Feuille d’exercices n

M2 “Analyse avanc´ee”

Feuille d’exercices n

3

(espaces vectoriels topologiques)

Exercice 1. Soit pG,¨ q un groupe topologique. Montrer que si H ĎG est un sous- groupe ouvert, alors H est ´egalement ferm´e dans G.

Exercice 2. Soit H un espace de Hilbert s´eparable. On note UpHq l’ensemble de tous les op´erateurs unitaires U : H Ñ H. Alors UpHq est ´evidemment un groupe (pour la composition). On munit UpHqde la topologie SOT. Le but de l’exercice est de montrer que UpHqest un groupe topologique polonais.

(1) SoitD“ tz_n;nP Nuun ensemble d´enombrable dense dans la sph`ere unit´e de H. Montrer que pour tout U PBLpHq, on a les ´equivalences suivantes :

U PUpHq ðñ @n PN : }U z_n} “1 et }U^˚z_n} “1 ðñ @n PN@kP N^˚ :

ˆ

}U z_n} ą1´ 1

k et Dm : xU z_m, z_ny ą1´ 1 k

˙ .

En d´eduire que UpHqest un espace polonais. (On rappelle que pB_LpHq,SOTq est polonais.)

(2) Montrer que l’application pU, Vq ÞÑ U V est continue de UpHq ˆUpHq dans UpHq.

(3) Soit pU_pqune suite d’´el´ements deUpHq telle que U_p Ý^SOTÝÑU PUpHq. (a) Montrer que @xPH : xU_p^˚x, U^˚xy Ñ }x}².

(b) En d´eduire queU_p^˚ Ý^SOTÝÑU^˚. (4) Conclure.

Exercice 3. Soit X un espace vectoriel topologique. Montrer que pour tout a P X et pour tout ouvert U tel que aP U, on peut trouver un ouvertU¹ tel que a PU¹ et U¹ ĎU.

Exercice 4. SoitX un espace vectoriel topologique. Montrer que siF ĎXest ferm´e et si K ĎX est compact, alors l’ensemble F `K est un ferm´e de X.

1

Exercice 5. Soit X un evt. Montrer que si A, B ĎX, alors A`B ĎA`B.

Exercice 6. Soit I un ensemble quelconque, et soit FpIq l’espace de toutes les fonctions f : I Ñ C, muni de la topologie de la convergence simple. D´eterminer toutes les formes lin´eaires continues surFpIq.

Exercice 7. (dual de c₀)

Dans cet exercice, on d´etermine le dual de l’espace de Banachc₀ “c₀pNq. On notera pe_nqnPN la “base canonique” de c₀.

(1) Montrer que si a P `¹pNq, alors la formule φ_apxq :“ ř8

n“0a_nx_n d´efinit une forme lin´eaire continue sur c₀, et qu’on a }φ_a} “ }a}₁.

(2) Soit φ : c₀ Ñ K une forme lin´eaire continue sur c₀. Pour n P N, on pose a_n:“φpe_nq. Montrer que sixPc₀, alorsφpxq “ř8

0 a_nx_n, o`u la s´erie converge dans K. Montrer ensuite qu’on ařN

n“0|a_n| ď }φ} pour toutN PN. (3) Montrer que c^˚₀ s’identifie isom´etriquement `a `¹.

Exercice 8. (dual de `^p, 1ďpă 8)

Soit pP r1,8r, et soitq l’exposant conjugu´e. En proc´edant comme dans l’exercice7, montrer que le dual de`<sup>p</sup> “`^ppNq s’identifie isom´etriquement `a `^q.

Exercice 9. (d´ecomposition de Riesz)

SoitX un espace vectoriel norm´e r´eel, et soientp₁, . . . , p_n:X ÑRdes fonctionnelles sous-lin´eaires. Soit ´egalementL:X ÑR une forme lin´eaire. On suppose qu’on a

@xPX : Lpxq ď

n

ÿ

k“1

p_kpxq.

Montrer qu’il existe des formes lin´eaires L₁, . . . L_n:X ÑR telles que L“

n

ÿ

k“1

L_k et @k : L_k ďp_k.

(On pourra consid´erer E :“ tpx, . . . , xq; x P Xu ĎXⁿ et la fonction p :Xⁿ Ñ R d´efinie par ppx₁, . . . , x_nq:“ř_n

k“1p_kpx_kq.)

Exercice 10. On dit qu’une forme lin´eaire L : Cpr0,1s,Rq Ñ R est positive si on a Lpfq ě 0 pour toute f ě 0. Montrer que toute forme lin´eaire continue L sur Cpr0,1s,Rqpeut s’´ecrire L“L₁´L₂ o`uL₁ etL₂ sont des formes lin´eaires positives.

(Utiliser l’Exercice 9 avec p₁pfq:“ }f^`}8 et p₂pfq:“ }f^´}8.)

Exercice 11. Soit H un espace de Hilbert, et soit E Ď H un sous-espace ferm´e.

Montrer que siϕPE^˚, alors alors ϕposs`ede une unique extension de Hahn-Banach ΦPH^˚, et donner une formule pour Φ.

Exercice 12. Montrer que siϕP`

c0pNq˘˚

, alorsϕposs`ede une unique extension de Hahn-Banach ΦP`

`⁸pNq˘˚

.

Exercice 13. Soit E :“ txP `<sup>1</sup>pNq; x2i “0 pour toutiPNu Ď`¹pNq. Montrer que si ϕPE^˚ et ϕ‰0, alorsϕ poss`ede une infinit´e d’extensions de Hahn-Banach.

Exercice 14. Soit I un ensemble non vide, et soit `<sup>8</sup>pIq l’espace de toutes les fonctions born´eesf : I ÑR, muni de la norme } ¨ }8. Soit ´egalement X un espace vectoriel norm´e r´eel, et soit E un sous-espace vectoriel de X. Montrer que toute application lin´eaire continue T :E Ñ `⁸pIq se prolonge en une application lin´eaire continue Tr:X Ñ`⁸pIqv´erifiant }Tr} “ }T}.

Exercice 15. SoitXun espace vectoriel norm´e et soitE un sous-espace ferm´e deX.

Montrer que pour tout point x PXzE, on peut trouver x^˚ P X^˚ telle que }x^˚} “ 1, x^˚ ”0 sur E et xx^˚, xy “distpx, Eq.

Exercice 16. Soient X un espace vectoriel norm´e,ra, bs un intervalle compact deR etf :ra, bs ÑX une fonction continue surra, bset d´erivable sursa, br. Montrer qu’il existecP sa, br tel que }fpbq ´fpaq} ď }f¹pcq} pb´aq.

Exercice 17. Soit X un espace de Banach s´eparable. Montrer qu’il existe un en- semble d´enombrable DĎX^˚ qui s´epare les points de X.

Exercice 18. (Th´eor`eme de Liouville vectoriel)

Soit X un espace de Banach complexe. Si Ω est un ouvert de C, on dit qu’une fonction f : Ω Ñ X est holomorphe si elle est C- d´erivable en tout point. Montrer que si f :CÑX est homomorphe et born´ee, alorsf est constante.

Exercice 19. Soit X un espace vectoriel norm´e r´eel. Pour tout xPX, on pose Jpxq:“ x^˚ PX^˚; }x^˚} “ }x}etxx^˚, xy “ }x}²(

.

