§5.4 Injectivité, surjectivité, bijectivité
Définition.On dit qu’une application linéaire f :Rn→Rm est injectivesi deux vecteurs différents ont des images différents surjectiveSiIm(f) atteint tout l’espace d’arrivéeRm. bijective(ou bien un automorphisme) sin=met que f est inversible.
Théorème d’injectivité.f est injective ssi l’une des conditions est satisfaite :
1. Un vecteur~bquelconque de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent
2. Le vecteur~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent 3.Ker(f) =~0.
4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillelibre.
Soit f : R
n→ R
mune application linéaire.
Théorème d’injectivité.f est injective ssi l’une des conditions est satisfaite :
1. Un vecteur~bquelconque de l’espace d’arrivé a au plusun antécédent
2. Le vecteur~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent 3.Ker(f) =~0.
4. Toutecolonne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillelibre.
Théorème d’surjectivité.f est surjectivessi l’une des conditions est satisfaite :
1. Un vecteur~bquelconque de l’espace d’arrivé a au moinsun antécédent
2. Lerangdef est m. 3.Im(f) =Rm.
4. Touteligne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille génératrice.
Soit f : R
n→ R
mune application linéaire.
Théorème d’injectivité.f est injective ssi l’une des conditions est satisfaite :
1. Un vecteur~bquelconque de l’espace d’arrivé a au plusun antécédent
2. Le vecteur~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent 3.Ker(f) =~0.
4. Toutecolonne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillelibre.
Théorème d’surjectivité.f est surjectivessi l’une des conditions est satisfaite :
1. Un vecteur~bquelconque de l’espace d’arrivé a au moinsun antécédent
2. Lerangdef est m. 3.Im(f) =Rm.
4. Touteligne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille génératrice.
Soit f : R
n→ R
mune application linéaire.
Théorème d’injectivité.f est injective ssi l’une des conditions est satisfaite :
1. Un vecteur~bquelconque de l’espace d’arrivé a au plusun antécédent
2. Le vecteur~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent 3.Ker(f) =~0.
4. Toutecolonne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillelibre.
Théorème d’surjectivité.f est surjectivessi l’une des conditions est satisfaite :
1. Un vecteur~bquelconque de l’espace d’arrivé a au moinsun antécédent
2. Lerangdef est m.
3.Im(f) =Rm.
4. Touteligne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille génératrice.
Soit f : R
n→ R
mune application linéaire.
Théorème d’injectivité.f est injective ssi l’une des conditions est satisfaite :
1. Un vecteur~bquelconque de l’espace d’arrivé a au plusun antécédent
2. Le vecteur~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent 3.Ker(f) =~0.
4. Toutecolonne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillelibre.
Théorème d’surjectivité.f est surjectivessi l’une des conditions est satisfaite :
1. Un vecteur~bquelconque de l’espace d’arrivé a au moinsun antécédent
2. Lerangdef est m.
3.Im(f) =Rm.
4. Touteligne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille génératrice.
Soit f : R
n→ R
mune application linéaire.
Théorème d’injectivité.f est injective ssi l’une des conditions est satisfaite :
1. Un vecteur~bquelconque de l’espace d’arrivé a au plusun antécédent
2. Le vecteur~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent 3.Ker(f) =~0.
4. Toutecolonne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillelibre.
Théorème d’surjectivité.f est surjectivessi l’une des conditions est satisfaite :
1. Un vecteur~bquelconque de l’espace d’arrivé a au moinsun antécédent
2. Lerangdef est m.
3.Im(f) =Rm.
4. Touteligne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille génératrice.
Soit f : R
n→ R
mune application linéaire.
Théorème d’injectivité.f est injective ssi l’une des conditions est satisfaite :
1. Un vecteur~bquelconque de l’espace d’arrivé a au plusun antécédent
2. Le vecteur~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent 3.Ker(f) =~0.
4. Toutecolonne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillelibre.
Théorème d’surjectivité.f est surjectivessi l’une des conditions est satisfaite :
1. Un vecteur~bquelconque de l’espace d’arrivé a au moinsun antécédent
2. Lerangdef est m.
3.Im(f) =Rm.
