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1 Divers modes de convergence

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Dans ce chapitre, E d´esigne un K espace vectoriel (K = R ou C) de dimension finie, muni d’une normek.k, X d´esigne un ensemble non vide.

1 Divers modes de convergence

1.1 Convergence simple

D´efinition 1 Soient(fn)n∈N une suite d’applications de X dans E et f une application de X dans E. On dit que (fn)n∈N converge simplement vers f sur X si pour tout x dans X,(fn(x))n∈Nconverge vers f(x) dans E. Autrement dit :

∀x∈X, ∀ε >0, ∃n0∈N, ∀n∈N, n>n0 ⇒ kfn(x)−f(x)k< ε.

1.2 Convergence uniforme

D´efinition 2 Soient(fn)n∈N une suite d’applications de X dans E et f une application de X dans E. On dit que (fn)n∈N converge uniform´ement vers f sur X si :

∀ε >0, ∃n0 ∈N, ∀n∈N, ∀x∈X, n>n0 ⇒ kfn(x)−f(x)k< ε.

Cons´equence : (fn)n∈N converge uniform´ement versf si et seulement si kfn−fk−−−−−→

n→+∞ 0 (on rappelle que kfn−fk= sup

x∈Xkfn(x)−f(x)k).

1.3 Convergence en moyenne

D´efinition 3 Notons C([a, b],K) l’ensemble des fonctions continues sur [a, b] (a, b ∈ R, a < b) `a valeurs dans K. On rappelle qu’on d´efinit une norme k.k1 par :

kfk1 = Z b

a |f(x)|dx.

Soient (fn)n∈N une suite d’applications deC([a, b],K) et f une application de C([a, b],K). on dit que (fn)n∈N converge en moyenne vers f sikfn−fk1 −−−−−→

n→+∞ 0, c’est-`a-dire si : Z b

a |fn(x)−f(x)|dx−−−−−→n→+∞ 0.

(2)

1.4 Convergence en moyenne quadratique

D´efinition 4 En gardant les notations de la d´efinition 3, on rappelle qu’on d´efinit une norme k.k2

par :

kfk2 = Z b

a |f(x)|2dx 1/2

.

On dit que(fn)n∈N converge en moyenne quadratique vers f sikfn−fk2−−−−−→

n→+∞ 0, c’est-`a-dire si : Z b

a |fn(x)−f(x)|2dx 1/2

−−−−−→n→+∞ 0.

2 Comparaison des divers modes de convergence

2.1 Comparaison

Proposition 1 Soit f ∈ C([a, b],K). Alors : kfk1 6√

b−akfk2, kfk2 6√

b−akfk, kfk1 6(b−a)kfk

o`ukfk= sup

x∈[a,b]|f x)|2.

Preuve - Par d´efinition de la normek.k2, on a : kfk21 =

Z b

a |f(x)|dx 2

= Z b

a |(1×f)(x)|dx 2

.

En appliquant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on obtient : kfk216

Z b a

12dx Z b

a |f(x)|2dx

. Par cons´equent, on a :

kfk216(b−a)kfk22. Donc :

kfk1 6√

b−akfk2.

Sachant que pour tout x∈[a, b], |f(x)|6kfk, on a : kfk22 =

Z b

a |f(x)|2dx6 Z b

a kfkdx.

On en d´eduit :

kfk22 6(b−a)kfk2

(3)

De mˆeme :

kfk1= Z b

a |f(x)|dx6 Z b

a kfkdx.

Par cons´equent :

kfk16(b−a)kfk.

2

Cons´equences : Soient (fn)n∈N une suite de C([a, b];K) et f ∈ C([a, b];R). Si (fn)n∈N converge uniform´ement vers f sur [a, b], alors (fn)n∈N converge en moyenne quadratique vers f. Si (fn)n∈N

converge en moyenne quadratique sur [a, b], alors (fn)n∈N converge en moyenne versf. Ces propri´et´es d´ecoulent de la proposition pr´ec´edente car :

kfn−fk−−−−−→n→+∞ 0

kfn−fk2 −−−−−→n→+∞ 0

kfn−fk1−−−−−→n→+∞ 0

.

Proposition 2 Soient(fn)n∈Nune suite d’applications de X dans E et f une application de X dans E. Si (fn)n∈N converge uniform´ement vers f, alors (fn)n∈N converge simplement vers f.

Preuve - d´ecoule des d´efinitions 1 et 2. 2

2.2 Exemple

Soit (fn)n∈N la suite de fonctions d´efinie sur Rparfn(x) = 1+nnx2x2.

f est impaire.

Six= 0, fn(x) = 0 donc fn(0)−−−→n→∞ 0.

Six6= 0, fn(x) ∼

n+

1

nx doncfn(x)−−−−−→n→+∞ 0.

