On désigne par d la distance qui sépare les pieds des hauteurs issues de A et B dans le triangle OAB et par α

D1911 – Deux preuves sans mot [**]

Dans un repère Oxy avec sa première bissectrice Δ, on trace un cercle de rayon unité qui a pour centre ω à l’intérieur de l’octant (Ox, Δ), passe par O et coupe Ox et Δ aux points A et B. On trace ensuite le point C de l’axe des ordonnées Oy tel que l’angle OBC est égal à 30° et enfin le point M milieu de BC. On désigne par d la distance qui sépare les pieds des hauteurs issues de A et B dans le triangle OAB et par α =  OMC.

Déterminer d et α à l’aide de figures convenablement illustrées et coloriées⁽¹⁾ accompagnées d’éventuels commentaires n’excédant pas une ligne.

(1) avec, par exemple, le logiciel Geogebra.

Solution

Commentaires :

1^ère preuve : D projection de C sur Δ  CDM : triangle équilatéral et OCD triangle rectangle isocèle

OD=DM  α =  OMC = 45°

2^ème preuve : H orthocentre du triangle OAB. OAE et OBE rectangles isocèles  FA=FH et FB=FO OFH et BFA isométriques AB = OH

Dans le triangle OEF, ω centre du cercle circonscrit à OAB est orthocentre de OEF  triangles OAB et OEF semblables  Oω = EF  d = EF = 1