(1) Montrer que dans la d´efinition de Jpxq, on peut remplacer “}x^˚} “ }x}” par

“}x^˚} ď }x}”.

(2) Montrer que Jpxqest une partie non-vide, convexe et ferm´ee de X^˚.

(3) Montrer que sixPX et x^˚ PX^˚, alors

x^˚ PJpxq ðñ @y PX : xx^˚, y´xy ď 1 2

`}y}²´ }x}²˘ .

(Pour ð, commencer par prendre y“tx pour montrer que xx^˚, xy “ }x}².) (4) Montrer que six, y P X, alors

@x^˚ PJpxq @y^˚P Jpyq : xy^˚´x^˚, y´xy ě p}y} ´ }x}q² ě0.

(5) Dans cette question, on suppose que la norme deX^˚ eststrictement convexe.

(a) Montrer que pour toutxPX, l’ensembleJpxqest r´eduit `a 1 point (qu’on notera encore Jpxq).

(b) Montrer que si x, y PX, alors

Jpxq “ Jpyq ðñ xJpyq ´Jpxq, y´xy “0.

Exercice 20. SoitX :“ pR^d,} ¨ }pq, o`u 1 ďpď 8. Avec les notations de l’Exercice 19, d´eterminer explicitement Jpxqpour xPX.

Exercice 21. SoitX un espace vectoriel norm´e surK“RouC, et soitpx_nqnPNune suite de vecteurs de X lin´eairement ind´ependants. Soit ´egalement pa_nqnPN une suite d’´el´ements de K. Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

(i) Il existe une forme lin´eaire continuex^˚ PX^˚ telle que@n PN : xx^˚, x_ny “a_n. (ii) Il existe une constante C ă 8 telle que

@λ₁, . . . , λ_N PK : ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

N

ÿ

j“1

λ_ja_j ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ďC

›

›

›

›

›

N

ÿ

j“1

λ_jx_j

›

›

›

›

› .

Exercice 22. Soit X un espace vectoriel norm´e r´eel, et soient Φ₀,ΦP X^˚ v´erifiant }Φ₀} “1“ }Φ}. Soit ´egalement εą0. On suppose qu’on a |Φpxq| ďε}x} pour tout xPkerpΦ₀q.

(1) Montrer qu’il existe une forme lin´eaire Φr P X^˚ telle que : }Φ} ďr ε et Φr´Φ est proportionnelle `a Φ₀.

(2) On ´ecrit Φr ´Φ“λΦ₀, o`u λPR. Montrer que λ v´erifie |1´ |λ|| ď ε.

(3) Montrer qu’on a }Φ`Φ₀} ď 2ε ou }Φ´Φ₀} ď 2ε. (Discuter selon le signe de λ).

Exercice 23. (`<sup>1</sup> n’est pas le dual de `⁸)

(1) Montrer que si a P `¹pNq, alors la formule Φ_apxq :“ ř8

n“0a_nx_n d´efinit une forme lin´eaire continue sur `⁸pNq, et qu’on a }Φ_a} “ }a}1.

(2) On notecle sous-espace de`⁸ constitu´e par toutes les suites pxnqadmettant une limite (finie) quandn Ñ 8.

(a) Montrer qu’il existe une forme lin´eaire continue Φ P p`⁸q^˚ telle que

@xP c : Φpxq “ lim_nÑ8x_n.

(b) Montrer que Φ n’est pas du type Φa.

Exercice 24. (L¹ n’est pas le dual de L⁸)

Montrer que si f P L¹pRq, alors la formule Φ_fpgq:“ş

Rfptqgptqdt d´efinit une forme lin´eaire continue surL⁸pRq, et qu’on a}Φ_f} “ }f}1. Montrer ensuite qu’il existe des formes lin´eaires continues surL⁸pRqqui ne sont pas de la forme Φ_f.

Exercice 25. Soit X un evt localement convexe. Pour AĎX et B ĎX^˚, on pose A^K :“ x^˚ P X^˚; @xP A : xx^˚, xy “0(

et B_K :“ xPX; @x^˚ PB : xx^˚, xy “0(

.

Montrer que si E est un sous-espace vectoriel deX, alors pE^KqK “E.

Exercice 26. (suites 1-s´epar´ees)

Soit X un espace vectoriel norm´e de dimension infinie. On note B_X la boule unit´e ferm´ee de X.

(1) Soit E ĂX un sous-espace de dimension finie. Montrer qu’il existe un point x P X tel que }x} “ 1 et }x´z} ě 1 pour tout z P E. (Partir d’un point aPXzE, et d’une forme lin´eaire continue Φ :E‘KaÑ K telle que }Φ} “ 1 et Φ”0 sur E).

(2) Montrer qu’il existe une suite px_nqnPN Ă B_X telle que }x_p ´x_q} ě 1 pour p‰q.

Exercice 27. Soit Ω un ouvert connexe de C, et soit f : Ω Ñ X une fonction holomorphe `a valeurs dans un espace de Banach X. Montrer que si ΛĎ Ω poss`ede un point d’accumulation dans Ω, alors Vecttfpλq; λ PΛu “Vecttfpzq; z P Ωu.

Exercice 28. Soit 1ăpă 8. Montrer queE :“ xP `<sup>p</sup>pNq; xP`¹ et ř₈

n“0x_n “0( est dense dans`^ppNq.

Exercice 29. Montrer que E :“ f P L²pRq; f P L¹ et ş

Rfptqdt “ 0(

est dense dans L²pRq.

Exercice 30. SoitXun espace de Banach complexe, et soitpenqnPNune suite born´ee d’´el´ements de X tel que vectte_n; n PNu “X. Pour tout λPD :“ tz P C; |z| ă1u, on pose x_λ :“ ř8

n“0λⁿe_n. Justifier la d´efinition, puis montrer que si Λ Ď D est un ensemble poss´edant un point d’accumulation dansD, alors vecttx_λ; λPΛuest dense dans X.

Exercice 31. Soit pP r1,8r, et soit D “ tz PC; |z| ă1u. Pourλ P D, on note xλ

l’´el´ement de `<sup>p</sup>pNq d´efini par x<sub>λ</sub> :“ pλ<sup>n</sup>qnPN. Montrer que si Λ Ď D est un ensemble poss`edant un point d’accumulation dans D, alors Vect x_λ; λ P Λ(

est dense dans

`^ppNq. (Utiliser l’exercice 30, ou proc´eder directement.)

Exercice 32. Soit I un intervalle compact de R. Pour aPCzI, on notef_aPCpIqla fonction d´efinie par f_aptq:“ _a´t¹ ¨

(1) SoitM :“supt|t|; tPIu. Poura v´erifiant|a| ąM, d´evelopperf_aptqen s´erie.

(2) Montrer que siA ĎCzIest un ensemble ou bien non born´e, ou bien poss`edant un point d’accumulation dans CzDp0, Mq, alors Vect f_a; a P A(

est dense dans CpIq. (Utiliser l’exercice 30, ou proc´eder directement).

(3) Montrer que la conclusion de (2) est encore valable si on suppose seulement queA poss`ede un point d’accumulation dans CzI. (Utiliser l’Exercice 27.) Exercice 33. Soit pα_nqnPN une suite strictement croissante de r´eels positifs admet- tant une limite finie, avec α₀ “ 0. Le but de l’exercice est de montrer que l’espace vectoriel engendr´e par les fonctions tÞÑt^αn est dense dans Cpr0,1sq.

