variable aléatoireX est la fonctionF définie pour tout réelx
par :
F(x) =
( 0 six <0, 1−e−x six>0.
2. Étude d’une suite.
On considère la suite(un)n>1définie paru1= 1et pour tout entier naturel non nulnpar :un+1=F(un).
a. Montrer que pour tout réelx: ex>x+ 1.
Montrer que l’égalité a lieusi et seulement six= 0. b. Montrer que pour tout entier natureln, on a :un>0.
c. Recopier et compléter le programme SCILAB suivant qui permet de représenter les cent premiers termes de la suite(un)n>1:
U = zeros(1,100) U(1) = 1
for n = 1 : 99
U(n+1) = ...
end plot(U,"+")
d. Le programme précédent complété permet d’obtenir la représentation graphique suivante :
f. En déduire que la suite(un)n>1est convergente et déterminer sa limite.
g. À l’aide de la question 2(a), montrer successivement que pour tout entier naturelnnon nul : un+1> un
1 +un et 1
un+1 61 + 1 un.
h. Montrer par récurrence que pour tout entier naturelnnon nul un> 1n.
i. On modifie le programme écrit en question 2(c) en remplaçant la dernière ligne par :
X = 1 : 100 S = cumsum(U) Y = log(X) plot2d(X,S) plot2d(X,Y)
Le programme ci-dessus permet d’obtenir la représentation graphique suivante :
Que représente le vecteur-ligneS?
Quelle conjecture pouvez-vous émettre sur la nature de la série de terme généralun? j. A l’aide de la question 2(h), établir la nature de la série de terme généralun.
Exercice IX.
(EDHEC 2019)Soitnun entier naturel supérieur ou égal à3.
Une urne contient une boule noire non numérotée etn−1boules blanches, dontn−2portent le numéro0et une porte le numéro1. On extrait ces boules au hasard, une à une, sans remise, jusqu’à l’apparition de la boule noire.
Pour chaqueide[[1, n−1]], on noteBil’événement : « lei-ème tirage donne une boule blanche », on poseBi=Niet on note Xla variable aléatoire égale au rang d’apparition de la boule noire.
b. Utiliser la formule des probabilités composées pour trouverP(X =k), pour toutkdeX(Ω). c. Reconnaître la loi deX et donner son espérance et sa variance.
3. On noteY la variable aléatoire qui vaut1si la boule numérotée1a été piochée lors de l’expérience précédente, et qui vaut0sinon.
a. Pour toutkdeX(Ω), montrer, toujours grâce à la formule des probabilités composées, que : P
[X =k]∩[Y = 0]
= n−k n(n−1) b. En déduireP(Y = 0).
c. Reconnaître la loi deY et donner son espérance et sa variance.
4. Simulation informatique.
On rappelle qu’enScilab, la commandegrand(1,1,’uin’,a,b)simule une variable aléatoire suivant la loi uni- forme sur[[a, b]].
a. Compléter le scriptScilabsuivant afin qu’il simule l’expérience aléatoire décrite dans cet exercice et affiche la valeur prise par la variable aléatoireX.
On admettra que la boule noire est codée tout au long de ce script par le nombrenB+1, oùnBdésigne le nombre de boules blanches.
n=input(’entrez une valeur pour n : ’) nB=n-1
X=1
u=grand(1,1,’uin’,1,nB+1) while u<nB+1
nB=...
u=grand(1,1,’uin’,1,...) X=...
end disp(X,’la boule noire est apparue au tirage numéro’)
b. Compléter les lignes4et8ajoutées au script précédent afin que le script qui suit renvoie et affiche, en plus de celle prise parX, la valeur prise parY.
n=input(’entrez une valeur pour n : ’) nB=n-1
X=1 Y=...
u=grand(1,1,’uin’,1,nB+1) while u<nB+1
nB=...
if u==1 then Y=...
end
u=grand(1,1,’uin’,1,...) X=...
end
