D292. Les distances manquantes
Problème proposé par Michel Lafond
Un décagone ayant un centre de symétrie est inscrit dans un cercle.
On mesure en centimètres les distances d’un point M de l’espace à sept sommets du décagone.
Ces distances, arrondies à l’entier le plus proche sont, par valeurs croissantes : 17, 83, 120, 178, 203, 305, 327.
Calculer à 1 cm près les distances de M aux trois autres sommets du décagone.
Solution de Paul Voyer
Je trouve graphiquement 257, 275 et 317 cm.
Les cercles rouges sont les symétriques des cercles noirs par rapport au centre du décagone inscriptible, les cercles noirs sont centrés sur M, leurs rayons sont donnés dans l'énoncé.
4 points distincts L, J, E et H ne peuvent appartenir simultanément à 3 cercles (noir, cercle bleu de diamètre AB, rouge), que si MB vaut 327 cm.
MA = 17 cm. La position de M sur ce cercle n'a aucun effet sur les distances depuis M.
Les points A et B, situés à 17 cm et 327 cm de M, sont diamétralement opposés.
Le choix des autres points (10 parmi 20) est arbitraire à condition de respecter la symétrie du décagone.
