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A4930. Des écarts-types en Diophantie **

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Academic year: 2022

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A4930. Des écarts-types en Diophantie **

Déterminer tous les entiers n, 1 < n ≤ 2021, tels que la moyenne arithmétique et l’écart-type de toute suite de n entiers consécutifs positifs sont des entiers.

Soient : a+1 , a+2 , a+3 ... , a+n n nombres consécutifs La moyenne vaut : a+n+1

2

Il faut donc que n soit impair pour avoir une moyenne entière.

Posons n = 2m+1 La moyenne vaut a+m+1

L'écart-type vaut :

2(m2+(m2m1+1)2+...+12) =

2m32m+3+m21+m3 =

m23+m

Reste à trouver pour quelles valeurs de m , m2+m

3 est un carré

avec 0⩽m⩽1010

Un tableur permet de trouver :

m = 0 donc n = 1 nombre(s) consécutif(s) et l'écart-type vaut 0 m = 3 donc n = 7 nombre(s) consécutif(s) et l'écart-type vaut 2 m = 48 donc n = 97 nombre(s) consécutif(s) et l'écart-type vaut 28 m = 675 donc n = 1351 nombre(s) consécutif(s) et l'écart-type vaut 390

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