ECS2 Lycée Louis Pergaud
Devoir Surveillé du 04/01/2022
DS4
Durée : 1h
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les résultats doivent être encadrés.
La calculatrice n’est pas autorisée.
Exercice 1
Soit (un) la suite définie par
u0 = 0
un+1 = cos(un) .
1. Écrire une fonction d’en-têtefunction u = suite(n)qui prend comme paramètre d’entrée un entier n et calcule la valeur de un correspondante.
2. On souhaite étudier le comportement de la suite (un), ou tout du moins de ces premiers termes.
Écrire pour cela un programme qui trace un graphique sur lequel se trouvent les points (n, un) pour n∈J0,20K.
On obtient le graphe suivant :
Les suites (u2n) et (u2n+1) semblent adja- centes, et converger vers une même limite `, de sorte que :
n→+∞lim un=`.
En particulier,`semble toujours appartenir à l’intervalle d’extrémitésun etun+1 pour tout n∈N, ce qui s’écrit :
∀n∈N, |`−un| ≤ |un+1−un|.
Nous admettrons tous ces résultats sans dé- monstration pour la suite.
3. Justifier que le réel` satisfait ` = cos(`).
4. Proposer un programme permettant de tracer les courbes représentatives des fonctions f :x7→cos(x) et g :x7→x sur l’intervalle [0,1].
Après exécution, ce programme génère le graphe suivant :
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Déterminer par lecture graphique une valeur approchée de `.
5. (a) Écrire une fonction d’en-tête function n = premier_entier(p)qui prend comme paramètre d’entrée un entierpet renvoie le plus petit entier n tel que|un+1−un| ≤ 10−p.
(b) En déduire une fonction d’en-tête function ell = approx(p) qui prend comme paramètre d’entrée un entier p et renvoie une valeur approchée de ` à ±10−p près.
Exercice 2
1. On a entré les commandes suivantes : --> A = [1,4,2;3,2,8]; min(A,’r’)
et on a obtenu : ans = 1. 2. 2.
Que contient la variable A ? Expliquer ce que fait la commandemin(A,’r’). 2. Soitn∈N avec n≥2.
Soient X1, X2, . . . , Xn n variables aléatoires indépendantes et suivant la même loi expo- nentielle de paramètre 1. On poseIn = min(X1, . . . , Xn).
(a) On considère le programme Scilab suivant qui renvoie le graphique ci-dessous :
1 n=7
2 X=grand(n,10000,'exp',1)
3 I=min(X,'r')
4 histplot(100,I)
5 function y=f(x)
6 if x<0 then y=0
7 else y=n*exp(-n*x)
8 end
9 endfunction
10 x=-0.1:0.01:1
11 fplot2d(x,f)
Que contient la variableX? et la variable I? Expliquer en détails ce que fait ce pro- gramme.
(b) Que peut-on conjecturer quant à la loi de In ?
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Exercice 3
Soient a, b deux entiers strictement positifs. Une urne contient initialement a boules rouges et b boules blanches. On effectue une succession d’épreuves, chaque épreuve étant constituée des trois étapes suivantes :
• on pioche une boule au hasard dans l’urne,
• on replace la boule tirée dans l’urne,
• on rajoute dans l’urne une boule de la même couleur que celle qui vient d’être piochée.
Après n épreuves, l’urne contient donca+b+n boules. Pour tout n ∈N∗, on note Xn le nom- bre de boules rouges qui ont été ajoutées dans l’urne (par rapport à la composition initiale) à l’issue des n premières épreuves.
On souhaite simuler l’expérience grâce à Scilab.
1. Compléter la fonction suivante, qui simule le tirage d’une boule dans une urne contenant x boules rouges et y boules blanches et qui retourne la valeur 0 si la boule est rouge et 1 si elle est blanche.
1 function res = tirage(x,y)
2 r = rand()
3 if ... then
4 res = 0
5 else
6 res = 1
7 end
8 endfunction
2. Compléter la fonction suivante, qui simule n tirages successifs dans une urne contenant initialement a boules rouges et b boules blanches (selon le protocole décrit ci-dessus) et qui retourne la valeur de Xn :
1 function Xn = experience(a,b,n)
2 x = a
3 y = b
4 for k=1:n
5 r = tirage(x,y)
6 if r == 0 then
7 x = ...
8 else
9 ...
10 end
11 end
12 Xn = ...
13 endfunction
3. Écrire une fonction Scilab d’en tête :
1 function loi = simulation(a,b,n,m)
qui fait appelmfois à la fonction précédente pour estimer la loi deXn. Le paramètre de sor- tie sera un vecteur contenant les approximations de P(Xn = 0),P(Xn= 1), . . . , P(Xn= n).
4. On s’intéresse ici au cas où a=b = 1. On utilise la fonction simulationavec des valeurs de n entre 1 et 5 et on affiche à chaque fois l’estimation de la loi de Xn sous forme d’un diagramme en bâtons.
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–> bar(simulation(1,1,1,100000)) –> bar(simulation(1,1,2,100000)) –> bar(simulation(1,1,3,100000))
–> bar(simulation(1,1,4,100000)) –> bar(simulation(1,1,5,100000))
À l’aide de ces résultats, conjecturer la loi deXn.
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