TP 8. Probabilités et simulation
rand() : retourne un réel compris entre0et 1, de manière aléatoire.
rand(m,n) : retourne une matrice de taillem×nde réels compris entre0 et1, de manière aléatoire.
rand(m,n,'n') : retourne une matrice de taillem×nde simulations de la loiN(0,1).
Exercice I.
1. Directement dans la console, exécuter plusieurs fois les instructions :
a. rand() b. rand(1,3) c. rand(3,2)
2. Exécuter les programmes suivants :
programme A. programme B. programme C. programme D.
u=rand(10,10) ; disp(u) ; histplot(20,u) ;
u=rand(100,100) ; histplot(20,u) ;
u=rand(1000,1000) ; histplot(20,u) ;
u=rand(1000,10000) ; histplot(50,u) ;
3. Commenter les observations précédentes.
4. Exécuter et commenter le programme suivant : stacksize(999999999) ;
u=rand(10000,1000,'n') ; histplot(100,u) ;
Exercice II.
On représente pile par la valeur1, et face par la valeur0.
1. Créer un programme simulant un lancer de pièce équilibrée, en utilisant l'instruction rand().
2. Quelle est la loi usuelle simulée dans ce programme ?
3. Exécuter plusieurs fois ce programme, puis tracer l'histogramme des valeurs simulées.
Exercice III.
1. En s'inspirant de l'exercice précédent, créer un programme simulant un lancer de pièce non nécessairement équilibrée.
(La probabilité d'obtenir pile est un réelp∈[0; 1], qui sera demandé à l'utilisateur.) 2. Quelle est la loi usuelle simulée dans ce programme ?
3. Exécuter plusieurs fois ce programme, puis tracer l'histogramme des valeurs simulées. (Répéter tout ceci pour diérentes valeurs dep.)
Exercice IV.
En utilisant comme instruction de base l'instruction rand(), expliquer comment simuler une réalisation de : 1. la loi uniformeU([[0; 3]])?
2. la loiU([[1; 4]])?
3. un lancer de dé équilibré ? 4. la loiU([[1;n]]), oùn∈N∗?
5. la loiU([[a;b]]), oùa≤bsont deux entiers relatifs quelconques ? 6. la loi uniforme sur{4; 6; 8}?
7. la loi uniforme sur1 4;1
2;3 4
? 8. la loi uniforme sur{1; 2; 4}?
1
Loi des grands nombres :
SoitX une v.a. admettant une espérance.
On considère une suite(Xn)n∈N∗ de v.a. indépendantes et de même loi queX (ou une suite de réalisations deX).
Alors, presque surement lim
n→+∞
X1+X2+...+Xn
n = E(X). (La moyenne empirique est un estimateur convergent de l'espérance.)
Exercice V.
1. Dans un programme, créer une fonctionB(p), simulant un lancer de pièce, le paramètrep∈]0; 1[, demandé à l'utilisateur, étant la probabilité d'apparition de pile.
2. Compléter le programme pour qu'il simule un nombrende lancers, nombre également demandé à l'utilisateur.
3. Comment peut-on faire pour compter le nombre de fois où pile est apparu ? 4. Compléter le programme en conséquence.
5. Quelle est la loi du nombre de piles apparus au cours denlancers de cette pièce ? 6. Exécuter le programme plusieurs fois, et acer l'histogramme correspondant.
7. Exécuter le programme pour des valeurs dende plus en plus grandes, et dire vers quoi semble tendre la fréquence d'apparition du pile.
Exercice VI.
1. Ecrire un programme qui simule et ache des lancers d'un dé équilibré jusqu'à la 1ere apparition d'un 6.
2. Compléter le programme pour qu'il ache le nombre de lancers qui ont été nécessaires.
3. Quelle loi de probabilité est mise en jeu ici ?
4. Comment pourrait-on faire pour se donner une idée du nombre moyen de lancers nécessaires ? 5. Modier le programme en conséquence.
Exercice VII.