(1) Soit Φ une forme lin´eaire continue surCpr0,1sq. Pour zP Cv´erifiant Repzq ą 0, on pose G_Φpzq :“ Lpt^zq, o`u t^z est la fonction t ÞÑ t^z (avec la convention 0^z “0). On pose ´egalement G_Φp0q:“Φp1q.

(a) Montrer que si G_Φpkq “ 0 pour tout k PN, alors Φ“0.

(b) On note U le demi-plan tRepzq ą 0u.

(i) SoitaPU. Pourt P r0,1s, d´eterminer lim_zÑa^tz_z´a^´ta¨Montrer ensuite que cette limite est uniforme par rapport `a t P r0,1s. (Penser par exemple `a l’in´egalit´e des accroissements finis.)

(ii) Montrer queG_Φ est holomorphe surU. (2) D´emontrer le r´esultat souhait´e.

Exercice 34. On note P Ď Cpr0,1sq l’ensemble des fonctions polynomiales. Soient t1, . . . , tdP r0,1s deux `a deux distincts, et k1, . . . , kdPN^˚. On pose

E :“ P P P; @j PJ1, dK : P^pkjqpt_jq “0( .

(1) Soit K P N^˚. Montrer que pour toute fonction f P C^Kpr0,1sq et pour tout εą0, on peut trouver P PP tel que @k P t0, . . . , Ku : }P^pkq´f^pkq}8 ăε.

(2) D´eduire de (1) que pour toutj PJ1, dKet pour tousA, αą0, on peut trouver P P P v´erifiant }P}8 ď1,|P^pkjqpt_jq| ąA et@i‰j : |P^pkiqpt_iq| ăα.

(3) Soit Φ une forme lin´eaire sur Cpr0,1sq v´erifiant ΦpPq “0 pour tout P PE. (a) Montrer qu’il existe λ1, . . . λdPK tels que

@P PP : ΦpPq “

d

ÿ

j“1

λ_jP^pkjqpt_jq.

(b) En d´eduire que si Φ‰0, alors Φ n’est pas continue. (Utiliser (2)).

(4) Montrer que E est dense dans Cpr0,1sq.

Exercice 35. Pour α ă 1{2, on d´efinit f_α : s0,1r Ñ R par f_αptq :“ t^´α. Montrer que l’espace vectoriel engendr´e par les fonctions f_α est dense dans L²ps0,1rq.

Exercice 36. SoitEl’ensemble des fonctionsf :RÑCde la formefptq “ Pptqe^´t2, o`uP est un polynˆome. Justifier que E ĎL²pRq, puis montrer que E est dense dans L²pRq.

Exercice 37. Soit pX,} ¨ }Xq un espace vectoriel norm´e r´eel, et soit C Ď X un ensemble convexe tel que 0PC. On note˚ p_C la fonctionnelle de Minkowski de C.

(1) Montrer que siC est born´e et sym´etrique (´C “C), alors pC est une norme

´equivalente `a la norme } ¨ }X.

(2) On suppose que C “ tx P X; Npxq ă 1u, o`u N est une norme sur X.

D´eterminer p_C dans ce cas.

Exercice 38. Soit pΩ,B,Pq un espace de probabilit´e, et soit X : Ω Ñ R^d une variable al´eatoire int´egrable. Soit ´egalementCĎR^d un ensemble convexe ferm´e. On suppose que X est presque partout `a valeurs dans C. Montrer que EpXq P C.

Exercice 39. Soit X unR-espace vectoriel, et soientφ1, . . . , φn des formes lin´eaires surX. Soient ´egalement α₁, . . . , α_n PR. On suppose que

@c₁, . . . , c_nPR :

˜ _n ÿ

k“1

c_kφ_k “0

¸ ùñ

˜ _n ÿ

k“1

c_kα_k “0

¸ .

Montrer qu’il existe xP X tel que φ_kpxq “α_k pourk “1, . . . , n. (Il pourra ˆetre utile de consid´erer l’application lin´eaire L:XÑRⁿ d´efinie par Lpxq:“`

φ1pxq, . . . , φnpxq˘ .)

Exercice 40. Soit dP N^˚, et soit P :“ txP R^d; xi ě0 pour i“1, . . . , du. Montrer que si E ĎR^d est un sous-espace vectoriel tel que EXP “ t0u, alors E^KXP˚‰ H.

En d´eduire que pour tout sous-espace vectorielE ĎR^dtel que EXP “ t0u, on peut trouver un hyperplan H tel que E ĎH etHXP “ t0u.

Exercice 41. Soit X un evt localement convexe r´eel, et soit C Ď X un ensemble convexe ferm´e.

(1) SoitpϕiqiPI une famille de fonctions affines sur C, `a valeurs r´eelles, telles que sup_iPIϕ_ipxq ă 8 pour toutxP C. Montrer que la fonction φ:“sup_iPIϕ_i est convexe et semi-continue inf´erieurement (ce qui signifie que pour tout b P R, l’ensembletxPC; φpxq ďbu est un ferm´e de C).

(2) Soit φ:C ÑR une fonction convexe et semi-continue inf´erieurement.

(a) Montrer que K :“ tpx, tq PCˆR : φpxq ďtu est un convexe ferm´e de XˆR.

(b) Soit x₀ PC. Montrer que pour tout răφpx₀q, on peut trouver x^˚ P X^˚ et λPR tels que

@xPC : xx^˚, xy `λφpxq ă xx<sup>˚</sup>, x<sub>0</sub>y `λr .

En d´eduire qu’il existe une fonction affine continue ϕ_x0,r : C Ñ R telle que ϕ_x0,r ďφ et ϕ_x0,rpx₀q ąr.

(c) Montrer qu’il existe une famille de fonctions affines continuespϕ_iqiPI telle que φ“sup_iPIϕ_i.

Exercice 42. (in´egalit´e de Jensen)

Soit X une variable al´eatoire int´egrable `a valeurs dans R<sup>d</sup>. On suppose que X est presque sˆurement `a valeurs dans un certain convexe ferm´e C ĎR^d. Montrer que si φ:C ÑRune fonction convexe telle que la v.a. φ˝f est int´egrable, alors

φ` EpXq˘

ďE` φpXq˘

. (On a EpXq P C d’apr`es l’Exercice 38, donc φ`

EpXq˘

est bien d´efini. Pour l’in´egalit´e, utiliser l’Exercice 41.)

Exercice 43. (hyperplans d’appui)

SoitE un evt localement convexe r´eel, et soitC ĎE un convexe ferm´e. On dit qu’un hyperplan (affine) ferm´e H Ď E est un hyperplan d’appui pour C en un point a P BC si a P H et si C est enti`erement contenu dans l’un des demi-espaces ferm´es d´etermin´es par H. (Faire un dessin.)

(1) Soit a P BC. Montrer que C poss`ede un hyperplan d’appui au point a si et seulement si il existe une forme lin´eaire continue non-nulle ΦP E^˚ telle que Φpaq ě Φpzq pour toutz P C.

(2) On suppose queC est d’int´erieur non-vide dansE. Montrer queC “C, puis˚ montrer queC poss`ede un hyperplan d’appui en tout point aP BC. (S´eparer ade C˚).

Exercice 44. Soit C “ z “ pz_nqPNP`<sup>1</sup>pNq; @n PN : z<sub>n</sub>ě0( . (1) Montrer que C est convexe, ferm´e et d’int´erieur vide dans `¹.

