On dit que dirige la droite.

Équations cartésiennes de droites

1. Vecteur directeur d’une droite

Définition. On considère une droite et deux points distincts et de cette droite.

On appelle vecteur directeur de cette droite tout vecteur non nul colinéaire au vecteur .

On dit que dirige la droite.

Remarque. Si est un vecteur directeur d’une droite, tout vecteur non nul qui lui est colinéaire est également vecteur directeur de cette droite, notamment , …

Exemple

Soit trois points alignés distincts. La droite a pour vecteurs directeurs etc.

Théorème. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Théorème. Soit la droite définie par le point et un vecteur directeur . Alors un point du plan appartient à si et seulement si et sont colinéaires.

Exemple

Soit la droite passant et dirigée par . Le point appartient-il a ?

On a , d’où , donc et ne sont pas colinéaires, et n’appartient pas à .

2. Équation cartésienne d’une droite

Théorème. Toute droite du plan admet une équation de la forme où sont trois réels avec ou . Un vecteur directeur de cette droite est

.

Démonstration. Soit une droite, un de ses vecteurs directeurs et l’un de ses points. Un point appartient à si et seulement si et sont colinéaires. Les coordonnées de sont

, donc

En posant , et , ceci se réécrit et un vecteur directeur est

. De plus ou est non nul car dans le cas contraire , ce qui est impossible par définition d’un vecteur directeur.

Réciproquement, soit l’ensemble des points vérifiant où ou est non nul.

Démontrons déjà que n’est pas vide. Si , on voit que le point appartient à , et si qui est non nul, le point appartient à .

Dans les deux cas, contient au moins un point dont on ne notera les coordonnées.

Soit . On a donc . D’autre part d’après ce qui précède. Donc

ce qui s’écrit

ou encore

Cela traduit la colinéarité des vecteurs de coordonnées et et prouve que l’ensemble est la droite passant par et de vecteur directeur .

Définition. L’équation est dite équation cartésienne de la droite.

Exemple

Considère la droite d’équation .

D’après le théorème, un vecteur directeur de cette droite est . Pour trouver un point de cette droite, on choisit une valeur arbitraire de (ou ) et on calcule la valeur correspondant de (ou ) de façon à satisfaire la relation. La droite passe par exemple par les points , , etc.

Exemple

Déterminons l’équation de la droite de vecteur directeur

passant par le point .

 Première méthode

Soit . On a

, et l’appartenance de à se traduit par la colinéarité des vecteurs et , donc

On a donc

 Deuxième méthode

D’après le théorème, l’équation de est de la forme . Mais comme

on a , d’où , et on retrouve la même équation.

Exemple

Considérons les points et . Alors si et seulement si et sont colinéaires. Comme et , on obtient

En développant, une équation cartésienne de la droite est donc .

3. Équation réduite d’une droite

Théorème. Il y a deux types de droites dans le plan.

 Celles qui sont parallèles à l’axe des ordonnées, ce sont celles qui ont une équation de la forme (avec ) et dont un vecteur directeur est ;

 Celles qui sont non parallèles à l’axe des ordonnées, ce sont celles dont l’équation peut s’écrire et dont un vecteur directeur est , avec .

Démonstration.

Soit une droite du plan. Elle admet une équation de la forme , avec ou .

 Si , alors et l’équation peut s’écrire , soit en posant . Un vecteur directeur de cette droite est , il est colinéaire à , ce qui prouve que est parallèle à l’axe des ordonnées.

 Si , l’équation de droite peut s’écrire , ou encore en posant et . Un vecteur directeur de cette droite est

, ou encore

. Cette droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées car et ne sont pas colinéaires puisque

.

Réciproquement, l’ensemble d’équation peut s’écrire , c’est donc d’après le théorème précédent une droite de vecteur directeur , parallèle à l’axe des ordonnées.

L’ensemble d’équation peut s’écrire , c’est donc une droite de vecteur directeur

, non parallèle à l’axe des abscisses comme on a vu.

On retrouve ainsi le résultat de seconde. On rappelle que dans le cas d’une équation de droite de la forme , le réel est le coefficient directeur de la droite et son ordonnée à l’origine. Le coefficient directeur se calcule par la formule

. Définition. L’équation

ou est dite équation réduite de la droite.

Définition. Étant donné une droite

d’équation , on dit que est le

coefficient directeur de la droite et son

ordonnée à l’origine.

Théorème.