4. Touteligne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille génératrice.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soitf :E →F une application linéaire, avec E,F des sev des Rk.
SoitU = (~u1,· · ·, ~un) une base deE, etV = (~v1,· · ·, ~vm)une base deF (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniques s’il y en a). DoncE =h~u1,· · ·, ~uni,F =h~v1,· · ·, ~vmi.
Alors l’applicationf est déterminée par son effet sur les~ui. On les exprime dans les coordonnées deV :
f(~u1) =a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1· · ·~vm)
a11
... am1
=V
a11
... am1
. f(~u2) =· · ·,f(~u3) =· · ·, · · ·,f(~un) =· · ·.
En les assemblant, on obtient : (f(~u1),· · · ,f(~um)) =V
a11 · · · a1m
... ...
an1 · · · anm
ou bien f(U) =VMU,V(f) .
Cette matrice est appelée la matrice def dans les basesU,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soitf :E →F une application linéaire, avec E,F des sev des Rk. SoitU = (~u1,· · · , ~un) une base deE, etV = (~v1,· · ·, ~vm)une base deF (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniques s’il y en a). DoncE =h~u1,· · ·, ~uni,F =h~v1,· · ·, ~vmi.
Alors l’applicationf est déterminée par son effet sur les~ui. On les exprime dans les coordonnées deV :
f(~u1) =a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1· · ·~vm)
a11
... am1
=V
a11
... am1
. f(~u2) =· · ·,f(~u3) =· · ·, · · ·,f(~un) =· · ·.
En les assemblant, on obtient : (f(~u1),· · · ,f(~um)) =V
a11 · · · a1m
... ...
an1 · · · anm
ou bien f(U) =VMU,V(f) .
Cette matrice est appelée la matrice def dans les basesU,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soitf :E →F une application linéaire, avec E,F des sev des Rk. SoitU = (~u1,· · · , ~un) une base deE, etV = (~v1,· · ·, ~vm)une base deF (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniques s’il y en a). DoncE =h~u1,· · ·, ~uni,F =h~v1,· · ·, ~vmi.
Alors l’applicationf est déterminée par son effet sur les~ui. On les exprime dans les coordonnées deV :
f(~u1) =
a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1· · ·~vm)
a11
... am1
=V
a11
... am1
. f(~u2) =· · ·,f(~u3) =· · ·, · · ·,f(~un) =· · ·.
En les assemblant, on obtient : (f(~u1),· · · ,f(~um)) =V
a11 · · · a1m
... ...
an1 · · · anm
ou bien f(U) =VMU,V(f) .
Cette matrice est appelée la matrice def dans les basesU,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soitf :E →F une application linéaire, avec E,F des sev des Rk. SoitU = (~u1,· · · , ~un) une base deE, etV = (~v1,· · ·, ~vm)une base deF (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniques s’il y en a). DoncE =h~u1,· · ·, ~uni,F =h~v1,· · ·, ~vmi.
Alors l’applicationf est déterminée par son effet sur les~ui. On les exprime dans les coordonnées deV :
f(~u1) =a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm=
(~v1· · ·~vm)
a11
... am1
=V
a11
... am1
. f(~u2) =· · ·,f(~u3) =· · ·, · · ·,f(~un) =· · ·.
En les assemblant, on obtient : (f(~u1),· · · ,f(~um)) =V
a11 · · · a1m
... ...
an1 · · · anm
ou bien f(U) =VMU,V(f) .
Cette matrice est appelée la matrice def dans les basesU,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soitf :E →F une application linéaire, avec E,F des sev des Rk. SoitU = (~u1,· · · , ~un) une base deE, etV = (~v1,· · ·, ~vm)une base deF (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniques s’il y en a). DoncE =h~u1,· · ·, ~uni,F =h~v1,· · ·, ~vmi.