(2) Soita “ pa_nq P`<sup>1</sup> v´erifianta<sub>n</sub> ą0 pour toutn PN. Montrer queCne poss`ede pas d’hyperplan d’appui au point a.

Exercice 45. SoitXun evt localement convexe, et soitCĎXun ensemble convexe, ferm´e et d’int´erieur non-vide. Soit ´egalementf :CÑR une fonction convexe conti- nue. Montrer que pour tout pointx₀ PC, il existe une forme lin´eaire continuex^˚ PX^˚ telle que

@xPC : fpxq ´fpx₀q ě xx^˚, x´x₀y.

(Observer que Cr :“ tpx, tq P CˆR; těfpxqu est d’int´erieur non-vide dans XˆR, puis utiliser l’exercice 43).

Exercice 46. SoientX un evt localement convexe r´eel et K un compact convexe de X. Soient ´egalementf :K ÑRetg :K ÑRdeux fonctions continues. On suppose que f est convexe, que g est concave, et qu’on a gpxq ă fpxq pour tout x P K. Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe une fonction affine continue φ :K ÑR telle que g ăφ ăf. (Faire un dessin.)

(1) Montrer que les ensembles C_f :“ tpx, λq P K ˆR; fpxq ď λ ď }f}₈u et C_g :“ tpy, µq P K ˆR; ´}g}₈ ď µ ď gpyqu sont des convexes compacts de XˆR.

(2) Montrer qu’il existe z^˚ PX^˚, aPR et une constante c tels que

@xPK : xz^˚, xy `agpxq ăcă xz<sup>˚</sup>, xy `afpxq. (3) Montrer que aą0, puis d´emontrer le r´esultat souhait´e.

Exercice 47. Soit X un evt localement convexe r´eel, et soient A, B Ď X deux ensembles convexes ferm´es. On suppose que A et B sont `a distance strictement positive, i.e distpA, Bq :“ inft}v ´u}; pu, vq P AˆBu ą 0. Montrer qu’il existe ΦPX<sup>˚</sup> qui s´epare strictementAetB. (Montrer qu’il existe un voisinage de0 ouvert et convexe V tel que AX pB`Vq “ H, et consid´erer l’ouvert convexe Ω :“ pB`Vq ´A.)

Exercice 48. Soit X un espace vectoriel norm´e de dimension finie, et soit A, B Ď X deux ensembles convexes tels que A XB “ H. On ne fait pas d’hypoth`ese suppl´ementaire sur A et B. Le but de l’exercice est de montrer qu’on peut quand mˆeme “s´eparer au sens large” A et B par un hyperplan, i.e. qu’il existe une forme lin´eaire (continue)x^˚ P X^˚ telle que inf xx^˚, uy; uPA(

ěsup xx^˚, vy; v PA( . (1) Dans cette question, on suppose queA“ t0u, et donc que 0RB.

(a) Montrer qu’il existe une suite croissante pK_nqnPN de convexes compacts avec KnĎB pour tout n, telle que Ť

nPNKn est dense dansB. (Utiliser le fait que B est s´eparable.)

(b) Montrer que pour toutnP N, on peut trouverx^˚_nPX^˚ telle que}x^˚_n} “1 et @xPK_n : xx^˚_n, xy ď0.

(c) Montrer qu’on peut s´eparer t0uet B par un hyperplan.

(2) D´emontrer le r´esultat souhait´e pour des convexes A et B quelconques.

Exercice 49. Soit X un espace vectoriel norm´e r´eel de dimension infinie.

(1) Montrer qu’il existe des formes lin´eaires non continues surX. (SoitpenqnPNune suite de vecteurs lin´eairement ind´ependants dans X, avec }en} “ 1. “Construire”

une forme lin´eaire Φsur X telle que Φpenq “n pour tout n.)

(2) Soit Φ une forme lin´eaire non continue sur X. Montrer que pour toutα PK, l’ensembleH_α :“ txP X; Φpxq “αu est dense dans X; et en d´eduire que si Ψ :X ÑRest une forme lin´eaire continue, alors ΨpH_αq “R.

(3) Montrer qu’on peut touver deux convexes disjointsH, H¹ ĎX qui ne peuvent pas ˆetre s´epar´es (strictement) par un hyperplan ferm´e.

Exercice 50. Dans l’espace X :“c₀pNq ou`<sup>p</sup>pNq, 1ďpă 8, on consid`ere E :“ xPX; @iPN : x_2i “0(

et F :“ xPX; @iě1 : x_2i “10^´ix_2i´1( . (1) Montrer queE etF sont des sous-espaces ferm´es deX, que E`F est dense dansX, et que E`F ‰X. (Pour la derni`ere propri´et´e, on pourra consid´erer le pointzPX d´efini par z2i:“10<sup>´i</sup> pour tout iě0 et z2i´1 :“0 pour tout iě1.) (2) Soit z P XzpE `Fq. Montrer que A :“ z´E et B :“ F sont des convexes

ferm´es deXtels queAXB “ H, mais qu’on ne peut pas s´eparer (strictement) A etB par un hyperplan ferm´e.

Exercice 51. Dans tout l’exercice, X est un evt localement convexe r´eel, et K est un compact convexe non vide de X. Enfin, f : K Ñ K est une application affine continue. Le but de l’exercice est de montrer que f poss`ede un point fixe.

(1) On pose ∆ :“ pu, uq; uP K(

, et on note G le graphe de f. Montrer que ∆ etG sont des compacts convexes de XˆX.

(2) Montrer que si Φ est une forme lin´eaire continue sur XˆX, alors on peut trouverpφ₁, φ₂q PX^˚ˆX^˚ tel que

@pu, vq PXˆX : Φpu, vq “ φ₁puq `φ<sub>2</sub>pvq. (3) On suppose que f ne poss`ede pas de point fixe.

(a) Montrer qu’il existe deux formes lin´eaires φ₁, φ₂ P X^˚ et deux nombres r´eels α ăβ tels que

@u, v PK : φ₁puq `φ<sub>2</sub>puq ď αăβ ďφ<sub>1</sub>pvq `φ₂pfpvqq

(b) Montrer qu’on a φ₂pfⁿpxqq ´φ₂pxq ěnpβ´αqpour tout xPK et pour tout n PN^˚. (Bien sˆur, fⁿ“f˝ ¨ ¨ ¨ ˝f.)

(4) Conclure.

Exercice 52. (Th´eor`eme de Krein-Milman)

Dans tout l’exercice, X est un evt localement convexe r´eel, et K est un compact convexe non-vide de X. On dit qu’un point x P K est un point extr´emal de K si x ne peut pas s’´ecrire comme barycentre de deux points de K diff´erents de x; autrement dit : si u, v P K et x P ru, vs, alors u “ x ou v “ x. Le but de l’exercice est de montrer que K est l’enveloppe convexe ferm´ee de ses points extr´emaux.

(0) V´erifier que le r´esultat est bien vrai lorsque K est un rectangle, un triangle ou un disque dans le plan.

(1) On dit qu’un ensemble E ĎK est une partie extr´emale de K s’il poss`ede la propri´et´e suivante : si u, v P K et su, vr XE ‰ H, alors u P E et v P E.

On note E l’ensemble des parties extr´emales de K compactes et non-vides.

Montrer que E contient un ´el´ement minimal pour l’inclusion.