1. L’ordonnée à l’origine d’une droite d’équation est l’ordonnée du point d’intersection de cette droite avec l’axe des ordonnées.

2. Si et sont deux points situés sur une droite (avec ), le coefficient directeur de cette droite est

.

Schématiquement, on pourra retenir

é Démonstration.

1. Ce point appartient à l’axe des ordonnées, donc son abscisse est 0. Puisqu’il est également sur la droite d’équation

, son ordonnée est .

2. Comme , la droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées et d’après le théorème précédent, son équation est de la forme .

Le fait que les points et appartiennent à se traduit par les égalités et . Par soustraction, on a obtient et donc

puisque .

Le coefficient directeur s’interprète ainsi : si l’on se déplace d’une unité en abscisse, on se déplace de unités en ordonnées.

Exemple

Déterminons l’équation réduite de la droite passant par et

 Première méthode

On commence par calculer le coefficient directeur :

. L’équation de est de la forme , avec à déterminer.

Comme appartient à ses coordonnées vérifient , d’où .

Ainsi l’équation de est .

 Deuxième méthode

On calcule une équation cartésienne de . Le vecteur a pour coordonnées

et pour tout point du plan,

. Donc

d’où puis

. Exemple

Soit et . La droite a pour coefficient directeur

. On aurait aussi pu faire comme calcul

.

Le coefficient directeur peut s’interpréter de plusieurs manières :

 quand on part d’un point de la droite, qu’on « avance » de 5 puisqu’on « descend »

de 7, on obtient un nouveau point de la droite ;

 quand on « recule » de 5, on « monte » de 7 ;

 quand on « avance » de 1, on « descend » de .

4. Équations de droites : la pratique

 Tracer une droite dans un repère

L’une des techniques vue ci-dessus consiste à déterminer deux points de la droite en choisissant deux abscisses, puis à relier ces points.

En voici une autre, utilisant la notion de coefficient directeur et d’ordonnée à l’origine.

Exemple

Soit à tracer les droites d’équation et d’équation .

 Tracé de

L’ordonnée à l’origine de étant , elle coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées .

Le coefficient directeur est 3, ce qui signifie qu’en partant de , en « avançant » de 1 et en « descendant » de 3, on obtient un point de .

La droite est donc la droite

 Tracé de

On cherche un point sur ayant si possible des coordonnées

entières. On constate qu’en remplaçant par 1 on trouve 1, donc le point appartient à . À présent soit on cherche un autre point (par exemple ) ou alors on interprète le coefficient directeur : en partant de , en « avançant » de 3 et en

« montant » de 2 on obtient un nouveau point (ou en partant de en « reculant » de 3 et en « descendant » de 2).

 Lire graphiquement l’équation d’une droite

On peut fréquemment lire l’équation d’une droite à partir d’un schéma.

 Calcul du coefficient directeur : on repère deux points dont on connaît les coordonnées

(en général situés sur un nœud du quadrillage) et on applique la formule du coefficient

directeur ;

 lecture de l’ordonnée à l’origine : c’est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.

Exemple

On considère les points , , et .

 Équation de la droite

Pour aller de à , on « avance » de 3, et on

« monte » de 2. Le coefficient directeur de est donc . On peut s’en tenir aux formules : et donc le coefficient directeur est

. Remarquons qu’on peut trouver le coefficient directeur en allant de vers : il faut « reculer » de 3 (donc l’accroissement des abscisses est 3) et

« descendre » de 2 (donc l’accroissement des ordonnées est 2). On trouve bien encore

.

La droite coupe l’axe des ordonnées au point dont l’ordonnée est 2. Donc l’ordonnée à l’origine de cette droite est 2.

En conclusion a pour équation .

Pour confirmer ce résultat, il suffit de vérifier que les points et sont bien sur la droite Se référer à l’exemple A.

 Équation de la droite

Pour aller de à , on « avance » de 6 et on « descend » de 3, donc le coefficient directeur de cette droite est

.

La droite semble couper l’axe des ordonnées à l’origine du repère, c’est bien le cas car le trajet « avancer » de 2 et « descendre » de 1 en partant de nous amène à l’origine du repère. Donc l’ordonnée à l’origine de est .

L’équation de est donc .

 Déterminer l’équation d’une droite par le calcul

Bien souvent, on ne pourra déterminer l’équation d’une droite par une simple lecture graphique, par exemple lorsque les valeurs exactes « ne tombent pas juste »

 Déterminer l’équation d’une droite connaissant un de ces points et son coefficient directeur.