Alors l’applicationf est déterminée par son effet sur les~ui. On les exprime dans les coordonnées deV :
f(~u1) =a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm= (~v1· · ·~vm)
a11
... am1
=
V
a11
... am1
. f(~u2) =· · ·,f(~u3) =· · ·, · · ·,f(~un) =· · ·.
En les assemblant, on obtient : (f(~u1),· · · ,f(~um)) =V
a11 · · · a1m
... ...
an1 · · · anm
ou bien f(U) =VMU,V(f) .
Cette matrice est appelée la matrice def dans les basesU,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soitf :E →F une application linéaire, avec E,F des sev des Rk. SoitU = (~u1,· · · , ~un) une base deE, etV = (~v1,· · ·, ~vm)une base deF (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniques s’il y en a). DoncE =h~u1,· · ·, ~uni,F =h~v1,· · ·, ~vmi.
Alors l’applicationf est déterminée par son effet sur les~ui. On les exprime dans les coordonnées deV :
f(~u1) =a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm= (~v1· · ·~vm)
a11
... am1
=V
a11
... am1
.
f(~u2) =· · ·,f(~u3) =· · ·, · · ·,f(~un) =· · ·. En les assemblant, on obtient :
(f(~u1),· · · ,f(~um)) =V
a11 · · · a1m
... ...
an1 · · · anm
ou bien f(U) =VMU,V(f) .
Cette matrice est appelée la matrice def dans les basesU,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soitf :E →F une application linéaire, avec E,F des sev des Rk. SoitU = (~u1,· · · , ~un) une base deE, etV = (~v1,· · ·, ~vm)une base deF (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniques s’il y en a). DoncE =h~u1,· · ·, ~uni,F =h~v1,· · ·, ~vmi.
Alors l’applicationf est déterminée par son effet sur les~ui. On les exprime dans les coordonnées deV :
f(~u1) =a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm= (~v1· · ·~vm)
a11
... am1
=V
a11
... am1
. f(~u2) =· · ·,f(~u3) =· · ·, · · ·,f(~un) =· · ·.
En les assemblant, on obtient : (f(~u1),· · · ,f(~um)) =V
a11 · · · a1m
... ...
an1 · · · anm
ou bien f(U) =VMU,V(f) .
Cette matrice est appelée la matrice def dans les basesU,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soitf :E →F une application linéaire, avec E,F des sev des Rk. SoitU = (~u1,· · · , ~un) une base deE, etV = (~v1,· · ·, ~vm)une base deF (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniques s’il y en a). DoncE =h~u1,· · ·, ~uni,F =h~v1,· · ·, ~vmi.
Alors l’applicationf est déterminée par son effet sur les~ui. On les exprime dans les coordonnées deV :
f(~u1) =a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm= (~v1· · ·~vm)
a11
... am1
=V
a11
... am1
. f(~u2) =· · ·,f(~u3) =· · ·, · · ·,f(~un) =· · ·.
En les assemblant, on obtient
: (f(~u1),· · · ,f(~um)) =V
a11 · · · a1m
... ...
an1 · · · anm
ou bien f(U) =VMU,V(f) .
Cette matrice est appelée la matrice def dans les basesU,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soitf :E →F une application linéaire, avec E,F des sev des Rk. SoitU = (~u1,· · · , ~un) une base deE, etV = (~v1,· · ·, ~vm)une base deF (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniques s’il y en a). DoncE =h~u1,· · ·, ~uni,F =h~v1,· · ·, ~vmi.
Alors l’applicationf est déterminée par son effet sur les~ui. On les exprime dans les coordonnées deV :
f(~u1) =a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm= (~v1· · ·~vm)
a11
... am1
=V
a11
... am1
. f(~u2) =· · ·,f(~u3) =· · ·, · · ·,f(~un) =· · ·.