(2) Montrer que si E est une partie extr´emale de K et si φ : X Ñ R est une forme lin´eaire continue, alors

E_φ:“

!

xP E; φpxq “sup

E

φ )

est une partie extr´emale de K.

(3) D´eduire de (1) et (2) que K poss`ede au moins un point extr´emal.

(4) Soit φ : X ÑR une forme lin´eaire continue. Montrer que l’ensemble K_φ est un compact convexe non-vide, et que tout point extr´emal deK_φ est un point extr´emal de K.

(5) Soit K₀ un compact convexe de K, avec K₀ ‰ K. Montrer qu’il existe une forme lin´eaire φ PX^˚ telle queK_φXK₀ “ H.

(6) D´emontrer le r´esultat souhait´e.

Exercice 53. Soit dPN^˚. En utilisant le Th´eor`eme de Krein-Milman (Exercice52), montrer que toute matrice A P M_dpRq “ LpR^dq v´erifiant }A} ď 1 est combinaison convexe de matrices orthogonales.

Exercice 54. Montrer que dans un evt, toute r´eunion fini d’ensembles born´es est un ensemble born´e.

Exercice 55. SoitX un evt. Montrer que si B ĎX est born´e, alorsa`B est born´e pour tout aPX.

Exercice 56. Soit X un evt sur K “ R ou C. Montrer qu’un ensemble B Ď X est born´e si et seulement si la chose suivante a lieu : pour toute suite pλ_nqnPN Ď K tendant vers 0 et pour toute suite px_nq ĎB, on a que λ_nx_nÑ0.

Exercice 57. (Banach-Steinhaus sans Baire)

Le but de l’exercice est de donner une preuve du th´eor`eme de Banach-Steinhaus qui n’utilise pas le th´eor`eme de Baire. Soit donc pT_iqiPI une famille d’application lin´eaires continues d’un espace de BanachX dans un espace vectoriel norm´eY. On raisonne par l’absurde en supposant qu’on a sup_iPI}Tipxq} ă 8 pour tout x P X, mais cependant sup_iPI}Ti} “ 8.

(1) Montrer que pour toutα ą0 et pour tout Aă 8, on peut trouver xPX et iPI tels que }x} ďα et }T_ipxq} ąA.

(2) Pour x P X, on pose Cpxq “ sup_iPI}T_ipxq}. Montrer qu’on peut construire par r´ecurrence une suite px_nqnPN Ď X et une suite pi_nqnPN Ď I telles que les propri´et´es suivantes soient v´erifi´ees :

(i) }xn} ď2^´n pour tout nPN;

(ii) }T_ikpx_nq} ď2^´n pour toutn et pour tout kăn; (iii) }T_inpx_nq} ąn`1` ř

kăn

Cpx_kq pour toutn.

(3) On posex“ř8

l“0xl. Justifier la d´efinition, puis montrer que pour toutm PN, on a }T_impxq} ąm.

(4) Conclure.

Exercice 58. Dans cet exercice, on noteXl’espace vectoriel norm´e`

Cpr0,1sq,} ¨ }2

˘. (1) PourcPCet 0ďaďbď1s, on note Φa,b,c :X ÑC la forme lin´eaire d´efinie

par Φ_a,b,cpfq:“cşb

afptqdt. Montrer que Φ_a,b,c est continue.

(2) Soient pcnq une suite de nombres complexes et panq, pbnq deux suites dans r0,1s. Pour nPN, on pose Φ_n:“Φ_an,bn,cn.

(a) Montrer que la suite pΦ_nq est simplement born´ee si et seulement si sup

nPN

|c_n| pb_n´a_nq ă 8.

(b) Montrer que la suite pΦ_nq est born´ee en norme si et seulement si sup

nPN

|c_n|a

b_n´a_n ă 8.

Exercice 59. SoientX un espace de Banach,Y un espace vectoriel norm´e, etpT_nqnPN

une suite dansLpX, Yq. Montrer que la suitepT_nqest born´ee si et seulement si : pour toute suite pxnq Ď X telle que xn Ñ0, on a que TnxnÑ0.

Exercice 60. Soit pΩ,B, mq un espace mesur´e sigma-fini, et soit pφ_nqnPN une suite dansL⁸pΩ, mq. On suppose que pour toute suitepf_nq Ď L²pΩ, mqtelle que}f_n}2 Ñ0, on a que }φ_nf_n}2 Ñ0. Montrer que la suite pφ_nqest born´ee dans L⁸pΩ, mq.

Exercice 61. Soient X etY deux espaces de Banach, et soit pT_nqnPNune suite dans LpX, Yq. Montrer que la suite pT_nq est born´ee si et seulement si : pour toute suite px_nq Ď X telle queř₈

n“0}x_n} ă 8, la s´erie ř

T_nx_n est convergente

Exercice 62. Soit a “ pa_nqnPN une suite de nombres complexes. On supose que a v´erifie la propri´et´e suivante : pour toute suite x “ px_nq P c₀, la s´erie ř

a_nx_n est convergente.

(1) Pour N P N, on d´efinit une forme lin´eaire Φ_N : c₀ Ñ C par Φ_Npxq “ řN

n“0a_nx_n. Montrer que Φ_N est continue et calculer}Φ_N}. (2) Montrer que aP`¹.

Exercice 63. Soit a“ pa_nqnPN une suite de nombres complexes, et soit 1 ďpă 8.

On supose que pour toute suite x “ px_nq P `^p, la s´erie ř

a_nx_n est convergente.

Montrer que aP`<sup>q</sup>, o`u q est l’exposant conjugu´e de p.

Exercice 64. Soit X un espace de Banach, et soit px^˚_nqnPN une suite dans X^˚. Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

(i) Pour toute suite px_nq Ď X telle que x_n Ñ 0, la s´erie ř

xx^˚_n, x_ny est conver- gente ;

(ii) ř8

n“0

}x^˚_n} ă 8.

(Pour une implication, on pourra consid´erer l’espace de Banach c0pN, Xq et les formes lin´eaires Φ_N P`

c₀pN, Xq˘˚

d´efinies par Φ_Npxq:“ř_N

n“0xx^˚_n, x_ny.)

Exercice 65. Soit X un espace de Banach, et soit px^˚_nqnPN une suite dans X^˚. Soit

´

egalement 1 ă p ă 8, et soit q l’exposant conjugu´e. Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

(i) Pour toute suite px_nq Ď X telle que ř₈

n“0}x_n}^p ă 8, la s´erie ř

xx^˚_n, x_ny est convergente ;

(ii) ř8

n“0

}x^˚_n}^qă 8.

Exercice 66. Soit X un espace de Banach, et soit px^˚_nqnPN une suite dans X^˚. On suppose qu’il existe r ą 0 et une suite pε_nq Ď R^` tendant vers 0 tels que la chose suivante ait lieu : pour tout x P Bp0, rq, il existe une constante C_x ă 8 telle que

@nP N : xx^˚_n, xy ďε_n}x^˚_n} `C_x. Montrer que la suite px^˚_nq est born´ee.

Exercice 67. Soient X etY deux espaces vectoriels norm´es, et soitT :X ÑY une application lin´eaire. On suppose que pour toute y^˚ PY^˚, l’application xÞÑ xy^˚, T xy est continue.