Donc (fn)n∈N est une suite de fonctions convergeant simplement vers la fonction nulle sur R. Pour tout n∈N,fn est d´erivable surR et on a :

∀x∈R, fn(x) = n(1−n2x2) (1 +n2x2)2 fn(x)>0⇔x∈

−1 n;1

n

(4)

fn est donc croissante sur

1n;n1

, d´ecroissante sur

−∞;−n1

et sur1

n; +∞ . fn1n

=−12 et fn n1

= 12. On en d´eduit le tableau de variations :

x −∞ −n1 n1 +∞

0 12

fn ց ր ց

12 0

sup

x∈R|fn(x)|= 12 donc (fn)n∈N ne converge pas uniform´ement surR vers la fonction nulle.

Soit a>0. Il existen0∈Ntel que pour tout entiern>n0, n1 < a.

Pour n>n0 etx∈Rtel que|x|> a, on a donc (d’apr`es le tableau de variations) : sup

|x|>a|fn(x)|=|fn(a)|= na 1 +n2a2. Comme 1+nna2a2

n+

1

na, on en d´eduit : sup

|x|>a|fn(x)| −−−−−→

n→+∞ 0. Par cons´equent, (fn)n∈N converge uniform´ement vers la fonction nulle sur tout ]− ∞;−a]∪[a; +∞[, aveca >0.

3 Applications

3.1 Approximation par des fonctions en escalier

Th´eor`eme 1 Soienta, b∈R, a < b. Soit f une fonction d´efinie sur[a, b]`a valeurs dans E, continue par morceaux. Il existe une suite (fn)n∈N d’applications en escalier d´efinies sur[a, b]`a valeurs dans E, convergeant uniform´ement vers f sur [a, b].

(5)

donc :

∃η >0, ∀x, x∈[a, b], |x−x|< η ⇒

f(x)−f(x) < 1

n

Il existe N ∈N tel que b−an < η. On d´efinit une suite d’applications en escalier sur la subdivision r´eguli`ere

a+kb−aN ;a+ (k+ 1)b−aN

k∈{0,···,N−1} par : ( ∀k∈ {0,· · · , N−1}, ∀x∈

a+kb−aN ;a+ (k+ 1)b−aN

, fn(x) =f a+kb−an fn(b) =f(b)

Il reste `a d´emontrer que (fn)n∈N converge uniform´ement vers f sur [a, b]. Soit x ∈ [a, b[. Il existe k∈ {0,· · · , N−1} tel quex∈

a+kb−an ;a+ (k+ 1)b−an

. Alors :

|fn(x)−f(x)|= f

a+kb−a n

−f(x)

< 1 n car

a+kb−a n −x

< η

Comme|fn(b)−f(b)|= 0< 1n, on a :

∀x∈[a, b], |fn(x)−f(x)|< 1 n Donc kfn−fk < n1, donc kfn−fk −−−−−→

n→+∞ 0 donc (fn)n∈N converge uniform´ement vers f sur [a, b].

Supposons maintenant que f soit continue par morceaux. Il existe p ∈ N, (a0,· · · , ap) ∈ Rn+1 tels que :

a=a0 < ... < ap =b

∀i∈ {0,· · ·, p−1}, f|]

ai,ai+1[ est prolongeable en une fonction fi continue sur [ai, ai+1] D’apr`es la premi`ere partie de la d´emonstration, pour tout i ∈ {0,· · ·, p−1}, il existe une suite (fi,n)n∈Nd’applications en escalier convergeant uniform´ement sur [ai, ai+1] versfi. On d´efinit alors une suite (fn)n∈N d’applications en escalier par :

( ∀i∈ {0,· · ·, p−1}, ∀x∈]ai, ai+1[, fn(x) =fi,n(x)

∀i∈ {0,· · ·, p}, fn(ai) =f(ai) On a alors, pour tout entier n:

kf−fnk6 max

06i6p−1kfi−fi,nk

Comme pour touti∈ {0,· · ·, p−1},kfi−fi,nk−−−−−→n→+∞ 0, on en d´eduit : kf−fnk−−−−−→n→+∞ 0

(fn)n∈Nconverge donc uniform´ement vers f sur [a, b]. 2

(6)

3.2 Approximation des fonctions 2π p´eriodiques

Th´eor`eme 2 Th´eor`eme de Weierstrass

Pour toute application f de R dans C continue et 2π p´eriodique, il existe une suite (fn)n∈N de polynˆomes trigonom´etriques complexes convergeant uniform´ement vers f surR.

Preuve - Soit T l’ensemble des polynˆomes trigonom´etriques complexes, c’est-`a-dire l’ensemble des applicationsg de Rdans Ctelle qu’il existeN ∈Net (cn)−N6n6N ∈C2N+1 tels que :

∀t∈R, g(t) =

N

X

k=−N

ckeikt.

