D292. Les distances manquantes
Problème proposé par Michel Lafond
Un décagone ayant un centre de symétrie est inscrit dans un cercle.
On mesure en centimètres les distances d’un point M de l’espace à sept sommets du décagone.
Ces distances, arrondies à l’entier le plus proche sont, par valeurs croissantes : 17, 83, 120, 178, 203, 305, 327.
Calculer à 1 cm près les distances de M aux trois autres sommets du décagone.
Solution proposée par Jean Nicot.
Soit O le centre du cercle( C) de rayon R, h la hauteur de M par rapport au plan du cercle, H la projection de M sur ce plan et a la distance OH.
O est le centre de symétrie du décagone et ses sommets sont 2 à 2 alignés avec O.
Parmi les sept sommets S1 à S7 dont les distances à M sont connues, il y a deux paires alignées avec O.
Soient S1 et S2 deux sommets alignés avec O. En notant l’angle de S1S2 avec OH, on a
MS1² = h²+a²+R²-2aR coset MS2² = h²+a²+R²+2aR cossoit MS1²+ MS2²=2( h²+a²+R²) = constante.
En calculant les 21 sommes M Si² + MSj², avec 0< i <j <8 , on doit en trouver deux à peu près égales.
17² +83² = 7178 17²+120² = 14689 83²+120² = 21289 17²+178² = 31973 83²+178² = 38573 17²+203² = 41498 120²+178² = 46084 83²+203² = 48098 120²+203² = 55609 178²+203² = 72893 17²+305² = 93314 83²+305² = 99914 17²+327² = 107218 #
120²+305² = 107425 # écart 2‰ 83²+327² = 113818
120²+327² = 121329 178²+305 ²= 124709 203²+305 ²= 134234 178²+327² = 138613 203²+327² = 148138 305²+327² = 199954
Ce sont 17²+327²= 107218 et 120²+305²=107425. On en déduit que 2(h²+a²+R²) est voisin de 107320.
On détermine alors la distance du sommet symétrique d’un sommet non déjà apparié.
107300 – 83² = 100431 = 316,90² arrondi à 317 107300 - 178² = 75636 = 275,02² arrondi à 275 107300 - 203² = 66111 = 257,12 arrondi à 257 Les distances manquantes sont donc 257, 275 et 317.