(1) Pour toutxP X, on note Φx :Y^˚ ÑKla forme lin´eaire d´efinie par Φxpy^˚q “ xy^˚, Tpxqy. Montrer que les Φx sont continues et que pour tout y^˚ P Y^˚ fix´e, on a sup_xPB

X|Φ_xpy^˚q| ă 8. (2) Montrer que T est continue.

Exercice 68. Soit H un espace de Hilbert, et soit T : H Ñ H une application lin´eaire. On suppose que pour tout y P H, l’application x ÞÑ xT x, yy est continue.

Montrer que T est continue.

Exercice 69. Soient K un espace m´etrique compact,X est un espace de Banach et L:X ÑCpKqune application lin´eaire. On suppose que pour touttPK, l’application xÞÑ pLxqptq est continue. Montrer queL est continue.

Exercice 70. Soient pE, dq un espace m´etrique, X un espace vectoriel norm´e et f :E ÑX. On suppose que pour toute forme lin´eaire continuex^˚ PX^˚, l’application tÞÑ xx^˚, fptqy est lipschitzienne. Montrer que f est lipschitzienne.

Exercice 71. Soient X, Y, Z des espace vectoriel norm´e. On dit qu’une application B : X ˆY Ñ Z est s´epar´ement continue si pour tout u P X fix´e, l’application v ÞÑ Bpu, vq est continue, et pour tout v P Y fix´e, l’application u ÞÑ Bpu, vq est continue.

(1) Dans cette question, on suppose queX est complet. Soit B :XˆY ÑZ une applicationbilin´eaire et s´epar´ement continue.

(a) Pour tout v PY, on note B_v PLpX, Zql’application lin´eaire d´efinie par B_vpuq:“Bpu, vq. Montrer que la famille tB_v; }v} ď 1u est born´ee dans LpX, Zq.

(b) Montrer que B est continue.

(2) Dans cette question, on prendX :“Cpr0,1sq “Y,muni de la norme L¹. Soit B :Cpr0,1sq ˆCpr0,1sq ÑR la forme bilin´eaire d´efinie par

Bpu, vq:“ ż1

0

uptqvptqdt.

(a) Montrer que B est s´epar´ement continue.

(b) Pour nPN, on note u_nPCpr0,1sqla fonction tÞÑtⁿ. CalculerBpu_n, u_nq et }u_n}. Que peut-on en d´eduire ?

Exercice 72. Soit Ω un ouvert de C et soit f : Ω Ñ X, o`u X est un espace de Banach complexe. On suppose que la fonction f est faiblement holomorphe, ce qui signifie que x^˚˝f est holomorphe pour toute x^˚ P X^˚. Le but de l’exercice est de montrer que f est holomorphe.

(1) SoitDĎCun disque ouvert tel queDĎΩ. Montrer que pour toutex^˚ PX^˚, la fonction x^˚˝f est lipschitzienne sur D.

(2) D´eduire de (1) que la fonctionf est continue.

(3) Montrer que siD est un disque ouvert tel que DĎΩ, alors

@z PD : fpzq “ 1 2iπ

ż

BD

fpξq ξ´zdξ.

(L’int´egrale curviligne “vectorielle” du 2`eme membre est bien d´efinie grˆace `a (2).) (4) Conclure.

Exercice 73. (matrices de sommation) On dira qu’une matrice infinie `

c_i,j˘

i,jPN `a coefficients complexes est une bonne ma- trice de sommation si elle v´erifie la propri´et´e suivante : pour toute suite num´erique px_jqadmettant une limitel, toutes les s´eriesř

c_i,jx_j convergent, et lim

iÑ8

ř8

0 c_i,jx_j “l.

(1) Soit pc_i,jqi,jPN une matrice v´erifiant les conditions suivantes (qu’on appelle conditions de Toeplitz) :

(a) sup

iPN

ř8

j“0

|c_i,j| ă 8;

(b) lim

iÑ8

ř8

j“0

c_i,j “1 ; (c) lim

iÑ8 c_i,j “0 pour tout j PN.

Montrer que pc_i,jq est une bonne matrice de sommation.

(2) Montrer que (1) permet de retrouver le th´eor`eme de Ces`aro et le th´eor`eme d’Abel sur les s´eries enti`eres.

(3) Montrer que toute bonne matrice de sommation v´erifie (a), (b), (c).

Exercice 74. (une s´erie de Fourier divergente)

Dans cet exercice, on donne un exemple explicite de fonction dont la s´erie de Fourier diverge en 0.

(1) Pouru, v ą0, on pose

Kpu, vq “ 1 π

żπ

0

sinpuθq sinpvθq sinpθ{2q dθ .

Montrer qu’il existe des constantes aą0 et bă 8 telles que

|Kpu, vq| ďb logpuq pour 2ďuďv, Kpu, uq ě a logpuq pour tout uě2.

(2) On d´efinit f :RÑR par fpθq “

8

ÿ

k“1

pk!q^´1{2 sin“

p2^k!`1{2q|θ|‰ .

(a) V´erifier quef PC_2π.

(b) Pour n PN, exprimerS₂^n!fp0q `a l’aide de la fonction K.

(c) Montrer que la s´erie de Fourier def diverge en 0.

Exercice 75. (interpolation de Lagrange)

Pour n P N, on note P_n Ď Cpr0,1sq l’ensemble des fonctions polynomiales de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n, `a coefficients dans K “ R ou C. Si n ě 1, on pose x^pnq_i :“ _nⁱ pouri“0, . . . , n; et pour f P Cpr0,1sq, on noteπ_nf lepolynˆome d’interpolation de Lagrangepourf aux pointsx^pnq₀ , . . . , x^pnqn ,i.e.l’uniqueP PPntel quePpx^pnq_i q “ fpx^pnq_i qpour i“0, . . . , n.

(1) Montrer que l’application π_n:Cpr0,1sq ÑP_n est une projection.

(2) Soit nPN. Pour iP t0, . . . , nu, on d´efinit l_iⁿPP_n par la formule lⁿ_ipxq “

ź

j‰i

x´x^pnq_j x^pnq_i ´x^pnq_j ¨

(a) V´erifier que si f PCpr0,1sq, alors π_nf “řn

i“0fpx^pnq_i ql_i^pnq. (b) En d´eduire que la projection π_n est continue.

(c) On pose λ_npxq:“ řn

i“0|l_i^pnqpxq|, et Λ_n :“ }λ_n}8. Calculer }π_n} en fonc- tion de Λ_n.

(3) Montrer que si n P N^˚, alors śn

j“0|¹₂ ´j| ě ¹₄pn´1q!. En d´eduire que pour toutiP t0, . . . , nu, on a|l_i^pnqp_2n¹ q| ě _4n¹2

`_n

i

˘, puis montrer que Λ_n Ñ 8quand nÑ 8.

(4) Est-il vrai que pour toute fonction f P Cpr0,1sq, la suite pπ_nfq converge uniform´ement versf?

Exercice 76. On garde les notations de l’Exercice 75.

(1) Montrer que sif PCpr0,1sq, alors

@n PN : }f ´π_npfq|}8 ď p1`Λ_nqdistpf,P_nq.

(2) On admet qu’on a Λ_n ď2ⁿ pour tout nP N. Montrer que sif P Cpr0,1sq est la somme d’une s´erie enti`ere de rayon de convergence R ą 2, alors la suite pπ_nfq converge uniform´ement versf.