En prenant appui sur les précédents programmes, en créer un qui simule des lancers d'une pièce non équilibrée (faire entrer pà l'utilisateur), jusqu'à la première apparition du pile.
Exercice VIII.
1. Dans un programme, créer une fonction simulant une réalisation d'une v.a.X de loiU([[1;n]]). En utilisant la loi des grands nombres, calculer numériquement une valeur approchée deE(X). Même question avec des v.a.X de loi :
2. B(p) 3. B(n, p) 4. G(p)
5. Avec les lois précédentes, utiliser à nouveau la loi des grands nombres, mais cette fois pour calculer une valeur approchée deV(X).
Exercice IX.
1. Dans un programme, écrire une fonctionB(n, p)simulant une loi binomiale.
2. Compléter le programme pour qu'il simule plusieurs fois une v.a. de loiB
50, 3 50
. 3. Acher l'histogramme correspondant.
4. Exécuter le programme suivant : u=grand(1000,1000,'poi',3) ; histplot(20,u) ;
5. Conclure.
2
Exercice X.
Créer un programme informatique permettant de simuler une suite de lancers d'un dé équilibré.
On s'intéressera au premier instant où l'on obtient deux 6 consécutivement.
Combien de lancers sont en moyenne nécessaires, an d'obtenir ces deux6 consécutifs ?
Exercice XI.
Créer un programme achant les graphes des densités des lois normalesN(m, σ2), et exponentiellesE(λ), de densités respectives :
f(x) = 1 σ√
2πe−(x−m)22σ2 et f(x) =
0 , six <0 λe−λx , six≥0
Exercice XII.
SoitX ,→U([0; 1])etλ >0.
On a vu dans l'exercice II. de la feuille 23. que la v.a. Y =−1
λln(1−X) suit la loi exponentielle de paramètreλ. 1. Créer un programme simulant la loi exponentielle
2. L'exécuter plusieurs fois et acher l'histogramme correspondant.
3. Comparer à un histogramme obtenu à partir du générateur de loi exponentielle de Scilab.
(Utiliser l'instruction grand avec le paramètre 'exp')
Exercice XIII.
On utilise la méthode des rectangles an de calculer la fonction de répartitionF de la loi normaleN(0,1). On a,∀x∈R, F(x) =
Z x
−∞
√1 2πe−t
2 2dt.
On sait que plus de99.9%de la masse se trouve dans l'intervalle[−4; 4].
On va donc se contenter de calculerF pour des valeurs de xde cet intervalle, régulièrement réparties.
On peut par exemple, chercher à calculer l'intégrale G(x) = Z x
−4
√1 2πe−t
2
2dt, qui fournira une bonne approximation de F(x).
1. Dans un programme :
-créer un vecteur contenant des valeurs de l'intervalle[−4; 4], régulièrement espacées, par exemple de0.01 -pour chacune des abscissesxcontenues dans ce vecteur, calculer l'intégraleG(x), en utilisant la méthode des rectangles.
-acher le graphe deG
2. Comparer le graphe obtenu par cette méthode à celui obtenu par l'utilisation de la fonction prédénie Scilab cdfnor('PQ',x,0,1), qui renvoie justementF(x).
Exercice XIV.
Même exercice avec cette fois la fonction de répartition de la loiE(λ).
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Théorème central limite :
SoitX une v.a. admettant une variance.
On considère une suite(Xn)n∈N∗ de v.a. indépendantes et de même loi queX (ou une suite de réalisations deX).
Alors, X1+X2+...+Xn−nE(X) σ(X)√
n converge en loi vers la loiN(0,1), ie, pournsusamment grand, sa loi est proche de la loiN(0,1).
Exercice XV.
1. Utiliser le théorème précédent, ainsi qu'une v.a.X suivant n'importe quelle loi usuelle admettant une variance, et créer un programme simulant la loiN(0,1).
2. L'exécuter plusieurs fois, acher l'histogramme correspondant, et comparer à celui de la loi normale de Scilab.
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