En les assemblant, on obtient : (f(~u1),· · · ,f(~um)) =
V
a11 · · · a1m
... ...
an1 · · · anm
ou bien f(U) =VMU,V(f) .
Cette matrice est appelée la matrice def dans les basesU,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soitf :E →F une application linéaire, avec E,F des sev des Rk. SoitU = (~u1,· · · , ~un) une base deE, etV = (~v1,· · ·, ~vm)une base deF (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniques s’il y en a). DoncE =h~u1,· · ·, ~uni,F =h~v1,· · ·, ~vmi.
Alors l’applicationf est déterminée par son effet sur les~ui. On les exprime dans les coordonnées deV :
f(~u1) =a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm= (~v1· · ·~vm)
a11
... am1
=V
a11
... am1
. f(~u2) =· · ·,f(~u3) =· · ·, · · ·,f(~un) =· · ·.
En les assemblant, on obtient : (f(~u1),· · · ,f(~um)) =V
a11 · · · a1m
... ...
an1 · · · anm
ou bien f(U) =VMU,V(f) .
Cette matrice est appelée la matrice def dans les basesU,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soitf :E →F une application linéaire, avec E,F des sev des Rk. SoitU = (~u1,· · · , ~un) une base deE, etV = (~v1,· · ·, ~vm)une base deF (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniques s’il y en a). DoncE =h~u1,· · ·, ~uni,F =h~v1,· · ·, ~vmi.
Alors l’applicationf est déterminée par son effet sur les~ui. On les exprime dans les coordonnées deV :
f(~u1) =a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm= (~v1· · ·~vm)
a11
... am1
=V
a11
... am1
. f(~u2) =· · ·,f(~u3) =· · ·, · · ·,f(~un) =· · ·.
En les assemblant, on obtient : (f(~u1),· · · ,f(~um)) =V
a11 · · · a1m
... ...
an1 · · · anm
ou bien f(U) =VMU,V(f) .
Cette matrice est appelée la matrice def dans les basesU,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sev
Soitf :E →F une application linéaire, avec E,F des sev des Rk. SoitU = (~u1,· · · , ~un) une base deE, etV = (~v1,· · ·, ~vm)une base deF (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniques s’il y en a). DoncE =h~u1,· · ·, ~uni,F =h~v1,· · ·, ~vmi.
Alors l’applicationf est déterminée par son effet sur les~ui. On les exprime dans les coordonnées deV :
f(~u1) =a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm= (~v1· · ·~vm)
a11
... am1
=V
a11
... am1
. f(~u2) =· · ·,f(~u3) =· · ·, · · ·,f(~un) =· · ·.
En les assemblant, on obtient : (f(~u1),· · · ,f(~um)) =V
a11 · · · a1m
... ...
an1 · · · anm
ou bien f(U) =VMU,V(f) .
Cette matrice est appelée la matrice def dans les basesU,V.
Exemples et exercices
La matrice d’une application linéairef qu’on avait calculé avant est tout simplement la matrice def dans la base canonique.
(1)f x
y
= x
x +y
. Notons E la base canonique de R2. Alors ME,E(f) =??.
(2) Soitf :R2 →R2 linéaire telle que f(~e1) =−~e2 et f(~e2) =~e1+2~e2. Déterminer la matrice def ainsi que f
1 1
. (3) Soitf :R2 →R2 la projection orthogonale vers la droite x−y =0. Représenter graphiquement l’application. Déterminer f(~e1) puisf(~e2). Déterminer la matrice def puisf
−3 1
. (4) Même exercice avecf la réflexion orthogonale par rapport à la droitex−y =0.
(5) Même exercice pour la rotation d’angleπ/4.
§5.6. Composition
Lorsqu’on compose des applications linéaires E −→f F −→g G
de base BE BF BG
Quelle est la matrice de la compositiong◦f ?
Théorème de composition. La matrice de g ◦f est le produit matriciellede la matrice de g avec celle de f.
