Deux fourmis sur une patère

Deux fourmis sur une patère

Problème D320 de Diophante

J’ai fabriqué une patère très rudimentaire constituée d’un support vertical carré ABCD de côté égal à 15 cm et de trois anneaux circulaires :

- le premier peint en bleu passe par les sommets du carré ABCD,

- le deuxième peint en rouge de diamètre 15 cm est soudé à la tige CD en son milieu I dans un plan horizontal perpendiculaire au plan ABCD,

- le troisième peint aussi en rouge de même diamètre 15 cm est soudé au deuxième anneau au point J diamétralement opposé à I dans un plan vertical parallèle au plan ABCD

A

B

C

D

I

J

Une fourmi X se promène le long de la circonférence de l’anneau bleu tandis qu’une fourmi Y se promène indifféremment sur les deux anneaux rouges. L’une et l’autre ne vont jamais sur le support carré ABCD.

Quelle est la plus courte distance qui peut séparer les deux fourmis? La plus longue distance ? Quelles sont les positions correspondantes des deux fourmis ? Nota : une solution géométrique est préférée à une solution trigonométrique.

Solution

Distance minimale Les fourmis X et Y seront le plus près l’une de l’autre dans un voisinage de CD. Faisons une épure (à l’ancienne, ou presque) où le plan vertical est celui du cercle bleu et le plan horizontal celui du cercle rouge.

Y’

X’ I

Y’

Y”

X’

X”

Par abus (simplification) de langage, qualifions de bleu un point du cercle bleu et de rouge un point du cercle rouge. De même, qualifions de bleu le plan vertical du cercle bleu et de rouge le plan horizontal du cercle rouge.

Ci-dessus à droite, un point X bleu se projette orthogonalement en X’ sur le plan rouge et le point rouge le plus près de X est X”, sur la droite OX’. De même, un point Y rouge se projette orthogonalement en Y’ sur le plan bleu et le point bleu le plus près de Y est Y”, sur la droite OY’.

Il s’agit de trouver deux points X et Y tels que X” = Y et Y” = X comme c’est le cas à gauche. En effet, en partant d’un point bleu X₁ on construit le point rouge le plus proche Y₁ puis le point bleu le plus proche X₂ , etc. La suite des X_i converge vers un point X et celle des Y_j vers un point Y. Ces points X et Y sont les points cherchés.

Intéressons nous à la transformation t du plan définie de la manière suivante : Ci-contre, le point M (x, y) se projette en P sur la droite

y = 1, coupée par OM en Q. L’intersection N de OP et de la

parallèle à Oy menée de Q est l’image t(M). M x

y O P N

Q 1

Calculons les coordonnées de N connaissant celles de M (x, y). Le point P a pour coordonnées (x, 1). L’homothétie de centre O qui envoie M sur Q a pour rapport 1/y ; elle envoie aussi P sur N. Donc N a pour coordonnées (x/y, 1/y).

Dans l’épure, prenons pour unité 7,5 cm et l’origine en O.Un point t(M) est rouge lorsque (x/y)² + (1/y)² = 1 soit lorsque M satisfait : x² + 1 = y². Ce point M est bleu si en plus x² + y² = 2 soit 2x² = 1 et 2y² = 3.

Nous retenons x = 1/√2 et y = √3/√2 pour coordonnées de X (x > 0 et y > 0) et x = 1/√3 et y = √2/√3 pour coordonnées de Y, en remarquant que les droites OX et CD font un angle de 60°.

Dans l’espace XY² = XX’² + X’Y² = XY’² + Y’Y².

Il est plus facile de calculer XY’ = 2X’Y’ = √2 – 2/√3 et Y’Y = 1 - √2/√3 ; d’où il apparaît que XY = √3 - √2.

En conclusion, la distance la plus courte entre les deux fourmis X et Y est de 23,84 mm pour la position décrite et pour la position symétrique par rapport au plan de symétrie de la patère.

Distance maximale Si la fourmi Y est sur le cercle rouge vertical. Le problème est de révolution autour de la perpendiculaire au plan ABCD au centre O du carré.

S

X

Y

Le point le plus éloigné de J est K, à la distance 7,5 √(7 + 2√2) soit 235,13 mm.

Il y a alors une infinité de position possibles pour X et Y.

Cependant, sur le cercle rouge horizontal, si la fourmi Y est en J alors le point bleu le plus éloigné est K et réciproquement mais ce couple est instable, en ce sens que pour un point bleu X₁ très proche de K le point rouge Y₁ le plus éloigné de X₁ sera moins proche de J, etc.

Comme pour la distance minimale, cherchons deux points X bleu et Y rouge (horizontal) tels que Y est le point rouge le plus éloigné de X et X est le point bleu le plus éloigné de Y, (voir la figure ci-dessous) où X se projette orthogonalement en X’

sur le plan horizontal et Y se projette orthogonalement en Y’ sur le plan vertical.

Y’

O

D C

A B

Intéressons nous à la transformation u du plan définie de la manière suivante : Ci-contre, le point M (x, y) se projette en P sur la droite

y = 1, coupée par OM en Q. L’intersection N de OP et de la parallèle à Oy menée de Q est l’image u(M).

Calculons les coordonnées de N connaissant celles de M (x, y). Le point P a pour coordonnées (x, 1). L’homothétie de centre O qui envoie M sur Q a pour rapport 1/y ; elle envoie aussi P sur N. Donc N a pour coordonnées (x/y, 1/y).

C’est la même transformation t que précédemment. Nous sommes amenés aux mêmes calculs mais en considérant x et y de signes contraires. Nous retenons x = 1/√2 et y = -√3/√2 pour coordonnées de X (x > 0 et y < 0) et x = -1/√3 et y = -√2/√3 pour coordonnées de Y. Les droites OX et CD font encore un angle de 60° et la distance XY vaut √3 + √2

En conclusion, la distance la plus grande entre les deux fourmis X et Y est de 235,97 mm pour la position décrite et pour la position symétrique par rapport au plan de symétrie de la patère.