Exercice 77. Soit pX_nqnPN une suite d’espaces de Banach, soit Y un espace de Banach, et pour toutn PN, soitT_n PLpX_n, Yq. On suppose qu’on aŤ

nPNImpT_nq “ Y. Montrer que l’un au moins des op´erateursT_n est surjectif.

Exercice 78. SoientX etY des espaces de Banach, et soitT P LpX, Yqun op´erateur surjectif. Montrer que siAest une partie quelconque deX, alorsTpAqest ferm´e dans Y si et seulement si A`kerpTq est ferm´e dans X. En d´eduire que si kerpTq est de dimension finie, alorsTpEqest ferm´e dans Y pour tout sous-espace (vectoriel) ferm´e E ĎX.

Exercice 79. Soit X un espace de Banach. Montrer que si T : X Ñ `<sup>1</sup>pNq est un op´erateur surjectif, alors T poss`ede un inverse `a droite, i.e. il existe un op´erateur S PLp`¹pNq, Xq tel que T S“I.

Exercice 80. Soient X et Y des espaces de Banach, et soit T P LpX, Yq. Montrer que T est `a image ferm´ee si et seulement si il existe une constante c ą 0 telle que

@xPX : }T x} ěcdist`

x,kerpTq˘ .

Exercice 81. Soient X1, X2 et Y des espaces de Banach, T1 P LpX1, Yq et T2 P LpX₂, Yq. On suppose queY “ImpT₁q ‘ImpT₂q. Montrer queT₁ etT₂ sont `a images ferm´ees. (Utiliser l’Exercice 80.)

Exercice 82. SoitXun espace de Banach, et soientEetF deux sous-espaces ferm´es de X. On suppose qu’il existe une constante cą 0 telle que @x PE : distpx, Fq ě c distpx, EXFq. Montrer que E`F est ferm´e dans X.

Exercice 83. Soient pX,} ¨ }Xq et pY,} ¨ }Yq deux espaces de Banach, et soit T P LpX, Yq tel que ImpTq est ferm´e dans X et dim kerpTq ă 8. Soit ´egalement ~ ¨ ~ une autre norme surX, qu’on supposedomin´ee par} ¨ }X,i.e.~ ¨ ~ ďM} ¨ }X pour une certaine constante M ă 8. Montrer qu’il existe une constante C ă 8telle que

@xP X : }x}X ďC`

}T x}Y ` ~x~˘ . (Le plus simple est probablement de raisonner par l’absurde.) Exercice 84. (non-surjectivit´e de Fourier, directement)

Dans cet exercice, on veut montrer par un argument direct que la transformation de Fourier F :L¹pRq ÑC₀pRqn’est pas surjective.

(1) Montrer que si f est une fonction impaire int´egrable sur R, alors fppxq “

´2iş8

0 sinp2πtxqfptqdtpour toutxPR. En d´eduire queşX 1

fppxq

x dxadmet une limite quand XÑ 8.

(2) Montrer que sif PL¹pRq et si fpest impaire, alors f est impaire.

(3) Donner un exemple explicite de fonctiong PC₀pRqqui n’est pas dans l’image deF.

Exercice 85. Soient X et Y deux espaces de Banach, et soit T : X Ñ Y lin´eaire continue. On suppose que ImpTqest compl´ement´e dans Y, autrement dit qu’il existe un sous-espace ferm´e E ĎY tel que Y “E‘ImpTq.

(1) En utilisant convenablement le th´eor`eme de l’image ouverte, montrer qu’il existe une constante C telle que la propri´et´e suivante ait lieu : pour tout y P ImpTq, il existe x P X tel que Tpxq “ y et }x} ď C}y}. (Consid´erer l’applicationL:XˆEÑY d´efinie par Lpx, fq:“f`Tpxq.)

(2) En d´eduire que toute s´erie normalement convergente `a termes dans ImpTq converge dans ImpTq.

(3) Conclure que ImpTq est ferm´e dansY. Exercice 86. (bases de Schauder)

SoitpX,} ¨ }qun espace de Banach sur K“RouC. On dit qu’une suite peiqiPNĎX d’´el´ements de X est une base de Schauder pour X si, pour tout x P X, il existe une unique suite px_iq P K^N telle que x“

8

ř

i“0

x_ie_i, o`u la s´erie converge dans X. Dans tout l’exercice, on fixe une base de Schauder pe_iq pourX.

(1) Pourn PN, on d´efinit une application lin´eaire πn:X ÑX par π_n

˜8

ÿ

i“0

x_ie_i

¸

“

n

ÿ

i“0

x_ie_i.

Montrer que lesπ_n sont des projections.

(2) PourxP X, on pose ~x~ “sup_nPN}πnpxq}.

(a) Montrer que ~ ¨ ~ est une norme sur X.

(b) Soit px_kqkPN Ď X une suite de Cauchy pour la norme ~ ¨ ~. Montrer que pour tout nPN, la suite pπ_npx_kqqkPN converge (au sens de la norme originelle de X) vers un point z_n PX, et que la suite pz_nq converge vers un point x P X. Montrer ensuite que si n ď m, alors π_npz_mq “ z_n, puis que π_npxq “ z_n pour tout nPN.

(c) Montrer que l’espace pX,~ ¨ ~qest complet.

(d) Montrer que ~ ¨ ~ est ´equivalente `a la norme originelle de X.

(3) Conclure que toutes les projections πn sont continues, et qu’on a sup

nPN

}π_n} ă 8.

Exercice 87. SoitX :“c₀pNqou`^ppNq, 1ďpă 8. Montrer que la “base canonique”

deX est une base de Schauder de X.

Exercice 88. Soient X et Y deux espaces de Banach. On suppose que Y poss`ede une base de Schauder. Montrer que tout op´erateur compact T : X Ñ Y est limite d’une suite d’op´erateurs de rangs finis.

Exercice 89. Soit X un espace de Banach. On suppose qu’il existe une suite de projections continue πn:X ÑX v´erifiant les propri´et´es suivantes :

(i) π_n est de rang n`1 pour tout n PN; (ii) π<sub>n`1</sub>π_n “π_n “π_nπ_n`1;

(iii) π_nxÑxpour tout xPX.

(1) Montrer que Impπ_nq Xkerpπ_n´1q est de dimension 1 pour tout ně1.

(2) Montrer que X poss`ede une base de Schauder. (Choisir un vecteur non-nul e0 PImpπ0q et, pour tout ně1, un vecteur non-nulenPImpπnq Xkerpπn´1q.) Exercice 90. Le but de cet exercice est de montrer que l’espace de Banach X :“ Cpr0,1s,Rqposs`ede une base de Schauder.

(1) Soient t0, . . . , tn P r0,1r deux `a deux distincts, avec t0 “ 0. Pour f P X, on note πpfq l’unique fonction continue interpolant f aux points t₀, . . . , t_n,1 et affine par morceaux avec “noeuds” 0“t₀, . . . , t_n,1. Montrer que π:X ÑX est une projection lin´eaire continue et calculer }π}.

(2) Conclure en utilisant l’Exercice 89.

Exercice 91. Soient X et Y deux espaces m´etriques, et soit f : X Ñ Y. Montrer que si le graphe de f est compact, alors f est continue.

Exercice 92. Soient X etY deux espaces vectoriels norm´es, et soitT :X ÑY une application lin´eaire. Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

(i) Le graphe de T est ferm´e dans XˆY.

(ii) Pour toute suite px_nq Ď X convergeant vers 0 telle que la suite pT x_nq est convergente, on a lim_nÑ8Tpx_nq “ 0.