Preuve. Nous cherchons une matriceM telle queg◦f(BE) =BGM.
g◦f(BE) =g(f(BE)) =g(BFM(f)) =g(BF)M(f) BGM(g)
M(f) =BG
M(g)· M(f) .
DoncM =M(g)· M(f). Exemple. Soient f
x y
=
x+y y
,g
x y
= y
x
. Calculer g◦f etf ◦g.
§5.6. Composition
Lorsqu’on compose des applications linéaires E −→f F −→g G
de base BE BF BG
Quelle est la matrice de la compositiong◦f ?
Théorème de composition. La matrice de g ◦f est le produit matriciellede la matrice de g avec celle de f.
Preuve. Nous cherchons une matriceM telle queg◦f(BE) =BGM.
g◦f(BE) =g(f(BE)) =g(BFM(f)) =g(BF)M(f) BGM(g)
M(f) =BG
M(g)· M(f) . DoncM =M(g)· M(f).
Exemple. Soient f x
y
=
x+y y
,g
x y
= y
x
. Calculer g◦f etf ◦g.
§5.6. Composition
Lorsqu’on compose des applications linéaires E −→f F −→g G
de base BE BF BG
Quelle est la matrice de la compositiong◦f ?
Théorème de composition. La matrice de g ◦f est le produit matriciellede la matrice de g avec celle de f.
Preuve. Nous cherchons une matriceM telle queg◦f(BE) =BGM.
g◦f(BE) =g(f(BE)) =g(BFM(f)) =g(BF)M(f) BGM(g)
M(f) =BG
M(g)· M(f) .
DoncM =M(g)· M(f).
Exemple. Soient f x
y
=
x+y y
,g
x y
= y
x
. Calculer g◦f etf ◦g.
§6. Déterminant d’une matrice carrée
§6.1. Cas d’une matrice 2×2.
Définition. det a b
c d
2èmeécriture
=
a b c d
définition
= ad −bc.
Exemples.
2 1 1 3
=??,
4 1
−1 3
=??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elle existe) et résoudre un système sans faire des échelonnements... Exemple.
2 1 1 3
x y
= 4
−1
a comme solution
x =
4 1
−1 3
2 1 1 3
= 13
5 , y =
2 4
1 −1
2 1 1 3
=−6 5
§6. Déterminant d’une matrice carrée
§6.1. Cas d’une matrice 2×2.
Définition. det a b
c d
2èmeécriture
=
a b c d
définition
=
ad −bc.
Exemples.
2 1 1 3
=??,
4 1
−1 3
=??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elle existe) et résoudre un système sans faire des échelonnements... Exemple.
2 1 1 3
x y
= 4
−1
a comme solution
x =
4 1
−1 3
2 1 1 3
= 13
5 , y =
2 4
1 −1
2 1 1 3
=−6 5
§6. Déterminant d’une matrice carrée
§6.1. Cas d’une matrice 2×2.
Définition. det a b
c d
2èmeécriture
=
a b c d
définition
= ad −bc.
Exemples.
2 1 1 3
=??,
4 1
−1 3
=??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elle existe) et résoudre un système sans faire des échelonnements... Exemple.
2 1 1 3
x y
= 4
−1
a comme solution
x =
4 1
−1 3
2 1 1 3
= 13
5 , y =
2 4
1 −1
2 1 1 3
=−6 5
§6. Déterminant d’une matrice carrée
§6.1. Cas d’une matrice 2×2.
Définition. det a b
c d
2èmeécriture
=
a b c d
définition
= ad −bc.
Exemples.
2 1 1 3
=??,
4 1
−1 3
=??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elle existe) et résoudre un système sans faire des échelonnements... Exemple.
2 1 1 3
x y
= 4
−1
a comme solution
x =
4 1
−1 3
2 1 1 3
= 13
5 , y =
2 4
1 −1
2 1 1 3
=−6 5
§6. Déterminant d’une matrice carrée
§6.1. Cas d’une matrice 2×2.
Définition. det a b
c d
2èmeécriture
=
a b c d
définition
= ad −bc.