Soitfune application continue deRdansCet 2πp´eriodique. Pourn∈N, notonsIn=Rπ

−πcos2n 2t dt etφn l’application d´efinie sur R, `a valeurs dansC, par φn(t) = I1

ncos2n 2t

. La d´efinition de In ne pose pas de probl`eme cart7→cos2n t2

est une fonction continue sur [−π;π] donc int´egrable sur cet intervalle.t7→cos2n 2t

est une fonction paire, non identiquement null´ee sur [−π;π] doncIn>0 et φn est bien d´efinie. Pour tout entier natureln,φnest paire, 2π p´eriodique, continue sur Ret on a :

Z π

−π

φn(t)dt= 1.

Soit (fn)n∈N la suite d’applications de RdansCd´efinie par :

∀n∈N, ∀t∈R, fn(t) = Z π

−π

f(u)φn(t−u)du.

(fn)n∈Nest bien d´efinie caru7→f(u)φn(t−u) est continue surR. Montrons que pour toutn∈N,fn∈T. On a en fait :

∀n∈N, ∀x∈R, cos2nx∈T.

En effet :

cos2nx = 212n e−ix+eix2n

= 212n

P2n k=0

C2nk e−ikxei(2n−k)x

= 212n P2n

k=0

C2nk e2i(n−k)x

= 212n Pn

p=−n

C2nn−pe2ipx changement d’indice p=n−k donc cos2nx∈T. Par cons´equent,φn∈T et donc :

∀n∈N, ∃(cn,k)−2n6k62n∈C4n+1, φn(t) =

2n

X

k=−2n

cn,keikt.

Alors :

(7)

Donc fn∈T, pour toutn∈N.

Il reste `a montrer que (fn)n∈N converge uniform´ement vers f sur R. Soient n∈N, t∈R. Soient n ∈ N, t ∈ R. En effectuant le changement de variable v = t−u, puis en utilisant le fait que v7→f(t−v)φn(v) est 2π p´eriodique, on obtient successivement :

fn(t) = Z π

−π

f(u)φn(t−u)du= Z t+π

t−π

f(t−v)φn(v)dv = Z π

−π

f(t−v)φn(v)dv.

Pour tout(n, t)∈N×R, et sachant que Rπ

−πf(t)φn(v)dv=f(t) :

|fn(t)−f(t)|=

Z π

−π

(f(t−v)−f(t))φn(v)dv

6 Z π

−π|f(t−v)−f(t)|φn(v)dv.

Soit ε >0.f est continue surRdonc sur [0; 2π]. D’apr`es le th´eor`eme de Heine,f est uniform´ement continue sur [0; 2π]. f ´etant 2π p´eriodique, on en d´eduit que f est uniform´ement continue sur R donc :

∃η >0, ∀x, y∈R, |x−y|< η⇒ |f(x)−f(y)|< ε 2.

On peut supposer η < π (sinon, on choisit η <min(η, π) pour la suite). f est continue sur [0; 2π]

doncf est born´ee sur [0; 2π].f ´etant 2π p´eriodique, il en r´esulte quef est born´ee sur Rdonc :

∃M ∈R+, ∀x∈R, |f(x)|6M.

On a alors :

∀n∈N, ∀t∈R, Z η

−η|f(t−v)−f(t)|φn(v)dv 6 ε 2

Z η

−η

φn(v)dv 6 ε 2

Z π

−π

φn(v)dv c’est-`a-dire

∀n∈N, ∀t∈R, Z η

−η|f(t−v)−f(t)|φn(v)dv 6 ε 2. Par ailleurs,

R−η

−π |f(t−v)−f(t)|φn(v)dv+Rπ

η |f(t−v)−f(t)|φn(v)dv 6 2MR−η

−π φn(v)dv+ 2MRπ

η φn(v)dv 6 4MRπ

η φn(v)dv 6 4MI

n cos2 η2

(π−η).

Pour n∈N:

In= Z π

−π

cos2n t 2dt>

Z π

−π

cos2n+1 t 2dt et

Rπ

−πcos2n+12tdt = Rπ

−πcos2n t2cos2tdt

= 2R1

−1(1−u2)ndu(changement de variable u= sin2t)

= 4R1

0(1−u2)ndu caru7→(1−u2)n est paire

> 4R1

0(1−u)ndu= n+14 .

(8)

Donc pour tout n∈N,In6 n+1

4 et donc : Z −η

−π |f(t−v)−f(t)|φn(v)dv+ Z π

η |f(t−v)−f(t)|φn(v)dv6M(n+ 1) cos2nη 2

(π−η)−−−−−→n→+∞ 0.

Par cons´equent, il existe n0 ∈Ntel que :

∀n>n0,

Z −η

−π |f(t−v)−f(t)|φn(v)dv+ Z π

η |f(t−v)−f(t)|φn(v)dv < ε 2. Finalement, on a montr´e :

∀ε >0, ∃n0∈N, ∀n∈N, ∀t∈R, n>n0 ⇒ |fn(t)−f(t)|< ε.

(fn)n∈Nconverge donc uniform´ement vers f surR. 2

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