Exercice 93. D´eduire le Th´eor`eme d’isomorphisme de Banach du Th´eor`eme du graphe ferm´e.

Exercice 94. Soit J : pCpr0,1sq,} ¨ }L¹q Ñ Cpr0,1s,} ¨ }8q l’application lin´eaire d´efinie parJpfq “ f. L’applicationJ est-elle continue ? Le graphe deJ est-il ferm´e ? Exercice 95. Soit X un espace de Banach, et soit p : X Ñ X une projection, i.e.

une application lin´eaire telle que p² “p. Montrer quep est continue si et seulement si kerppqet Imppq sont ferm´es dans X.

Exercice 96. Soit H un espace de Hilbert, et soit T : H Ñ H une application lin´eaire. On suppose qu’on a xTpxq, xy ě0 pour tout xPH.

(1) Soit pz_nq une suite de points de H v´erifiant lim_nÑ8z_n “0. On suppose que la suitepTpz_nqq converge vers un point lP H.

(a) Montrer qu’on a xl, hy ` xTphq, hy ě0 pour tout hP H.

(b) En d´eduire quel “0. (Remplacer h parεh, avecεą0).

(2) Montrer que l’application lin´eaire T est continue.

Exercice 97. SoitpΩ,B, mqun espace mesur´e, et soitpf_nqnPNune suite dansL¹pΩ, mq.

On suppose que pour presque tout xPΩ, on a sup_nPN|f_npxq| ă 8, et que pour tout aP`¹pNq, la fonctionř₈

n“0a_nf_n appartient `aL<sup>1</sup>pΩ, mq. En utilisant convenablement le th´eor`eme du graphe ferm´e, montrer que la suite pf_nqest born´ee dans L¹.

Exercice 98. Soit E un sous-espace ferm´e de Cpr0,1qq. On suppose que toutes les fonctions f P E sont de classe C¹.

(1) Soit T : E Ñ Cpr0,1sq l’application lin´eaire d´efinie par Tpfq :“ f¹. Montrer queT est continue.

(2) On note BE la boule unit´e ferm´ee de E. Montrer qu’il existe une constante Că 8 telle que toutes les fonctions de BE sont C-lipschitziennes.

(3) Montrer queE est de dimension finie. (Utiliser les th´eor`emes de Riesz et Ascoli).

Exercice 99. Soit pΩ,B, µq un espace mesur´e. On suppose que la mesure µ est sigma-finie, et qu’on a L²pµq Ď L¹pµq. Montrer qu’il existe une constante C ă 8 telle que }f}L¹ ď C}f}L² pour toute f P L²pµq; et en d´eduire que la mesure µ est finie.

Exercice 100. Soit pΩ,B, µq un espace mesur´e, avec µ finie. Soit ´egalement E un sous-espace ferm´e de L²pΩ, µ,Rq. On suppose que toutes les fonctions de E sont (essentiellement) born´ees, i.e. E ĎL⁸pΩ, µq. Le but de l’exercice est de montrer que E est de dimension finie.

(1) Montrer qu’il existe une constante Că 8 telle que

@f PE : }f}₈ďC}f}2.

(2) En utilisant la majoration }f}²₂ ď }f}8ˆ }f}₁ (`a justifier), montrer que

@f PE : }f}2 ďC}f}1.

(3) Soient f1, . . . , fN P E deux `a deux orthogonales et v´erifiant }fi}2 “ 1 pour tout i.

(a) En utilisant (1), montrer que si on fixe pε₁, . . . , ε_Nq P t´1,1u^N alors, pour presque tout tPΩ, on a

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

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ε_if_iptq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ďC? N .

(b) En d´eduire que pour presque tout tPΩ, on a řN

i“1

|fiptq| ďC? N .

(c) Montrer qu’on a N ďC⁴µpΩq². (Int´egrer(b) et utiliser (2)).

(4) Conclure.

Exercice 101. SoitX un espace vectoriel norm´e, et soitpx_nqnPNune suite de points de X. On suppose que @x^˚ P X^˚ : ř8

n“0|xx^˚, x_ny| ă 8. Montrer qu’il existe une constante C telle que @x^˚ PX^˚ : ř8

n“0|xx^˚, x_ny| ďC}x^˚}.

Exercice 102. (Lemme de Zabrejko)

SoitX un espace de Banach, et soitp:X ÑR<sup>`</sup> une semi-norme surX. On suppose que p poss`ede la propri´et´e suivante : pour toute suite px_kqkPN ĎX telle que la s´erie řx_k converge dans X, on a

p

˜ 8

ÿ

k“0

x_k

¸ ď

8

ÿ

k“0

ppx_kq.

Le but de l’exercice est de montrer que p est continue ; autrement dit, qu’il existe une constante C ă 8 telle que@xPX : ppxq ďC}x}.

(1) Pour n P N, on pose Q_n :“ tx P X; ppxq ď nu. Montrer qu’il existe N P N tel que Bp0,1q Ď Q_N.

(2) Soit x P Bp0,1q. Montrer qu’il existe une suite px_kqkě0 ĎQ_N XBp0,1q telle que

@n PN :

›

›

›

›

› x´

˜ _n ÿ

k“0

2^´kx_k

¸›

›

›

›

›

ă2^´n´1. (3) Montre que @xPBp0,1q : ppxq ď2N, et conclure.

Exercice 103. D´emontrer le Th´eor`eme de Banach-Steinhaus dans les espaces de Banach en utilisant le Lemme de Zabrejko. (Poserppxq:“sup_iPI}Tix}.)

Exercice 104. D´emontrer le Th´eor`eme du graphe ferm´e dans les espaces de Banach en utilisant le Lemme de Zabrejko. (Poser ppxq:“ }T x}.)

Exercice 105. Soit `<sup>8</sup> :“ `⁸pN,Rq et c₀ :“ c₀pN,Rq. Le but de l’exercice est de montrer que c₀ n’est pas compl´ement´e dans `<sup>8</sup>, autrement dit qu’il n’existe pas de sous-espace ferm´eF Ď`⁸ tel que `⁸ “c0‘F.

(1) Montrer que sipf_iqiPI est une famille non d´enombrable d’´el´ements de`⁸, avec f_i ‰0 pour tout iPI, alors l’ensemble ř

iPJf_i; J PP_fpIq(

n’est pas born´e dans `⁸. (Commencer par montrer qu’il existe nPN et εą0 tels que l’ensemble tiPI; |fipnq| ěεu est non d´enombrable.)

(2) Montrer qu’il existe une famille non d´enombrable pA_iqiPI de parties de N v´erifiant les propri´et´es suivantes : tous les ensembles A_i sont infinis, et A_iX A_j est fini si i ‰ j. (Pour x P R, on pourra consid´erer un ensemble du type Ax:“ trnpxq; nPNu, o`u prnpxqqest une suite strictement croissante de rationnels tendant vers x.)

(3) Avec les notations de (2), montrer que pour tout ensemble finiJ ĎI, on a 1^Ť

iPJAi ´ ÿ

iPJ

1_Ai P c₀.

(4) Soit p : `⁸c0 une projection de l⁸ sur c0, i.e. une application lin´eaire telle queppxq “x pour tout xPc₀, et soitq :“I´p. En utilisant (3) et (1) avec f_i :“qp1_Aiq, montrer que q n’est pas continue.

(5) Conclure.