Exemples.
2 1 1 3
=??,
4 1
−1 3
=??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elle existe) et résoudre un système sans faire des échelonnements...
Exemple. 2 1
1 3 x y
= 4
−1
a comme solution
x =
4 1
−1 3
2 1 1 3
= 13
5 , y =
2 4
1 −1
2 1 1 3
=−6 5
§6. Déterminant d’une matrice carrée
§6.1. Cas d’une matrice 2×2.
Définition. det a b
c d
2èmeécriture
=
a b c d
définition
= ad −bc.
Exemples.
2 1 1 3
=??,
4 1
−1 3
=??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elle existe) et résoudre un système sans faire des échelonnements...
Exemple.
2 1 1 3
x y
= 4
−1
a comme solution
x =
4 1
−1 3
2 1 1 3
= 13
5 , y =
2 4
1 −1
2 1 1 3
=−6 5
§6. Déterminant d’une matrice carrée
§6.1. Cas d’une matrice 2×2.
Définition. det a b
c d
2èmeécriture
=
a b c d
définition
= ad −bc.
Exemples.
2 1 1 3
=??,
4 1
−1 3
=??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elle existe) et résoudre un système sans faire des échelonnements...
Exemple.
2 1 1 3
x y
= 4
−1
a comme solution
x =
4 1
−1 3
2 1 1 3
=
13
5 , y =
2 4
1 −1
2 1 1 3
=−6 5
§6. Déterminant d’une matrice carrée
§6.1. Cas d’une matrice 2×2.
Définition. det a b
c d
2èmeécriture
=
a b c d
définition
= ad −bc.
Exemples.
2 1 1 3
=??,
4 1
−1 3
=??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elle existe) et résoudre un système sans faire des échelonnements...
Exemple.
2 1 1 3
x y
= 4
−1
a comme solution
x =
4 1
−1 3
2 1 1 3
= 13
5 , y =
2 4
1 −1
2 1 1 3
=−6 5
§6. Déterminant d’une matrice carrée
§6.1. Cas d’une matrice 2×2.
Définition. det a b
c d
2èmeécriture
=
a b c d
définition
= ad −bc.
Exemples.
2 1 1 3
=??,
4 1
−1 3
=??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elle existe) et résoudre un système sans faire des échelonnements...
Exemple.
2 1 1 3
x y
= 4
−1
a comme solution
x =
4 1
−1 3
2 1 1 3
= 13
5 , y =
2 4
1 −1
2 1 1 3
=−6 5
Résoudre 2 1
1 1 x y
= 4
−1
, puis a b
c d x y
= s
t
Théorème de matrice inverse.
a b c d
−1
= 1
a b c d
d −b
−c a
.
Preuve. Il suffit de multiplier... . Exemple.
2 0 1 3
−1
= 2 −1
1 1
−1
= 2 1
4 2 −1
=
Résoudre 2 1
1 1 x y
= 4
−1
, puis a b
c d x y
= s
t
Théorème de matrice inverse.
a b c d
−1
= 1
a b c d
d −b
−c a
.
Preuve. Il suffit de multiplier... . Exemple.
2 0 1 3
−1
= 2 −1
1 1
−1
= 2 1
4 2 −1
=
Résoudre 2 1
1 1 x y
= 4
−1
, puis a b
c d x y
= s
t
Théorème de matrice inverse.
a b c d
−1
= 1
a b c d
d −b
−c a
.
Preuve. Il suffit de multiplier... .
Exemple.
2 0 1 3
−1
= 2 −1
1 1
−1
= 2 1
4 2 −1
=
Résoudre 2 1
1 1 x y
= 4
−1
, puis a b
c d x y
= s
t
Théorème de matrice inverse.
a b c d
−1
= 1
a b c d
d −b
−c a
.
Preuve. Il suffit de multiplier... . Exemple.
2 0 1 3
−1
= 2 −1
1 1
−1
= 2 1
4 2 −1
=
