A4930. Des écarts-types en Diophantie **
Déterminer tous les entiers n, 1 < n ≤ 2021, tels que la moyenne arithmétique et l’écart-type de toute suite de n entiers consécutifs positifs sont des entiers.
Soient : a+1 , a+2 , a+3 ... , a+n n nombres consécutifs La moyenne vaut : a+n+1
2
Il faut donc que n soit impair pour avoir une moyenne entière.
Posons n = 2m+1 La moyenne vaut a+m+1
L'écart-type vaut :
√
2(m2+(m2m−1+1)2+...+12) =√
2m32m+3+m21+m3 =√
m23+mReste à trouver pour quelles valeurs de m , m2+m
3 est un carré
avec 0⩽m⩽1010
Un tableur permet de trouver :
m = 0 donc n = 1 nombre(s) consécutif(s) et l'écart-type vaut 0 m = 3 donc n = 7 nombre(s) consécutif(s) et l'écart-type vaut 2 m = 48 donc n = 97 nombre(s) consécutif(s) et l'écart-type vaut 28 m = 675 donc n = 1351 nombre(s) consécutif(s) et l'écart-type vaut 390