Enoncé D1868 (Diophante) Une sangaku à la romaine
Donner tout renseignement permettant de construire la figure suivante à partir du petit cercle dont le rayon est égal à l’unité :
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Autant que je puisse en juger sur la figure, la diagonale du rectangle est le diamètre du petit cercle joignant les points de contact avec les grands cercles. Soitαl’angle qu’elle fait avec le grand côté du rectangle. Le centre du petit cercle est centre du rectangle et centre de symétrie de la figure.
Sir est le rayon des grands cercles, la distance de leur centre au centre de la figure estr−1 ; la demi-longueur du rectangle est r+ (r−1) cosα; sa demi-hauteur estr+ (1−r) sinα. D’où la condition
r+ (1−r) sinα
r+ (r−1) cosα = tanα qui se résout enr= sin(2α)
sin(2α)−cosα+ sinα.
Sur la figure, r apparaît voisin de 2 ; si l’on admetr = 2 exactement, la condition s’écrit (1 + cosα−sinα)2 = 2, d’où sin(π/4−α) = 1−1/√
2.
Les dimensions du rectangle découlent de sa diagonale, qui a pour longueur 2r+ (r−1) cosα
cosα = cosα+ sinα
sin(2α)−cosα+ sinα = 2 q
5 + 4√ 2.
d’où les côtés q
11 + 6√ 2±
q 2√
2−1
.
