Qu’un triangle est rectangle

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TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT

I. Triangle et cercle circonscrit.

1. Propriété.

Dans un cercle, SI un triangle a pour sommets les

extrêmités d’un diamètre et un point du cercle ALORS ce triangle est RECTANGLE.

2. Utilité de cette propriété.

Cette propriété permet de démontrer :

 Qu’un triangle est rectangle.

 Que deux droites sont perpendiculaires.

3. Exemple.

On considére un cercle C.

 Dans le cercle C.

 le segment [AB]est un dimètre.

 le point D est un point du cercle.

 d'après la propriété :" Dans un cercle, SI un triangle a pour sommets les extrêmités d’un diamètre et un point du cercle ALORS ce triangle est RECTANGLE.

 on conclut que le triangle ABD est rectangle en D

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II. Cercle circonscrit et triangle.

1. Rappel.

 L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit dans un TRIANGLE RECTANGLE.

Il est aussi le plus grand côté du triangle

 Une médiane d'un triangle est le segment qui passe par le milieu d’un côté et par le sommet opposé.

2. Définition.

Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les 3 sommets du triangle.

3. Cas particulier : le triangle rectangle.

Propriété.

Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse

Exemple :

Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC. En justifiant la méthode.

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4. Propriété de la médiane.

SI un triangle est rectangle ALORS la médiane issue de l’angle droit est égale

à la moitié de l’hypoténuse.

Exemple :

Tracer un triangle ABC rectangle en B tel que AB = 5cm et AC=8cm. Le point I est le milieu de [AC].

Calculer la distance BI.

 Dans le triangle ABC rectangle en B.

 L’hypoténuse est AC= 8cm

 La médiane issue de l’angle droit est BI

 D’après la propriété de la médiane :

SI un triangle est rectangle ALORS la médiane issue de

l’angle droit est égale à la moitié de

l’hypoténuse.

 2 4 BI AC

BI cm



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5. Autre propriété de la médiane.

SI dans un triangle la longueur de la médiane issue du plus grand côté N’EST PAS EGALE

à la moitié de ce côté ALORS ce triangle n’est pas rectangle.

Exemple.

 Dans le triangle DEF.

 Le plus grand côté (et non l’hypoténuse car on ne sait pas si le triangle est rectangle ou pas) est EF = 6,7 cm.

 La médiane issue de [EF] est DI= 3,5cm

 D’une part ^EF ^^{6, 7}

 D’autre part ²^^DI ^{ }^{2 3,5}^⁷

 Ainsi EF 2 DI

 D’après la propriété : SI dans un triangle la longueur de la médiane issue du plus grand côté N’EST PAS EGALE à la moitié de ce côté ALORS ce triangle n’est pas rectangle.

 On conclut que DEF n’est pas un triangle rectangle

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