D320 : Deux fourmis sur une patère
J’ai fabriqué une patère très rudimentaire constituée d’un support vertical carré ABCD de côté égal à 15 cm et de trois anneaux circulaires :
- le premier peint en bleu passe par les sommets du carré ABCD,
- le deuxième peint en rouge de diamètre 15 cm est soudé à la tige CD en son milieu I dans un plan horizontal perpendiculaire au plan ABCD,
- le troisième peint aussi en rouge de même diamètre 15 cm est soudé au deuxième anneau au point J diamétralement opposé à I dans un plan vertical parallèle au plan ABCD
Une fourmi X se promène le long de la circonférence de l’anneau bleu tandis qu’une fourmi Y se promène indifféremment sur les deux anneaux rouges. L’une et l’autre ne vont jamais sur le support carré ABCD.
Quelle est la plus courte distance qui peut séparer les deux fourmis? La plus longue distance ? Quelles sont les positions correspondantes des deux fourmis ?
Soit O le centre du cercle bleu, O’ celui du premier cercle rouge (de diamètre IJ). Soit M un point du cercle bleu, et P sa projection orthogonale sur CD. Le point N du premier cercle rouge le plus proche de M est également le point du cercle le plus proche de P, donc à l’intersection du cercle ( sur le petit arc CD) et de O’P, et MN2=MP2+PN2. On peut de même construire le point du cercle bleu le plus proche de N, en projetant N en Q sur CD, et en prenant l’intersection de OQ et du cercle bleu (sur le petit arc CD); si l’on retombe alors sur le point M, les points M et N bornent le segment de longueur minimale s’appuyant sur les deux cercles.
De même, si M’ est l’autre point du cercle bleu ayant P pour projection sur CD, si N’ est diamétralement opposé à N sur le premier cercle rouge, et Q’ la projection de N’ sur CD, M’ et N’ bornent le segment de longueur maximale s’appuyant sur les deux cercles, si O’Q’ passe par M’.
Nous avons alors IP/OM=IQ/OQ=x et OI2=OQ2(1-x2) ; O’P/O’N=OM/OQ et
O’P2=O’I2+IP2. Or, si 2a=15 cm désigne le coté du carré, OI=O’I=O’N=a et OM=a√2.
Donc O’P2=a2(1+2x2) et O’P2=2a4/OQ2=2a2(1-x2). Donc 1+2x2=2(1-x2) soit x=1/2 : l’angle IOM est donc égal à π/6 et MP2=PN2=a2(√(2(1-x2)-1)2=a2(5/2-√6) donc MN2=a2(5-2√6), soit MN=a(√3-√2)=2,384 cm.
De même, M’N’2=M’P2+PN’2, avec M’P=MM’-MP, PN’=NN’+NP, donc M’N’2=a2(5+2√6), soit M’N’=a(√3+√2)=23,597 cm.
On vérifie que cette distance est supérieure à la distance maximale entre un point du cercle bleu et un point du second cercle rouge, par exemple la longueur JK où K est le milieu du petit arc AB sur le cercle bleu :JK2=IJ2+IK2=a2(4+(1+√2)2)=a2(7+2√2) soit JK=23,513 cm.
Pour simplifier le tracé, on a rabattu le cercle rouge dans le plan du cercle bleu, autour de CD, faisant coïncider O et O’