Exemple

Déterminons l’équation de la droite passant par et coefficient directeur 3.

Puisque est une droite, son équation est de la forme , avec le coefficient directeur, donc l’équation est , où reste à déterminer.

Comme appartient à , ses coordonnées vérifient l’égalité , d’où

et donc . Ainsi l’équation de est .

 Déterminer l’équation d’une droite connaissant deux de ses points

Exemple

Déterminons l’équation de la droite passant par et On commence par calculer le coefficient directeur :

.

On est alors ramené au cas précédent, puisqu’on connaît le coefficient directeur de et l’un de ses points ( ou , on choisit celui que l’on veut).

L’équation de est de la forme , avec à déterminer.

Comme appartient à ses coordonnées vérifient , d’où l’on déduit .

Ainsi l’équation de est .

On peut vérifier que les calculs sont corrects en procédant comme dans l’exemple A.

5. Position relative de deux droites, système d’équations linéaires

 Droites parallèles

Théorème. Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur.

Démonstration. Soit deux droites et . On appelle et les points d’intersection de et avec l’axe des ordonnées et le point de d’abscisse . On a donc et et .

Soit le point tel que soit un parallélogramme :

donc

Les droites et sont parallèles si et seulement si , ce qui équivaut à

d’où le théorème puisque et sont les coefficients directeurs.

Exemple

Montrer que les points , et sont alignés.

Réponse. Le coefficient directeur de est

et celui de la droite

est

. Ainsi les droites et sont parallèles, mais comme

elles ont le point en commun, elles sont confondues, ce qui prouve que les points ,

et sont alignés.

 Droites sécantes

Théorème. Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont sécantes si et seulement si elles ont des coefficients directeurs différents.

Cet énoncé est la contraposée du théorème précédent.

Dans le cas où les droites d’équation et sont sécantes (si d’après le théorème) les coordonnées du point d’intersection des deux droites sont solutions du système

Exemple

Tracer les droites et d’équation et et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.

Réponse. Ces droites ne sont pas parallèles car elles ont des coefficients directeurs différents. Les coordonnées du point d’intersection de et vérifient le système

. On déduit alors l’équation sur :

La valeur de s’obtient en remplaçant par dans l’une des deux équations, par exemple la première :

. Ainsi .

Exemple

Soit un carré, le milieu de et le milieu de .

Que peut-on dire des droites et ?

En réalisant une figure, il semblerait que les droites soient perpendiculaires. Pour prouver cela, en appelant l’intersection de et , il suffit de montrer que le triangle (par exemple) est rectangle en , c’est-à-dire que d’après le théorème de Pythagore.

Il reste à trouver un moyen de calculer les longueurs ,

et . On se place dans un repère orthonormé bien choisi, on calcule les coordonnées des points , et puis on applique la formule de la distance.

Plaçons-nous dans le repère orthonormé . Les coordonnées suivantes sont immédiates : , , , , et .

 La droite a pour coefficient directeur

, donc elle a une équation de la

forme . Le point où recoupe l’axe des ordonnées est , donc est

l’ordonnée de , c’est-à-dire 1. On en déduit .

 La droite a pour coefficient directeur

donc son équation est de la forme . L’ordonnée à l’origine est 2, d’où .

 Puisque le point est à l’intersection de et , ses coordonnées sont solutions du système

Donc est solution de

puis . Ainsi .

 Calculons , et .







Par conséquent et d’après la réciproque du théorème

de Pythagore, le triangle est rectangle en .

STOCK

Exemple

Dans un repère orthonormé , on considère les points et ). est un carré, et est un rectangle.

1. Déterminer les équations des droites et et en déduire les coordonnées de .

2. Montrer que et sont perpendiculaires.

Réponse. Voici les coordonnées des autres points : , et .

1. La droite a pour coefficient directeur

donc son équation est de la forme . Or donc ses coordonnées vérifient , d’où . Donc .

La droite a pour coefficient directeur

, donc elle a une équation de la forme . Le point où recoupe l’axe des ordonnées est , donc est l’ordonnée de , c’est-à-dire 1. Donc .

Puisque le point est à l’intersection de et , ses coordonnées sont solutions du système

Donc est solution de

puis

. Ainsi .

2. Il suffit de montrer que le triangle est rectangle en . On a







Par conséquent et d’après la réciproque du théorème

de Pythagore, le triangle est rectangle en .