Terminale S
Devoir maison n˚11
2016 - 2017A rendre le vendredi 03 février 2017
EXERCICE 1 Une fourmi se déplace sur les arêtes de la pyramide ABCDS. Depuis un sommet quel- conque, elle se dirige au hasard (on suppose qu’il y a équiprobabilité) vers un sommet voisin ; on dit qu’elle
« fait un pas ». La fourmi se trouve en A.
A B
C D
bc
bc bc
bc
bc
S
1. Après avoir fait deux pas, quelle est la probabilité qu’elle soit :
⊲ en A ? en B ?
⊲ en C ? en D ?
2. Pour tout nombre entier n > 0, on note S
nl’événement : « la fourmi est au sommet S après n pas », et p
nla probabilité de cet événement. Donner p
1.
En remarquant que S
n+1= S
n+1∩ S
n, montrer que p
n+1= 1
3 (1 − p
n) 3. On considère la suite (p
n)
n>0définie par :
p
1= 1
3 et p
n+1= 1
3 (1 − p
n)
(a) Montrer par récurrence, que pour tout entier n > 0, p
n= 1
4
1 −
− 1 3
n
(b) Déterminer la limite de p
nlorsque n tend vers +∞.
• • •
EXERCICE 2 On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f (x) = ln(x) + xe
x
2sur ]0; +∞[.
A. Étude d’une fonction auxiliaire :
On considère la fonction g définie sur ]0; +∞[ par
g(x) = −2 ln(x) − xe + 1 1. Déterminer les limites de g en 0 et en +∞.
2. Étudier le sens de variation de g.
3. Montrer que, dans l’intervalle [0, 5; 1], l’équation g(x) = 0 admet une solution, et une seule, notée α.
Déterminer un encadrement de α à 0,1 près.
4. En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x.
B. Étude de la fonction f :
1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2. Vérifier que f
′(x) = g(x)
x
3, puis étudier le sens de variation de f sur ]0; +∞[.
3. Montrer que f (α) = 1 + αe 2α
2.
4. Donner le tableau de variations de f et construire C
f.
• • •
Lycée Bertran de Born - Périgueux 1 sur 1
