D292 - Les distances manquantes [**** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
Un décagone ayant un centre de symétrie est inscrit dans un cercle.
On mesure en centimètres les distances d’un point M de l’espace à sept sommets du décagone.
Ces distances, arrondies à l’entier le plus proche sont, par valeurs croissantes : 17, 83, 120, 178, 203, 305, 327.
Calculer à 1 cm près les distances de M aux trois autres sommets du décagone.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Soit ABCDEFGHIJ ce décagone .Il possède un centre de symétrie et tous ces sommets appartiennent à un cercle de centre O.
Le point de l'espace M est le sommet d'une pyramide oblique . Et les 11 sommets de cette pyramide appartiennent à un cône oblique de sommet M et de base le cercle de centre O et de diamètre AF . AF , BG , CH , DI et EJ sont 5 diamètres de ce cercle . le point O est le milieu de chacun de ces diamètres. MO est l'axe du cône.
Ainsi les 5 triangles MAF , MBG , MCH , MDI & MEJ ont même base Ø ; ils possèdent aussi une médiane commune MO.
Et les 10 arêtes issues de M sont des génératrices du cône . Ces génératrices sont 2 à 2 diamétralement opposées.
En rappelant le théorème de la médiane dans un triangle scalène .
La médiane MO ainsi que le diamètre Ø sont constants ; alors a² + b² est une constante.
Dans le problème posé , il manque 3 longueurs parmi les 10 génératrices . Il y a donc au minimum 2 paires de ces génératrices dont on connaît les longueurs.
En rajoutant 2 ou 3 mm aux longueurs connues , on constate que : 327.3² + 17.3² = 107424.58
305² + 120² = 107425 et ces 2 sommes sont pratiquement égales .
En plaçant le sommet M par exemple à une distance de 17.3 cm du segment AF , le triangle MAF devient rectangle en A .
Alors Ø = 326.84 cm dans ce cas et les 3 arêtes manquantes x , y et z se calculent ainsi:
Arrondies à l'entier le plus proche , les 10 arêtes issues de M sont donc:
MA = 17 , MB = 83 , MC = 120 , MD = 178 , ME = 203 , MF = 327 , MG = 317 , MH = 305 , MI
= 275 & MJ = 257 .
NB: ces longueurs sont conservées par exemple lorsque le point M parcourt un cercle de centre A et de rayon 17.3 cm et lorsque
le plan de MAF reste perpendiculaire au plan du cercle de base de la pyramide.
Ainsi lorsque M est en mouvement sur son cercle ( A, r=17.3) --> 310 <= Ø <= 344.6
